landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Интегрируя (56,4) по е)е, получим полное число частиц в газе Ззгзязйз ., е(е-Рнг~ ) Вводя новую переменную интегрирования е)Т= г, перепишем это равенство в виде 3 у я(тТ)™ ( Р'гйг (56,5) у Ззгз пзйз,) ее -оз)г>з о Эта формула определяет в неявном виде химический потенциал газа р как функцию от температуры Т и плотности Л())г, а в функции распределения переходим обычным образом к распределению по фазовому пространству частицы. При этом надо иметь в виду, что при данном значении импульса состояние частицы определяется также направлением ее спина. Поэтому число частиц в элементе фазового пространства з(р„з)р„з)р,Л' получится умножением распределения (53,2) или (54,2) на Лр„г)ре дрз г(И (2прз)е 185 6 561 негин- и вози-глзы элементлгных члстиц Совершая такой же переход от суммирования к интегрированию в формулах (53,4), (54,4), получим следующее выражение для потенциала ь): вз рдт згв ()=-«- '«Ге!п(1~ею- Уг)с(е.
2«/зпвйз ~ Интегрируя по частям, находим Ф 2 у«/иве~в Г езгв Не з 2в!внч1з з« -ннг~ « ' (56,6) Это выражение совпадает с точностью до множителя — 2/3 с полной энергией газа, равной вв о е«г,нВГв ! езгзде е = в/в вдз ) е«з-М!г~ « о о (56,7) Будучи точным, это соотношение должно выполняться и в предельном случае больцмановского газа; действительно, подставляя больцмановское значение Е=ЗМТ!2, получим уравнение Клапейрона. Из формулы (56,6), сделав подстановку е)Т= г, найдем, что (56,9) И = — РУ = 7 Т"' 1 ®~, где 1 — функция от одного аргумента, т.
е. ьз/У есть однородная функция р и Т порядка 5)2 з). Поэтому — однородные функции р и Т порядка 3«2, а их отношение Я/У— однородная функция нулевого порядка: о«Ф=зр()л!Т). Отсюда видно, что при адиабатнческом процессе (Е = сопз() остается в) Если по вырэзконню (66,9) вычислить энергию кек д«) д«) Е= «У«з+Т$ — Р«г — «в — — Т вЂ” + ЕЬ др дТ то мы сном получим соотнопюнно (66,8). Имея также в виду, что ь)= — Р«), получаем, таким образом, следующее соотношение: Ру=з Е.
(56,8) 186 [гл. ч гхспгялзлзння эзгми и воза постоянным отношение !х/Т, а поскольку ///ЬТм' тоже есть функция только от р/Т, то и 7Т'/' = сопз1. (56,10) Тогда из (56,9) следует, что РРм' = сопз1, (56,11) а также и Тм*/Р=сопз1. Эти равенства совпадают с уравнением адиабаты Пуассона (43,9) для обычного одноатомиого газа.
Подчеркнем, однако, что показатели степени в формулах (56,10 — 11) не связаны теперь с отношением теплоемкостей (поскольку несправедливы соотношения ср/с,=5/3 и ср — с„=1). Формула (56,6), переписанная в виде Ф (56,12) зяФ ~ е ш/г)~ ! вместе с формулой (56,5) определяют в параметрическом виде (параметром является р) уравнение состояния газа, т. е. связь между Р, У и Т, В предельном случае больцмановского газа (чему соответствует ешти!) из этих формул получается, как и должно было быть, уравнение Клапейрона.
Покажем это, вычислив одновременно также и первый поправочный член разложения в уравнении состояния. При ея/г((1 разлагаем подынтегральное выражение в (56,12) в ряд по степеням еш/г!-' и получаем, сохраняя два первых члена разложения, ЯО гпту~ " г -я 31/и г г' 1 = — ешг ~1~ ея!") . 4 ~ Змие Подставляя это в (56,12), имеем пщз ~ Тми я= — р)/= —, еи~г 1~ — еФг) . (з )зм $р ~ьд~ Если сохранить лишь первый член разложения, то получим в точности больцмановское значение химического потенциала одноатомиого газа (формула (46,1а)). Следующий же член дает искомую поправку, так что можно написать: о~аз!~ ты~ (1=0,.„„~-н, апарт, (56,13) !вяз/а йв Но малые добавки ко всем термодинамическим потенциалам (выраженные через соответствующие переменные, см.
(24,16)), 187 й 571 выгождениый электгоаныИ глз одинаковы. Поэтому, выразив поправку в ь1 через Т и )г (что можно сделать с той же точностью с помощью больцмановских выражений), мы получим поправку к свободной энергии: за у1йз г = г'бьльа~ Зв ох~ бмюб ' Наконец, дифференцируя по объему, получим искомое уравнение состояния (56,15) Условие малости поправочного члена в этой формуле совпадает, естественно, с условием (45,6) применимости статистики Больцмана, Таким образом, отклонения свойств идеального газа от классических, возникающие при понижении температуры при заданной плотности (как говорят, при начинающемся его вьброждвнии), ведут в статистике Ферми к увеличению давления по сравнению с его значением в обычном газе; можно сказать, что квантовомеханические обменные эффекты приводят в этом случае к появлению некоторого дополнительного эффективного отталкивания между частицами.
В статистике же Бозе величина давления газа отклоняется и обратную сторону — в сторону уменьшения по сравнению с классическим значением; можно сказать, что здесь появляется некоторое эффективное притяжение между частицами. $57. Вырожденный электронный газ Важное принципиальное значение имеет изучение свойств ферми-газа при достаточно низких температурах.
Как мы увидим ниже, температуры, о которых при этом идет речь, фактически могут еще быть, с других точек зрения, весьма высокими. Имея в виду наиболее важные применения статистики Ферми, будем говорить ниже об электронном газе; соответственно этому полагаем д=-2 (спин в=1!2). Начнем с рассмотрения электронного газа при абсолютном нуле температуры (полностью вырожденный ферми-газ). В таком газе электроны будут распределены по различным квантовым состояниям таким образом, чтобы полная энергия газа имела наименьшее возможное значение. Поскольку в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного электрона, то электроны заполнят все состояния с энергиями от наименьшей (равной нулю) до некоторой наибольшей, величина которой определяется числом электронов в газе.
С учетом двукратного (й'= 2) спинового вырождения уровней, число квантовых состояний электрона, движущегося в объеме )) глспрядхлання эармя н возя с абсолютной величиной импульса в интервале между р н р+е(р, равно 2 ~~' =У~ (57,1) (2лл)р лр$' Электроны заполняют все состояния с импульсами от нуля до граничного значения р= р„; об этом значении говорят как о ра- диусе ферми-сферы в импульсном пространстве. Полное число электронов в этих состояниях Р1е 1р'= — ') рре(р =— Ур' ле гар Злрйр ' о откуда для граничного импульса имеем (57,2) в пределе Т вЂ” О обращается в «ступенчатую» функцию: единица прн е< р и нуль при е>р (на рис. 6 зта функция изображена сплошной линией).
Отсюда видно, что химический потенциал газа при Т=О совпадает с граничной энергией электронов: Р = ег. (57,5) Полная энергия газа получится умножением числа состояний (57,1) на ро~2т н интегрированием по всем импульсам: рл г Щ Е = ) рог(р=— з л' ) ю л'ь' ' о или, подставив (57,2): з(зл'1'и й ~ 1'1~1 й, Е= '1о — (у! (57,6) и для граничной энергии л'г ...
$р 'х ~"р ;=-,— '=(з ) *,— ~,) (57,3) Эта энергия имеет простой термодинамический смысл. В согласии со сказанным выше функция распределения Ферми по квантовым состояниям (с определенными значениями импульса р и проекции спина) 1 яр — ы,1 (57,4) ее 6 57) выРождннный электгонный гхз 189 По общему соотношению (56,8) находим, наконец, уравнение состояния газа (57,7) Таким образом, давление ферми-газа при абсолютном нуле температуры пропорционально его плотности в степени 5/3. Полученные формулы (57,6 — 7) применимы приближеннотакже и при температурах, достаточно близких (при данной плотности газа) к абсолютному нулю.
Условие их применимости (условие «сильного вырождения» газа) требует, очевидно, малости Т по сравнению с граничной энергией в,,: т« ~' ®"'. (57,8) Это условие, как и следовало ожидать, противоположно условию (45,6) применимости статистики Больцмана. Температуру Темен называют температурой вырождения. Вырожденный электронный газ обладает своеобразной особенностью — он становится тем более идеальным, чем больше его плотность. В этом легко убедиться следующим образом. Рассмотрим плазму — газ, состоящий из электронов и соответствующего количества положительно заряженных ядер, компенсирующих заряд электронов (газ из одних только электронов был бы, очевидно, вообще неустойчивым; выше мы не говорили о ядрах, поскольку вследствие предполагающейся идеальности наличие ядер не сказывается на термодинамических величинах электронного газа).
Энергия кулоиового взаимодействия электронов с ядрами (отнесенная к одному электрону) порядка величины Лез!а, где Ле†заряд ядра, а а (ЯУ/М)нз †средн расстояние между электронами и ядрами. Условие идеальности газа заключается в требовании малости этой энергии по сравнению сосредией кинетической энергией электронов, которая по порядку величины совпадает с граничной энергией в„. Неравенство лез —. ((в после подстановки а (ЯУ!М)ыз и выражения (57,3) для в дает условие — ~)( — „„) Ез. (57,9) Мы видим, что это условие выполняется тем лучше, чем больше плотность газа 51!У'). з) Температура вырождения, соответствующая плотностн ваектронного газа, равно» (езлпйз)таз, составляет40 амзавм0,6 1ОеЕмз градусга. (гл.
и РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ Задача Определить число столкновений со стенкой в электронном газе прн абсолютном нуле температуры. Ре шеи не. Число электронов(в единице объема) с импу.тьсамн в интервале с(р, направленными под углом к нормали к стенке в интервале иО, есть 2. 2л Ып О ов ртор (2лл)' Искомое число столкновений ч (отнесенное к (сме стенки) получается умножением на о соя О(о=р/т) н интегрированием по ов в пределах от О до л12 и по пр — от О до р„. В результате найдем 3(алз)мз й 1 (ч' ')ч(а 16 гл (, (г / ф 58. Теплоемкость вырожденного электронного газа При температурах, низких по сравнению с температурой вырождения Тгч функция распределения (57,4) имеет вид, изображенный на рис.
6 пунктирной линией: она заметно отлична от единицы или нуля лишь в узком интервале значений энергии е,близких к граничной энергии е„. Ширина этой, как говорят, зоны размерности распределения Ферми — порядка величины Т. Выражения (57,6 — 7) представляют собой первые члены разложения соответствующих величин по степеням малого отношения Т1Т . Определим следующие члены этого разложения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
