landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Осциллируюн(ая же часть интеграла возникает от области значений е вблизи р (см. ниже); поэтому нижний предел интегрирования по в заменен нулем (вместо р3(2т). Интегрирование по ра отделяется и осуществляется формулой а) после чего остается 1 = — е-' ~а ~/ -~~-~ 1п ) ) -~-е(в-апт~)егяааРнг(а о разложение этов функции а ряд Фурье.
Умножив раненство на произвольную функцию г (х) н проинтегрировав его затем по х от 0 до аь, получим (60 х) (прн этом интеграл ) г(х) б(х) Нх — член суммы с Л=О, распространенный о лишь по области с одной нз сторон от точки к=о, дает г" (0)/2). ') Она получается путем поворота пути интегрировании в плоскости комплексной переменной Гм полагаем р=а ~н' н н ннтегрнруем по вещественным значениям я от — ое до ее. В этом интеграле производим дважды интегрирование по частям, а в остающемся интеграле производим замену переменной 198 (гл.
ч РаспРеделеиия ФеРми и Вози (в — и)/Т= 5. Опустив неосциллирующую часть, получим Ю е~ ф (е +1)Я Ниж!и!Й предел интеграла по $, равный — р/Т, в силу условия )г=. Т заменен на — оо. При ()Н~Т определяющую роль в ин- теграле играет область $- 1, т. е. окрестность значений е во- круг р(е — )г- Т). Интеграл вычисляется по формуле' ) е~, гив е!а!де ( «+1)е ъ зь:тгв ' Окончательно для осциллирующей части (г находим соа ( — й — — ) й~гв аь (итйТ/ВН) )Г2(т()Н)М'ТР ~~ й (60,5) (Л. Д. Ланда!/, 1939).
Эта функция осцнллнрует с большой частотой. Ее «период» по переменной 1/Н есть постоянная величина Л //=— 1 2р (60,7) р не зависящая от температуры. При этом г!Н/Н рН/)г(()я). При ' рН Т амплитуда колебаний магнитного момента Й ЧрНыя(птр)а!я т» '.
«МОНОтОННая» жЕ ЧаСтЬ НаиаГНИЧЕННОСтИ (обозначим ее %), определяющаяся по вычисленной в предыдущем г) Подстановкой (е~+1)-»=и интеграл приводится к В-интегралу Эйлера: 3 (1 — и)™и '"Ии=Г(!+!») Г(1 — мс)/Г(2) о и во формуле Г (! — е) Г (1+ а) = яг/впг не получается указанный в тексте результат. ') Эффект освиллявнй намагниченности оыл качественно предсказан Ландау (193О), Это явление в металлак называязт аффектом де-Гааза — еая-Алмфеяе. При вычислении магнитного момента как производной от выражения (60,5), дифференцированию должны подвергаться лишь наиболее быстро меняющиеся множители — косинусы в числителях членов суммы.
Это дает л л'( 9)( )'2р ''рТР ~ "" !РН 4/ (60,6) ива)Г и „, Р'й Ь (. Яйт/РН) ф 611 гелятизистский зыгожденный злектгоннмй газ 199 параграфе восприимчивости: И 'грм'Нтм'~'Ь-'. Поэтому Й/Й (рфН)оз — амплитуда осциллирующей части велика по сравнению с монотонной. Напротив, при рН((Т эта амплитуда экспоненциально убывает (как ехр ( — и'Т7рН)) и становится пренебрежимо малой. В 61.
Релятивистский вырожденный электронный газ По мере сжатия газа средняя энергия электронов увеличивается (растет ер); когда она становится сравнимой с глс', делаются существейными релятивистские эффекты. Мы рассмотрим здесь подробно полностью вырожденный ультрарелятивистский электронный газ, энергия частиц которого велика по сравнению с ии'. Как известно, в этом случае энергия частицы связана с ее импульсом соотношением е=ср. (61,1) Для числа квантовых состояний, а потому и для граничного импульса имеем прежние формулы (57,1 — 2). Граничная же энергия (т. е. химический потенциал газа) равна теперь е„= ср„= — (Зп') ы' 6с ~ — ~ с утмз ~р) (61,2) Полная энергия газа Рр с ср(, — рз г(р = г'— язлз,) 4тРйх о нли з(з *)м'~ 7л ~»в (61,3) Р'г' =— Е 3 (61,5) имеет место для ультрарелятивистского газа в действительности не только при абсолютном нуле, но и при всех температурах.
В этом легко убедиться в точности тем же способом, каким было Давление газа можно получить дифференцированием энергии по объему (при постоянной, равной нулю, — энтропии). Это дает (61,4) Давление ультрарелятивистского электронного газа оказывается пропорциональным его плотности в степени 4/3. Необходимо указать, что соотношение 1гл. ч гаснэкдклвния экими и вози выведено соотношение (56,8), если только пользоваться для энергии в выражением в=ср вместо в= рз)2т.
Действительно, при в=ср из формулы (53,4) получается э-ей (1= — (вз!и (1+и г ) Нв, язс дз,) з откуда интегрированием по частям найдем Ф й — — — ~ г вале е ЗП' эй. ~ сы ПИГ+1 З (61,6) в Таким образом, для ультрарелятивистского ферми-газа достигается то предельное значение, которое вообше может иметь (при данном Е) давление какого-либо макроскопического тела (см. З 27). Введя переменную интегрирования в)Т= г, напишем: УТз зз Лг Зп Ф~ с*-'ГИГ1+ з Отсюда видно, что ~=~ 7 1(,т) ' (61,7) Тем же способом, как это было сделано в З 56, найдем отсюда, что при адиабатическом процессе объем, давление и температура ультрарелятнвистского ферми-газа связаны соотношениями т РЧзгз = сопл(, )г7ч = сопя(, — = сопз1.
(61,8) Задачи 1, Определить число столкновений со стенкой в ультрарелятивистском полностью вырожденном электронном газе. Р ею е н не. Вычисление производится так же, как в задаче к $ 57, причем надо иметь в виду, что скорость электронов э ж с.
В результате получается с Ф 4 У ' й. Определить теплоемкость вырожденного ультрарелятивистского электронного газа. Реюение. Применяя формулу (56,1) к интегралу в (61,6), найдем ээ=ээз (ртр 6 (сй)з Они совпадают с обычным уравнением адиабаты Пуассона с 7=4!3; подчеркнем, однако, что у отнюдь не является здесь отношением теплоемкостей газа. 201 ВыРОжденный Бозе-Газ Отсюда энтропия Рз (Зл~'~ / (г х 4/з Е= — Чт=м — т~ 3 (сй)э Зсй ~ Аг у' и теплоемкость 3.
Определить уравнение состоиняя релятивистского полностью вырожденного электронного газа (энергия электрона связана с импульсом посредством вз =сэра+т'с4) Решение. Для числа состояний и граничного импульса имеем прежние формулы (57,! — 2), а полная энергия равна Е = — ( рэ йст~с'+р' 4)Р, лзйа ) о откуда с(г РР Е = — ' Р (2р + тзсэ) Р р 4 + т'сэ — (тс)4 Агап — ! 844Ф ( тс Для давления Р= — (дЕ/оУ)л 4 имеем — — — О~~ Р 44 Н 4( )'А Полученные формулы удобно представить в параметрическом виде, введя в качестве параметра величину $= 4 АгэЬ вЂ” ". тс Тогда получим з ь — — — З)44— ~й~ Злз 4 т'сэ / ! 8 $ Р = — — ЗИ 5 — — з!4 — -1- $), 32лФ(З 3 2 Е тася — = — (зп $ — й).
р 32лФ Химический потенциал газа Р (включающий в себя энергию покоя частицы) совпадает с предельной энергией вн=а (РР). Он связан с плотностью соотношением Л' ! г' )Р з Хз/з — = — ~ — — гласам! ЗлФ ~ сз $62. Вырожденный бозе-газ При низких температурах свойства бозе-газа не имеют ничего общего со свойствами ферми-газа. Это заранее очевидно из того, что у бозе-газа состоянием наименьшей энергии, в котором газ находится при Т=О, должно быть состояние с Е=О (все [гл.
Ч 202 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И ЕОЗЕ частицы в квантовом состоянии с е = 0), между тем как ферми-газ при абсолютном нуле обладает отличной от нуля энергией. Если при заданной плотности гг1!)г газа понижать его температуру, то химический потенциал р, определяемый уравнением (56,5) (с нижним знаком), будет увеличиваться, т. е., будучи отрицательным, уменьшаться по абсолютной величине. Он достигнет значения р=О при температуре, определяемой равенством р 2~1'Щ.г ~),г 1 ' (62,1) Входящий сюда интеграл выражается через Ь-функцию (см. примечание иа стр.
191); обозначая искомую температуру посредством Т„ получим Т,=— — з 'щ ~ (~ 1Р (62,2) дггг т ~ К/ гггу р .,г 2г!глгаг гг/г (62,3) Полное число частиц с энергиями е ) 0 будет, следовательно, д1 (лгТ)гlг ~ Р г Йг ( Т 'гг/г При Т < Т, уравнение (56,5) не имеет отрицательных решений, между тем как в статистике Бозе химический потенциал должен быть отрицательным при всех температурах.
Это кажущееся противоречие связано с тем, что в данных условиях не законен переход от суммирования (в формуле (54,3)) к интегрированию (в формуле (56,5)). Действительно, при этом переходе первый член суммы (с ег=О) умножается на )'е=О, т. е. выпадает из суммы. Между тем при понижении температуры частицы должны скапливаться именно в этом состоянии с наименыпей энергией, пока при Т=О туда не попадут все они.
Математически это обстоятельство проявляется в том, что в сумме (54,3) при переходе к пределу р — 0 сумма всех членов ряда, за исключением первого, стремится к конечному пределу (определяемому интегралом (56,5)), а первый член (с ее=О) стремится к бесконечности. Устремляя р не к нулю, а к некоторому малому конечному значению, можно, следовательно, придать указанному первому члену суммы требуемое конечное значение.
Поэтому в действительности при Т < Т, дело будет обстоять следующим образом. Частицы с энергией е > 0 распределены по формуле (56,4) с р=О: в 621 203 выгождкнный вози-глз Остальные (62,4) частиц находятся в низшем состоянии, т. е. имеют энергию а = 0'). Энергия газа при Т < Т, определяется, конечно, только теми частицами, которые имеют е ) 0; полагая в (56,7) р=О, имеем й1/(л«т) / т ( 2 ' йз 2»/»пзоз ,) е« вЂ” ~ о Этот интеграл приводится к ь(5!2) (см. примечание на стр. 191) и получается ,тз~ Отсюда теплоемкость (62,6) и свободную энергию Р=Š— ТВ/ Р= — — Е. 2 з (62,8) Последний результат вполне естествен, так как при р=О Р = Ф вЂ” Р'г' = Л/(ь + ьз = ьз.
Для давления Р.= — (дР/д(/)г имеем /лз/«та/3 Р=О 0851д/—л , фз (62,9) Мы видим, что при Т С Т, давление пропорционально Т'/' и не зависит вовсе от объема. Это обстоятельство †естественн следствие того, что частицы, находяшиеся в состоянии с е=О, не обладая импульсом, не дают никакого вклада в давление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
