landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Указанный а тексте характер колебаний ясен нэ смысла отдельных компонент тензора )загсе ') Уравнение, определяющее закон днсперснн волн, представляет собой алгебраическое уравнение относительно юз (см. следующяя параграф). Поэтому регулярно разлагается по степеням йю йю й, именно функция юа(Н), Ввиду четности этой функции (см. й 69) разложение содержит лишь члены четных степеней. структуры построены из сравнительно слабо связанных друг с другом параллельных цепочек атомов. Спектр звуковых колебаний таких кристаллов будет характеризоваться не одной, а несколькими дебаевскими температурами, различными по порядку величины. Закон Тз для теплоемкости будет иметь при этом место лишь при температурах, малых по сравнению с наименьшей из дебаевских температур; в промежуточных же областях возникают новые предельные законы (О.
М. Лифшиц, 1952). Начнем со случая слоистых структур. Наибольшей жесткостью такая решетка обладает по отношению к колебаниям атомов в плоскостислоев(которую выберем в качестве плоскости ху); жесткости же решетки по отношению к колебаниям слоев как целых друг относительно друга сравнительно очень малы.
Эти свойства приводят к характеру зависимости частоты от волнового вектора (закону дисперсии) в трех ветвях спектра звуковых волн, выражающемуся следукицими формулами, которые мы выпишем здесь в предположении гексагональной симметрии кристалла: (гл. нт ТВЕРДЫЕ ТЕЛА полном пренебрежении связью между слоями законы дисперсии волн имели бы вид (68,2) Частоты ю, и ш, отвечают продольным колебаниям в плоскости слоев, а частота ю,— поперечным колебаниям, представляющим собой в этом случае волны изгиба слоев, рассматриваемых как свободные упругие тонкие пластинки (ср. Ъ'П, Ч 25).
Поэтому, пренебрегая в членах четвертого порядка малыми слагаемыми, зависящими от связи между слоями, напишем окончательно закон дисперсии волн в виде ш,',» -— — У»,н»+ из/гз, шя = ина+ и««йа+ у«м'. (68,3) Будем считать, что У, У„ и, и« и введем обозначение для малого отношения т) и1'У, характерйзую1цего относительную величину энергии связи между слоями по сравнению с энергией связи между атомами в одном слое. Введем также дебаевскую температуру (точнее — наибольшую из дебаевских температур) как О=-йвм, где шм- У)а — предельная частота «жестких» колебаний (а — постоянная решетки); предельная же частота «мягких» колебаний мала по сравнению с ш„в отношении т).
Наконец, естественно считать, что предельная частота волн изгиба — того же порядка или меньше чем ш; пусть она -ш '). В этих условиях выясним характер температурной зависимости теплоемкости кристалла при Т((И»). С учетом вклада от звуковых колебаний, свободная энергия тела определяется формулой з г =Уее+Т~ ') !п(! — я "" ),", (68,4) а=! где суммирование ведется по трем ветвям спектра, а интегрирование — по всей области изменения волнового вектора '). Если Т~) т)0, то можно пренебречь связью между слоями и соответственно воспользоваться спектром (68,2).
Основной вклад в свободную энергию возникает от «изгибной» ветви шз, Ввиду быстрой сходимости при Т ((9 интегрирование по «(й„«(й„ можно т) ))ругими словами, полагаем, что у ымаз — уа. Подчеркнем, что козффициент т, связанный с «поперечной жесткостью» слоев, не выражается через один только упругие модули дг»г ') Высокие же температуры, Т>) В, составляют классическую область, в которой теплоемкость С= соп»1. а) То есть по одной ячейке обратной решетки — см.
ниже формулу (71,7). $ 681 сильнО АннаотРОпныа кРистАллы 229 распространить от — оо до оо. Заменив его интегрированием по 2пхт!х, путем очевидной подстановки найдем аа ° а 1п(1 — е-ат"*т~)2пхйс= — '( 1п(1 — е ")а(х. Интегрирование по т!л, (по области ~й,~(й,,„- 1(а) дает не зависящий от температуры множитель -1!а, В результате найдем, что температурная часть свободной энергии пропорциональна Т' и соответственно для теплоемкости (68,6) С~Т при т16~~Т<'=9. При Т<лт)9 в интегралах (68,4) надо писать для от (1с) их полные выражения (68,4), а интегрирование по всем компонентам к можно распространить от — оо до оо.
Получающаяся таким образом температурная зависимость свободной энергии довольно сложна, но в ней можно выделить еще два предельных случая. Если Т)) т)а6, то основной вклад снова возникает от ветви ат„ причем в ней можно опустить член с х', т, е. писать ма и~к~ 1 Таха Действительно основную роль в интеграле по хт(х играют при этом значения пуха Т, а тогда Таих -Таи (Т4у) Па- Т(т)а61Т)а~а<~1. Теперь находим ') 1и ~! — ехр ( ††)~'и,й,+таха~~ 2пхе(хтй,= сопз(- †, $ т - ао и в результате для теплоемкости С оо Т' при т)ай((Т(~т)6. (68.6) Наконец, при Т ~( т)ай тем же способом убеждаемся, что в (68,3) можно опустить член с х', после чего мы возвращаемся к звуковому спектру (68,1) с линейной зависимостью м от величины Й, и для теплоемкости получается закон Дебая С ая Т' при Т(( т1ай.
Аналогичным путем можно рассмотреть кристаллы цепочечной структуры (направление цепей выбираем в качестве оси г). В этом случае законы дисперсии в трех ветвях спектра звуковых волн имеют вид тоа, = и,'-эха+ пай'+уайа отта = и,'х + Уаайа, (68,8) 2ЗО [гл. и твкгдыв талл причем теперь и„ и„ из ~~ У,'). В пренебрежении взаимодействием между цепями законы (68,8) сводятся к ю1.а У йг~ юз (уа йг1 (68,9) 9 69. Колебания кристаллической решетки В предыдущих параграфах мы рассматривали тепловое движение атомов твердого тела как совокупность нормальных малых колебаний кристаллической решетки. Изучим теперь более подробно механические свойства этих колебаний. В каждой элементарной ячейке кристалла находится, вообще говоря, по нескольку атомов. Поэтому каждый атом надо определять заданием элементарной ячейки, в которой он находится, и номером атома в ячейке.
Положение элементарной ячейки можно задать радиусом-вектором г„ какой-либо определенной ее вершины; этот радиус-вектор пробегает значения г„= п,а, + п,а, + ива„ (69,1) где п„п„п,— целые числа, а а„а„а,— основные периоды решетки (длины ребер элементарной ячеики). Обозначим смещения атомов при колебаниях посредством и„ где индекс з указывает номер атома в ячейке (э= 1, 2,..., т; о — число атомов в ячейке). Функция Лагранжа кристаллической решетки, как механической системы частиц, совершающих малые колебания вокруг своих положений равнбвесия (узлов решетки), имеет вид Ь= — ~х,'пт,и,'(и) — — ~~> Л','а(п — п') и„(п) има(п'), (69,2) п5 ип' ') Здесь снова предположена, для определенности, гексагональная снмметрня — на этот раз вокруг направления цепей.
Скорости и,,..., 774 выражаются чеРез модули упругости теми зке формуламн, которые были приведены в прнмечаннн на стр. 227, но теперь модули Ххххх Ххпхн Ххххх малы по сравненню Х~~~~. ветвь гоа отвечает продольным колебаниям атомов в цепях, а ветви ы, и ю,— волнам изгиба цепей, рассматриваемых как упругие нити. Полагая и, — и, и, и снова вводя малый параметр и/У н дебаевскую температуру О-йУ)а, можно получить следующие предельные законы температурной зависимости тепло- емкости: Ссл~Тыв при т1В((Т<~8, С слз Т а м при т1еО (( Т (( т19, Сэз Т' при Т (( т1аВ.
% 69! КОЛЕБАНИЯ КРНСТАЛЛИЧЕСКОй РЕШЕТКИ 2З) где «вектор» п=(п„п„п,); т,— массы атомов, а ~, л — векторные индексы, пробегающие значения х, у, г (причем по дважды повторяющимся индексам, как обычно, подразумевается суммирование). Коэффициенты Л зависят только от разностей и — и', поскольку силы взаимодействия атомов могут зависеть лишь от относительного положения ячеек решетки, но не от их абсолютного положения в пространстве. Эти коэффициенты обладают свойством симметрии ЛЯ (п) =ЛЯ ( и) (69,3) очевидным из вида функции (69,2). Из функции Лагранжа (69,2) следуют уравнения движения лт,и„= — ~ч , 'ЛЯ' (п — п') и ге (и'). (69,4) ич Отметим, что коэффициенты Л связаны друг с другом определенными соотношениями, выражающими тот факт, что при параллельном смещении или прн повороте решетки как целого не возникает никаких действующих на атомы сил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
