landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Мы изложим поэтому вкратце также и другой метод (предложенный Н. Н. Боголвбоаеон, !946), хотя и более сложный, но позволяющий в принципе вычислить также и следующие члены разложения термодинамических величин. Этот метод основан на рассмотрении так называемых корреляционных функций между одновремеяными положениями нескольких частиц в заданных точках пространства. Простейшей и наиболее важной из них является бинарная корреляционная функция п»,з, пропорциональная вероятности найти одновременно две частицы (иона) в заданных точках г. и г„ (оба иона а и (» могут быть как одного, так и разных родов).
Ввиду изотропии и однородности газа эта функция зависит, конечно, лишь от Г = !г„— г, ~. Мы выберем нормировочный коэффициент в функции сп,з такйм образом, чтобы она стремилась к единице при à — оо. Если функция п»„известна, искомая энергия Е„„е может быть найдена путем интегрирования по очевидной формуле») Е,, = —, ~д»' Ж,!»(з ) ') и„ы»„сй',Л'„ ! с, З (79,1) П»с,= УА, з ) ЕХр ( ".' ~ЛГ»Л'з Л'Л „(79,2) где Н вЂ” энергия кулоновского взаимодействия всех ионов, а интегрирование производится по координатам всех ионов, за исключением двух данных ионов. Для приближенного вычисления этого интеграла воспользуемся следующим приемом. Дифференцируем равенство (79,2) по координатам иона Ь: сЪ»се шаз дпла ! ч ч»»' днес — — — — — — Ж вЂ” ш»!'т' дгз Т дга УТ Л~М с ) дтв сас с» с (79,3) ') Сама по себе вта формула не свнзана, конечно, с кулоновскнм характером взаимодействия частиц н предполагает лишь его парность.
где суммирование ведется по всем родам ионов, а иаз — энергия кулоновского взаимодействия пары ионов на расстоянии г. Согласно формуле распределения Гиббса функция ш,а дается следующим выражением: $791 метод кОРРеляциОнных Функций 269 где суммирование и последнем члене производится по всем родам ИОНОВ, а ШЕЬ, — тРОйиаЯ ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ, ОПРЕДЕЛЕННаЯ согласно В том же приближении мы можем считать, что даже пары частиц не находятся настолько близко друг к другу, чтобы каь существенно отличались от единицы. Вводя малые величины аЬ ~аЬ (79,4) и пренебрегая их высшими степенями, можем написать: шаьс ыаь+ьььс+сеас+ 1. (79,5) При подстановке этого выражения в интеграл в правой стороне (79,3) остается только член с ьь„; остальные обращаются тождественно в нуль в силу изотропии газа.
В первом члене справа в (79,3) достаточно положить ш,ь=!. Таким образом, дсьаь ! дааь ! я-а !" диь — — — — — )У' ЬЬ вЂ” Е(У . У д!. У'У ~~ с ) ас дг с' с Возьмем теперь дивергенцню от обеих сторон этого равенства, помня, что ЕаЕЬС и ь — — г=гь — г, а а и учитывая известную формулу б — = — 4пб (г). ! с После этого интегрирование становится тривиальным ввиду наличия б.функции, и мы получаем йОЬаЬ(Г) = т б(!)+ ~у ~Л~ й!сесе!ас(!) (79,Е) Решение этой системы уравнений можно искать в виде ЕЬЬЬ (Г) = вам» (Г), (79 7) по аналогии с (79,2).
Предполагая газ достаточно разреженным и рассматривая лишь члены первого порядка„можно выразить функцию тройной корреляции через бинарные корреляции. Действительно, пренебрегая возможностью всем трем ионам находиться вблизи друг друга, имеем ~аЬс !ИаЬ~Ьс~ас' (гл. чп ненднлльнык глзы в результате чего система сводится к одному уравнению Лго (г) — наго (г) =+ 6 (г). (79,8) Это окончательное уравнение имеет ту же форму, что и уравнение (78,7) в методе Дебая — Хюккеля (член с 6-функцией в (79,8) соответствует граничному условию при г — О, накладываемому на функцию <р(г) в (78,7)). Решение уравнения (79,8): ез е хг от (г) = — —— с (79,9) чем и определяются бинарные корреляционные функции в плазме.
Для вычисления энергии достаточно подставить теперь гн,ь из (79,4), (79,7), (?9,9) в (79,1). Переходя к интегрированию по относительным координатам двух частиц, находим Е = — — ~ и и — — е 4игзАг У 1' татре' тагьеа -х, хаРР= 3 ~ а ь~ г тг а,ь 9 80. Термодинамические величины вырожденной плазмы В изложенной в 9 78 теории предполагалось, что плазма далека от вырождения, т.е.
подчиняется статистике Больцмана. Рассмотрим теперь ситуацию, когда температура плазмы настолько низка, что ее электронная компонента уже вырождена: ,Т ~ — пега, вз где и — масса электрона (ср. (57,8)); при этом ионная компонента благодаря большой массе ионов может быть еще далека от вырож- т) Члены следующего порядка и термодинамнческих величинах плазмы фактически вычислены (другим методом) А.
А, Веденовым и А. И. Ларкиным, ЖЭТФ за. 1133 (1939). (член 1 в гп,ь не дает вклада в энергию в силу условия электрической нейтральности плазмы). Произведя интегрирование, вернемся к прежнему результату (78,11). В следующем приближении вычисления становятся более громоздкими. В частности, предположение (79,5) теперь недостаточно, и следует ввести тройные корреляции, не сводящиеся уже к бинарным. Для них получается уравнение, аналогичное (79,3), содержащее теперь четверные корреляции, которые, однако, в данном (втором) приближении сводятся к тройным т). 4 80] тввмодинлмическик величины выгождвнной плазмы 271 дения.
Напомним, что условие слабой неидеальности вырожденной плазмы состоит в требовании ,а~зев (см. (57,9)); оно выполняется тем лучше, чем выше плотность плазмы. Для вырожденного газа удобными переменными являются (помимо температуры Т и объема Р) его химические потенциалы р, вместо чисел частиц )т',').
Соответственно этому будем вычислять Й вЂ” термодинамический потенциал по отношению к этим переменным. Отметим, что химические потенциалы не являются при этом все независимыми переменными; они связаны друг с другом одним соотношением, следующим из условия электрической нейтральности плазмй. ~~Г г,)т', = ~~~ ' г, — = О. дп ~Ма (80,3) Воспользуемся формулой выражающей производную от Й по некоторому параметру Х через среднее значение такой же производной от гамильтониана системы (ср.
аналогичныеформулы(11,4), (15,11)). В данном случае выберем .в качестве параметра Х квадрат заряда е'. Гамильтониан плазмы содержит е' в виде общего коэффициента в операторе кулонов- ского взаимодействия частиц О. Поэтому г,к,н, (80,4) т) Определение понятия химических потенциалов компонент смеси — см. $ аа. так что вычисление Й сводится к вычислению среднего значения (й>. Мы увидим, что в вырожденной слабо неидеальной плазме основную роль в поправках к термодинамическим величинам идеального газа играет обменная часть электрического взаимодействия электронов (которая в классическом случае несущественна и в $78 вовсе не учитывалась).
Имея это в виду, будем писать в операторе й лишь члены, описывающие кулоновское взаимодействие электронов. 272 [гл. Ен НЕИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ Вычисление <У> наиболее просто осуществляется с помощью метода вторичного квантования. Следуя этому методу (см. 1И, Я 64, 65), вводим систему нормированных волновых функций ~рр~, описывающих состояния свободных электронов, движущихся в объеме г' с импульсами р и проекциями спина о(о=~ П2).
Импульс р пробегает бесконечный набор дискретных значений, интервалы между которыми стремятся к нулю при г' оо. Далее ВВОДИМ ОПЕРатОРЫ аэч И а~~~ УНИЧтажЕНИЯ И РОЖДЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ в состояниях 4~р~, а с их помощью образуем ф-операторы Ф=ХФ аг, ф+=Х Ь Ь' (80,5) РЕ ЕЕ Кулоновское взаимодействие частиц имеет «парный» характер; оператор такого взаимодействия записывается в методе вторичного квантования в виде интеграла У = — ') ') Ф+ (г,) ф (г,) ф (г,) ф (г,) Й~,г(У,. (80,6) Требуемое усреднение этого оператора производится в два этапа: сначала усреднение по заданному квантовому состоянию системы, а затем усреднение по равновесному статистическому распределению по различным квантовым состояниям.
В слабо неидеальной плазме У играет роль малого возмущения. Вычислим среднее значение этой величины в первом приближении теории возмущений, другими словами — по отношению к состояниям системы невзаимодействующих частиц, т.е. идеального газа. Квантовомеханическое усреднение сводится к взятию соответствующего диагонального матричного элемента. После подстановки ф-операторов (80,5), оператор (80,6) представится в виде суммы членов, содержащих различные произведения операторов рождения и уничтожения, взятых по четыре: У = З ~ <Р~ря ~ У1е ~ Рере ПЕ'а ПЕ'о ЖЬеФЕ1ао (80,7) где суммирование производится по всем импульсам и проекциям спина„а <р1р.;) У„~Р,Р,> — матричные элементы от энергии взаимодействия двух электронов У„ =е'!~г, — г,~; поскольку кулоиовское взаимодействие не завйсит от спиноз, то эти элементы берутся для переходов без изменения проекций спинов электронов, т.е.
могут вычисляться по чисто орбитальным функциям емчй ! е Р-р Из всех членов суммы (80,7) диагональные матричные элементы имеют лишь те, которые содержат две пары операторов аре, а', с одинаковыми индексами, причем произведение а,+„аре й 80) тирмодинлмичнские внличииы вырождннной плазмы 273 заменяется просто числом заполнения данного квантового состояния электронов ').
Положив р, = р'„ р,= р'„ получим члены ез Г ггУзпУа 2у~ Е ) пр'о'пюъ' ) ) ' — ' ( ' (80,8) р чь р о1о~ а положив рт=р„р,'=р„ох=па,— члены П о Н) (Р1 рв) (г1 гт)/ ез Г . й вУз<й~з 2Уа 2,'м 2'.ю ' '",) )~~-"( (80,9) р,~р, о ') Что касается членов с произведениями четырех операторов с одинаковыми индексами, то их число неизмеримо мало по сравнению с числом членов с двумя различными парами одинаковых индексов, и их поэтому не надо учитывать (вклад в 0 от этих членов содержал бы лишнюю степень 13~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
