landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 37
Текст из файла (страница 37)
средние по состоянию атома значения) (хх)еэ = (уДеэ = (г%е/3. В результате находим что (52,7) а т. е. газ диамагнитен с не зависящей от температуры восприим- чивостью (Р, /.анею/и, 1905) '). т) Подчеркнем, что этот диамагнетизм (упомянутый уже в П1, б !13) имеет квантовую природу: хоти квантовая постоянная о не входит в (б2,7) явно, в действительности ею определяются ераэмерыэ атома. Отметим в этой связи, что в классической статистике микроскопические магнитные свойства вещества вообще не появляются.
Действительно, в классической механике гамильтоиова функция системы в магнитном поле отличается от таковой в отсутствне поля лишь заменой импульсов частиц р разностями Р— еА (г)/с, где Р— обобщенные импульсы, а А (г) — векторный потенциал поля. В статистическом интеграле интегрирование производится по всем импульсам Р (и координатам г), После замены переменных (перехода от интегрирования по Р к интегрированию по Р=Р— еА/с) найдем, что магнитное пале вообще выпадает из статистической суммы, а тем самым и нэ всех термодинамических величин. (гл.
!т 176 накальный газ Если же собственный магнитный момент атома отличен от нуля, то А, чь 0 и (при сделанном о температуре предположении) первый член в (52,5) велик по сравнению со вторым. Вычисление, согласно определению (52,4), дает У (У+!) — Е (Е+1)+ Я (5+ 1) А. = — ~аМ„а — 1+ 2Х (з'+ 1) 3 где д — фактор Лаиде, Мг — проекция полного момента 7 атома (см. П1, 2 113). Усреднение в (52,5) сводится к усреднению по значениям М,. Заметив, что М~=, 1, Е М'=- —,'у()+1), и,= -у получим Х= — (()+ 1). ()заэ зг (52,8) ') формула (82,8) может быть применена не только к газу, но и к конденсированным телам, в которых магнитные моменты атомов по тем или иным причинам можно считать есаободнммнм Это относится, например, к магнетизму редкоземельных элементов в твердых солях и растворах. Пэрамагнетнзм этих ионов связан с незаполненной М-оболочкой.
Эти сравнительна глубоко расла. ложенные электроны экранированы от влияния соседних атомов более внешними шгектронами, в результате чего воны могут вести себя в магнитном отношении подобно атомам разреженного газа. ') Такой случай осущесталяетси для ионов Епее+ в солях европия (ср. предыдущее примечание). Таким образом, газ парамагнитен с восприимчивостью, подчиняющейся закону Кюри — обратной пропорциональности температуре (Р. Еапггеит, 1905) г).
Если орбитальный момент и спин атома отличны от нуля, но одинаковы по величине (Ь=ЯчьО) и складываются в полный момент 7=0, то диагональные матричные элементы собственного магнитного момента равны нулю, в то время как недиагональные (для переходов Е, 5,,7- Е, В,,Е ~ 1 внутри одного мультиплета) отличны от нуля.
Тогда А,=-О, а в В, (52,5) второй (диамагнитный) член мал по сравнению с первым, в знаменателях которого стоят сравнительно малые интервалы тонкой структуры основного герма. При этом В, ) 0: для основного уровня в каждом члене суммы по Й' положителен как числитель, так и знаменатель. Таким образом, в этом случае газ парамагнитен с ие зависящей от температуры восприимчивостью )(= В, (7. Н. Уап Песй, 1928) '). Аналогичным образом вычисляется магнитная восприимчивость молекулярных газов.
При обычных температурах вращение молекул классично. Поэтому вычисление матричных элементов магнитного момента можно производить сначала при закрепленных ядрах, 177 $52) маГнетизм Газов а усреднение по ориентациям молекулы производить затем так, как если бы она представляла собой жесткий классический магнитный диполь (см. задачи)'). Задачи 1.
Определить магнитяую восприимчивость одиаатомного газа в случае, когда интервалы тонкой струнтуры основного герма атома малы по сравнению с Т. Решение. В этом случае усреднение в (52,6) должно производиться по всем компонентам основного мультиплета атома, причем больнмановские множители (ехр( — а~(Т)) для всех этих компонент можно считать одинаковымн. а То~да где усреднение производится по всем значеннкм Х и Мг (прн заданных значениях 5 и 5), Результат такого усреднении не зависит, однако, от того, производится ли оно после или до сложения моментов 8 и ь в а; другими словами, можно вычислять его н как Л'=! <МхМл)ша) МхМл> (' с независимыми усреднениями по Мг н Мз.
Заметив, что МлМс=мл Мг=О, М 1 5(5+1). Мэ = 1 1. (5+1), з=з * ь 3 получим Л ' =. Рз (45 (5 +! ) + Ь (1. + 1)]. В выражении 5 (52,5) вторым членом можно пренебречь; первый же член (который мог бы быть большим ввиду малости его знаменателей — интервалов мультнплета) обращается в нуль при усреднении по компонентам мультиплета: в сумме ,) <УМ>(ш,) у'М;>)з аф — а'а~ .г берущейся теперь по всем числам У, l', Мл М~, взаимна уничтожаются члены, отличающиеся друг от друга перестановкой У и 1'. Таким образом, васпринм.
чивость 3Т ) +)' ()3 2. Определить магнитную восприимчивость двухатомного газа, когда натер. валы тонкой структуры основного электронного герма молекулы велики по сравнению с Т'). Р е ш е н и е. В этом случае достаточно рассматривать только основной уровень молекулы — нижнюю компоненту основного мультнплета. Среднее значение магнитного момента молекулы а состоянии с проекпнями Л и Х орбитального момента н спина на ось молекулы: <ЛХ (ш (ЛЕ>= — ))п(Л+22), ') Магнитный момент, происходящий от движения ядер, очень мал па сравнению с электронным, гьк что им всегда можно пренебречь. з) Прн обычных температурах мультиплетные интервалы при этом заведомо велики по <равнению г интерваламн вращательной структуры уровней, так что молекулярный терм относится к типу связи а (см.
1П, й 83). 178 (гл. гт иднлльный глз где п †единичн вектор вдоль оси молекулы. При классическом вращении йт= 1~3 и для магнитной восприимчивости находим ()з )(= — (Л+ 22)з. ЗТ 3. То же, если интервалы тонкой структуры маты по сравнению с Т (люле- куля ный терм отвосится к типу Ь), ешение.
В этом случае должно быть произведено усреднение по всем компонентам мультиплета. Диагональные матричные элементы г-проекции магнитного момента при заданных Л и г-проекции спина Мл <ЛМз) ш ) ЛМл>= — () (п Л+2Мл). Усреднив его квадрат по значениям Мл н направлениям и, получим для вос- приимчивости 3 ~т ЗТ Отсюда — 4()з е А'.=— 3 1+е-а~г Оператор !.
не имеет матричных элементов для переходов между этими же двумя состояниями (поскольку при переходе меняется Х без изменения Л). Недиагональные же матричные элементы оператора 2Я <1, 112) 23 ) 1, — 1® = <1, — 1/2(23 ( 1, !12>= — 1 з!п О, где Π— угол между п и осью а'). Согласно (52,5) (где снова пренебрегаем вторым членом) имеем 2()З 2 ! — е а1Г Л 3!+а (множнтель 2Л вЂ” от усреднения гдпз О). Полное выражение для восприимчивости приводится к виду ~Р УЛ1 4(1 — е-л(1 — х)) ЗТ (,Т)' ~() .т(1+е-") Он составляет 5=180'.
Нижней компоненте дублета отвечает проекция на ось Х=- — 1у2, а верхней Х=- !12. Терм относится к типу а. Оператор З=з!зя, где а — матрицы Паули с направлением квантования оси молекулы (т. е, о ==(< ), если 5з)ь — координатные оси с осью ~ г1 О> ! ~0 — !)' 1) спина з) вдоль вдоль и). 4. Определить магнитную восприимчивость газа ХО. Основной электронный терм молекулы е11 (т. е, Л=1, 3=!!2), причем интервал Л между компонентами дублета сравним с температурой Т') (Х. гт'.
)гап Леся, !928). Р еще вне. Здесь при усреднении в (52,6) надо учитывать обе компоненты дублетного уровня с различными больцманонскими множителями. Лиагональные матричные элементы магнитного момента для двух соспжний ~ ЛХ> <1, — !!2) Е+2$(!, — 112>=!п — 2 — п=0, ! 2 <1, !12) Е+2$ ) 1, 1!Ь =2п. ГЛАВА У РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ й б3. Распределение Ферми и-е хле Палл — т 1п~~, (,н (53, 1) л поскольку энергия па частиц в )е-м состоянии есть просто п,н„.
Согласно принципу Паули числа заполнения каждого состояния могут принимать лишь значения О или 1. Поэтому получаем е) Она была предложена Ферми (Е. Реелн', !926) лля злектроноа, а ее связь с квантовой механнкой была выяснена Дираком (Р. А. М. Опас, !926]. Если температура идеального газа (при заданной его плотности) достаточно низка, то статистика Больцмана становится неприменимой, и должна быть построена другая статистика, в которой средние числа заполнения различных квантовых состояний частиц не предполагаются малыми. Эта статистика, однако, оказывается различной в зависимости от того, какого рода волновыми функциями описывается газ, рассматриваемый как система А) одинаковых частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
