landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 31
Текст из файла (страница 31)
(43,8) Задачи П два одинаковых идеальных газа с одинаковыми давлениями Р и числом частиц !У, но с равными температурами Т, и Т,, находятся в сосудах с ооъемами !г, и уга. Затем сосуды саедиияются. Найти изменение энтропии. $ 431 идилльный глз с постоянной типловмкостыо 145 [46 [гл. Ек иделльиый Глз Решение. До соединения сосудов энтропия обоих газов (равная сумме их энтропий) была согласно (43,6) 5е= — 21У (п Р+Мс 1пТ1Т, 1). После со.
единения сосудов температуры газов выравниваются. Сумма энергий обоих газов остается постоянной. Пользуясь выражением (43,2) для энергии, находим 7=Ц1 (7,+7,) (7 — температура после выравнивания). После соединения сосудов газ имеет 2Ж частиц и занимает обьем Уз+ У = М(71+7~)(Р. Его давление теперь равно 23(7/(ул+ ул)=-Р, т. е. остается тем же. Энтропия при этом равна 5= — 2М!пР-(.2№ !п Т,+7, и Изменение энтропии ДЕ=5 — 5 =Ус !п(71+71) 47,7, 2. Найти работу, производимую над идеальным газом прн адиабатическом сжатии. Решен ив.
При адиабатическом процессе количество тепла Я=О, так что Е =Е,— Е„где Е,— Ел — изменение энергии при процессе, Согласно(43,2) находим: )с =Усе(Тэ — Тл), где Т, и Т,— температуры газа после и до процесса; Р можно выразйть через начальный и конечный объемы Ул и У„пользуясь соотношением (43,9): Е=йсе71 [( — 1)' ' 11 5с 7 ~'1 (Уз)'-'] 3. Найти количество тепла, получаемого газом при процессе, происходящем при постоянном обьеме (изохорном). Решение.
Поскольку в данном случае работа Я =О, то имеем (~ =Ел — Ел —— Усе (Т,— Т,). 4. Найти работу и количество тепла при процессе, происходящем при посгояниом давлении (изобарном). Р еше н ив. При постоянном давлении имеем Й = — Р (Уз — Ул), (4 = йгз — В'1, откуда )т й( (71 7 1 () глср (71 71) 6. Нзйти работу, совершаемую над газом, и количество тепла, получаемое им при сжатии от объема Ул до объема Уз, согласно уравнению РУ" =и (политропический процесс). Р е ше и и е. Работа [' ~Ь, о (ул-«1-«) и — 1 У, Поскольку сумма иолнчества тепла и работы равна полному изменению энергии, имеем: Я = Усе (71 — Тл) — й, н так как Т=РУ)М.=-(а[Л) У'-", то , ( + ~) (Уз- Ул-«) 1 — лу 1) несущественные при решении задач постоянные члены в энтропии и энергии мы везде опускаем.
$ 43] ндезльный глз с постоянной тенлоечкостью д47 б. Найти работу, производимую над идеальным газом, и количество тепла, получаемое им, когда газ совершает круговой процесс (т. е. после процесса возвращается в исходное состояние), состоящий из двух иэохорных н двух изо. барных процессов: газ переходит из состояния с давлением и объемом Р„Уд в состояние с Р„ У„ далее в состояние с Р„ Уз, далее с Р„ Уд и, наконец, опять с Р„Уд.
Р ешеине. Изменение энергии при круговом процессе равно нулю, так как исходное состояние совпадает с конечным. Поэтому работа н количество тепла, получаемые прн таком процессе, равны друг другу с обратными знаками ()7 = — (с). Для того чтобы найти Л в данном случае, замечаем, что при изохорных процессах работа равна нулю, а при двух иэобарных, соответственно, — Р, (У, — У,) и — Р,(У, — Уз). Таким образом, )с =(Уз )д) (Рз ! д). 7. То же для кругового процесса, состоящего из двух изохорных и двух изотермических (последонательные состояния газа имеют объем и температуру: !) У„Т,; 2) У„Т,; Я Ую Т,; 4) У„Т,; б) 1;, Т,). Р е ш е н и е. )7=(тз — Тд) М)пг. 3.
То же для цикла из двух изотермических и двух адиабатических про. цессов (последовательные состояния имеют энтропию, температуру и данление: 1) 5„Т,, Рд, 2) 5„Т;, 3) 5э, Т„Р,;! 4) 5э, Т„б) 5д, Т„РД. Решейие. () =(Tз — T,)(5з — 5д) =(Тз — Тд) (М!п — +Иср 1и— Тз~ Рд 9. То же для цикла иэ двух изобарных и двух изотермических процессов (последовательные состояния: 1) Р„Т;, 2) Р„Т;! 3) Р,, Т;! 4) Р„Тд; 3) Р„Т,).
Решение. Работа, произведенная над газом при изобариых процессах, Р, равна (см. задачу 4) Л' (Тд — Т,) и й( (Тз — Тд), а при изотермических )т'Тз1п— Рд Р, и !1Тд!п —. Суъгма их равна Р,' )7 = М (Тз — Тд) !и — . Р, Р,' 1б. То же для цикла из двух изобариых и двух адиабатических процессов (последонательные состояния газа: 1) Р„5,, Тд; 2) Р„5;! 3) Р„5,, Тьн 4) Р„5,; б) Р„5„Т,). Р е ш е н и е. температура во втором состоянии есть т, (Рд7Рд)" а в четвертом тд(Рд)Рз)!д т1~т (их можно найти из т, и т, с помощью соотношения (43,7)). Коддйчесдво мпла, получаемое газом прн аднабатических процессах, равно нулю, а при изобарных (сдд. задачу 4) и,~)с, ( ) — д.]. Таким образом 148 (гл, гч нделльный Глз 1!.
То же для цикла из двух изохорных и двух адиабатических процессов (последовательные состояния: 1) У„ 5„ Т,; 2) Ум 5„' 3) Ух 5а Тх' 4) У„5,; б) У„5,, Тх). Р еще и ив, С помощью результата задачи 2 находим (с=Ис„Та [1 — (у') ~+Ис Т, [1 — ( — ') !2. Определить максимальную работу, которую можно получить при соединении сосудов с двумя одинаковыми идеальными газами, имеющими одинаковые температуру Т, и число частиц И, но разные объемы У, иУ.. Р е ше н и е. Максимальная работа совершается, сели процесс происходит обратимо, т.
е. остается постоянной энтропия; при этан работа равна разности энергий до и после процесса (4 19). До соединения сосудов энтропвя обоих газов, равная сумме их энтропий, была, согласно (43,5) 5э= И (п — х+2Ись!п То. ехУ!У2 После соединения сосудов мы имеем газ, состоящий из 2И частиц, занимающий объем У,+У, прн некоторой температуре Т. Его энтропия 5=2И !п х +2Ис 1п Т. е ()', + !' ) Из условия 5з 5 находим температуру Т: в-! 3 о [(У ( Уа)х~ Энергия обоих газов до соединения сосудов была Еэ=2Ис Ть. После соединения Е=-2Ис„Т. Поэтому максимальная работа т-1~ )(м х=Ее — Е=2Ись(То — Т)=2Ис„Тх 1 — ( !3.
То же, что в предыдущей задаче, если до соединения сосудов газы имели одинаковое давление Р, и разные температуры Т, и Т,, Р еще н не. Аналогично решению задачи !2 находим т-! з х .,-х,,((х,+т,— 'Гт~, .~ (Т, +Т )' !4. Найти минимальную работу, которую надо произвести над идеальным газом для того, чтобы сжать его от давления Р, до давленкя Р, при посто- янной температуре, равной температуре среды (Т=Т,). Р еще н и е.
Согласно (202) мииимальнаа Работа )См!в=(Е,— Е,)— — Т (5,— 5,)-(-Р,(1',— У,), где индексы 1 и 2 показывают, что величины относятся к газу до и после сжатия. В данном случае энергия Е не меняется (так как температура постоянна), т. е. Е,— Е,=О. Пользуясь (43,6), нахо- Р, дим изменение энтропии при изменении давления от Р, до Р,: 5з — 5,=И 1п — х, Ра ' /! !й изменение же объема: Уа — Ух=ИТ, ( — — — ) .
Отсюда находим Р,)' )4в3д ИТэ [(пР +Ра(Р— Р )~ ° 149 закон глвноглспгндклвння !6. Определять максимальную работу, которую можно получнть с по. мощью идеального газа прв охлажденнн от темсературы Т до температуры среды То прн постоянном объеме. Решение. По общей формуле (20,3) находам о )(вах=йГсо (Т вЂ” То)+(ссзт»1п Т 16. То же для газа, охлаждающегося от температуры Т до.температуры среды То н в то жс время расширяющегося так, что его павленко меняется от Р до давления среды Р,.
Рсшенне. )Сювх=й(со(Т вЂ” То)+ Итв!п Р +атсгто!п Т + У~ Т вЂ” — То), Ро 17. Из большого теплснзолнрованного резервуара газ с температурой То вытекает в пустой теплонзолнрованный сосуд, причем давление газа в резер. нуаре поддержнвается постоянным. Найти нзменоннс температуры газа в атом процессе. Р е шея я е. Энсргня Е газа в сосуде складывается нз внсргнн- Ео, которую он имел в резервуаре, н работы, пронзвсденной над ннм прн онзгнаннн» нз резервуара. Поскольку состояннс газа в резервуаре можно считать ста. цнонарным, мм получаем условие йт»=Е (ср.
$18). Отсюда температура газа в сосуде т=тт,. $ 44. Закон равнораспределения Прежде чем приступить к подробному вычислению термодинамических величин газов с учетом различных квантовых эффектов, полезно рассмотреть эту же задачу с точки зрения чисто классической статистики. В дальнейшем мы увидим, в каких случаях и в какой мере получающиеся при этом результаты могут быть применены к реальным газам. Молекула представляет собой конфигурацию атомов, совершающих малые колебания около определенных положений равновесия, соответствующих минимуму потенциальной энергии нх взаимодействия.
Последняя имеет при этом вид вов и = з, + ~~„', а;ао)г4», ь »=1 где е, †потенциальн энергия взаимодействия атомов, когда зсе они находятся в положениях равновесия; второй же член есть квадратичная функция координат, определяющих отклонения атомов от положений равновесия.
Число г„„ координат в этой функции есть число колебательных степеней свободы молекулы. Последнее можно определить по числу п атомов в молекуле. Именно, а-атомная молекула имеет всего Зл степеней свободы, Из ннх три соответствуют поступательному движению молекулы как целого и три †вращению как целого, Если все атомы расположены по одной прямой (в .частности, у двухатомной 15О [гл. и иделльный глз молекулы), то вращательных степеней свободы всего две. Таким образом, нелинейная п-атомная молекула имеет всего За — 6 колебательных степеней свободы, а линейная Зп — 5. При а = 1 колебательных степеней свободы, конечно, совсем нет, так как все три степени свободы атома соответствуют поступательному движению.
Полная энергия е молекулы есть сумма потенциальной и кинетической энергий. Последняя является квадратичной функцией от всех импульсов, число которых равно полному числу Зп степеней свободы молекулы. Поэтому энергия а имеет вид е=е, + + 1п (Р, д), где )и (Р, 4) — квадРатичнаЯ фУнкциЯ импУльсов и координат; полное число переменных в этой функции есть 1=ба — 6 (для нелинейной молекулы) или 1= ба — 5 (для линейной); у одноатомного газа 1=3, так как координаты вообще не входят в выражение для энергии. Подставляя это выражение для энергии в формулу (41,5), имеем г ЯТ1п ' ~е ~нм ~англ Ф Для того чтобы определить температурную зависимость входящего сюда интеграла, произведем подстановку р = р' ~' Т, 4 =- д УТ для всех 1 переменных, от которых зависит функция 1н (р, д).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
