landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Образуем производную — = — ехр ( — — ~н р!!1,) Йехр ( — '~ р,.д,.) 1 (оператор Й действует на все расположенные справа от него мно- жители). Раскроем правую часть равенства, воспользовавшись явным выражением для гамильтониана тела: Р~ !!" "1 дз Н= ~ — +У= — ~,— — +У, 2т! 2 т! де) (33,5) где У = У (~у„ д„ ..., д,) — потенциальная энергия взаимодей- ствия всех частиц в теле. С помощью (33,5) получим после простого вычисления следующее уравнение для 1: д1 у ЛЛ ~2! д1 дЧ~ дР ' 2ЛЧ ~ ф ' дгн дя,' у ' — =- — Е(р, т)1+~ — [ — р; — + —,1, где Е ( р, д) = ~~' ~' + У (33,6) ! — обычное классическое выражение для энергии тела, Это уравнение должно быть решено при очевидном условии: 1=1 при [1=0. Подстановкой 1 — е-Ве Ф, н)[ (33,7) оно приводится к виду дх зр ВЛ [ 2!Рр; д[! + 2!р ~3',~ др .442гл! ~ ф дд 2 $ де! дЧI /д[!'2 дт дУ д221 , +~ 1! ( — ) — 2[) — — + —,1 (33,8) дф' [, дд; ) дд! дгн дл2 с граничным условием !(=1 при Р=О.
Имея в виду получить разложение по степеням Й, решаем уравнение (33,8) методом последовательных приближений: Х = 1+ ЯА1+ ~'ул+ ° (33,9) где Х,=О, Хе=0, ... при [)=О. Подставляя это разложение в уравнение (33,8) и отделяя члены с различными степенями $, получим уравнения дХ ч П ди дР ! Лн т; дЛ! ' ! дх2 ! Г . ды . дд д*У /дг!Ев1 — '= э — ~ — 2фр — у +2[р — ' — р — +.р*( — ) 1. др А.н 2ш! '[ ' дгп 1 ' дд; дд[ ~дч!) ~ ' РАзлОжение по степенен $ % 33! Из первого уравнения определяется т„ а затем из второго †.
В результате простого вычисления получаем лйл м~ р~ дУ л л~л т; дел ' 4 Рл,ь, ! Гди~л Рл,ь, ! дли + — К' — ( — ) — — '~' — —. (33,10) бсмлЧ(дс,) 4 хлт;дчл Искомая статистическая сумма (33,4) равна интегралу г=.) (1+11!,+Ь*Х,)Е-ВЛ" (Г. (33,11) Легко видеть, что член первого порядка по Й в этом интеграле исчезает. Действительно, в этом члене подынтегральное выражение есть нечетная функция импульсов (Е (р, д) квадратнчиа по импульсам, а т„ согласно (33,10) есть их линейная функция) и потому при интегрировании по импульсам обращается в нуль. Таким образом, переписываем (33,11) в виде 3=-(1+йл()(л>) ) е-ВЕ" "йГ, ;Ве <л, 41 дГ ) х -Вепх л ЛГ е Подставляя это выражение для статистической суммы в формулу (31,3), получаем для свободной энергии г г р !п (1 +лл (1( >) 1 или с той же точностью Ьл ~ лл (Кл>~ р (33,!2) где Е„, †свободн энергия в классической статистике (формула (31,5)).
Таким образом, следующий после классического член в разложении свободной энергии оказывается второго порядка по й. Это обстоятельство не случайно. В уравнение (33,8), которое мы решаем методом последовательных приближений, квантовая постоянная входит только в виде Й; поэтому и получающееся разло- где мы ввели значение (у,>, усредненное с помощью классического распределения Гиббса: [гл. ги 120 Рхспгедвление гяввсь жение есть разложение по степеням Й. В свободную же энергию, которая есть величина вещественная, могут войти только вещественные степени Й.
Поэтому производимое здесь разложение свободной энергии (не учитывающее обменных эффектов) есть разложение по четным степеням й. Нам остается вычислить среднее значение <у,>. Мы видели в й 29, что в классической статистике распределения вероятностей для координат и импульсов независимы. Поэтому усреднения по импульсам и по координатам можно производить раздельно. Среднее значение произведения двух различных импульсов равно, очевидно, нулю. Среднее же значение квадрата р,'. равно т,ф.
Поэтому можно написать: /И~ <Рипа> = й бин (33,13) Оба члена здесь могут быть объединены в один, так как входящие сюда средние значения связаны соотношением (33,14) В справедливости этого равенства легко убедиться, замечая, что ~~— ' ~~а вил а~а во~+Я~( ~~~) е аи,1йе Первый член в правой стороне даст выражение, представляющее собой поверхностный эффект; ввиду макроскопичности тела им можно полностью пренебречь по сравнению со вторым членом, дающим объемный эффект. Подставив полученное таким образом выражение для <т,> в формулу (33,12) и заменив р на 1/Т, найдем окончательно для свободной энергии "~+ 4т' с,м (( ) )' (33,15) Мы видим, что поправка к классическому значению оказывается величиной всегда положительной, определяющейся средними квадратами действующих на частицы сил. Эта поправка убывает с увеличением массы частиц и с возрастанием температуры.
где бы=1 при (=й и О при (~й. Осуществив с помощью этой формулы усреднение по импульсам, получим глзложьияе по степанян Ь 121 й 331 Согласно сказанному выше следующий член производимого здесь разложения был бы четвертого порядка. Это обстоятельство дает возможность совершенно независимым образом вычислить член порядка $', возникающий в свободной энергии благодаря особенностям суммирования по импульсам, связанным с квантовомеханической тождественностью частиц. Этот член формально совпадает с поправочным членом, возникающим прн аналогичном вычислении для идеального газа, и определяется формулой (56,14): а ахп (33,16) 9л рты'еа/в (для тела, состоящего из Ю одинаковых частиц).
Верхний знак относится к статистике Ферми, а нижний — к статистике Бозе; я есть полная кратность вырождения по направлениям моментов — как электронного, так и ядерного. Полученные формулы позволяют также получить поправочпые члены в функциях распределения вероятностей координат и импульсов атомов тела. Согласно общим результатам, полученным в з 5, распределение вероятностей импульсов получается интегрированием 1 по с(д (см. (5„10)): гйпр — — сопз( г(р ) 1дд. Член Х,е-за па м в ! содержит полную производную по координатам и при интегрировании по ним дает величину, которая представляет собой поверхностный эффект и может быть опущена.
Таким образом, имеем рй йпр — — сопз1 ехр ( — р ~~» ' — ') йр ~(1+ Ь')(,) е з~ йу. ! Третий и четвертый члены в выражении (33,10) для )(, в результате интегрирования по координатам дадут малую постоянную (не содержащую импульсов) величину, которой в том же приближении можно пренебречь. Вынося также в постоянный коэффициент множитель ~ а апИд, получим г р,'', г р4 р;рь ды ду дв =сопз1 ехр( — р'à — ' 1 — Ь вЂ” э — '( — — ) -1- ь ь па Входящие сюда средние значения связаны соотношениями 122 [гл.
Гп РАСИРБДБЛБНИБ ГИББСА (аналогичными (33,14)). Поэтому имеем Г(га = сопз1 ехр~ — р''э~ — ' 1+ — э — ' — — ) ! йр. (33,17) Р 1 с аозт;) ~ 24 с м тра» ~дчг дчь ь ь Зто выражение удобно переписать окончательно в следующем виде: р, Д р;р, оидс ~,-,.„~.„р( — —,т ' — „т — '(,— —,)~!гр, зз,~н заменив с той же точностью квадратные скобки в (33,17) соответствующим экспоненциальным выражением.
Таким образом, мы видим, что поправка к классической функции распределения для импульсов сводится к тому, что в экспоненте к кинетической энергии прибавляется квадратичное по импульсам выражение с коэффициентами, зависящими от закона взаимодействия частиц в теле. Если мы хотим найти распределение вероятностей для какого- либо одного из импульсов рь надо проинтегрировать (33,17) по всем импульсам. При этом все члены с квадратами р1, йФ1, дадут такие постоянные величины, которыми можно пренебречь по сравнению с 1, а члены с произведениями различных импульсов вообще обратятся в нуль.
В результате найдем, снова переходя к экспоненцнальному виду, р~ Г Ь /дУ'~2 1 Мы видим, что получается распределение, отличающееся от максвелловского лишь заменой истинной температуры Т на некоторую более высокую «эффективную температуругп Аналогичным путем можно вычислить исправленную функцию распределения для координат. Она получается интегрированием 1 по импульсам: Йрт= сопз1 41д ) 7Г(р. Те же вычисления, с помощью которых было получено выраже- ние (33,!3), приведут к следующему результату: г ! г А ! 7ои , д , ! юл Т ~ ЖТ'~4 в; ~д~д~) 12Т.~ ~ м; д42 ~ (33,20) $341 тдспгкдклкнна гнввсд для вращающихся тел 123 й 34.
Распределение Гиббса для вращающихся тел Вопрос о термодинамнческнх соотношениях для вращающихся тел рассматривался уже в р 26. Выясним теперь, каким образом должно быть сформулировано для вращающихся тел распределение Гиббса; этим будет полностью исчерпан вопрос об их статистических свойствах. Что касается равномерного поступательного движения, то в силу принципа относительности Галилея оно, как уже указывалось в 3 26, влияет на статистические свойства лишь тривиальным образом и потому не нуждается в особом рассмотрении. В системе координат, вращающейся вместе с телом, справедливо обычное распределение Гиббса; в классической статистике р= (2яЬ) 'ехр ~~ (34,1) где Е'(р, д) — энергия тела в этой системе как функция координат и импульсов его частиц, а Е' — свободная энергия в этой же системе (отнюдь не совпадающая, однако, со свободной энергией покоящегося тела!).
Энергия Е'(р, д) связана с энергией Е(р, 4) в неподвижной системе соотношением Е (Р, д) =Е(Р, 4)-ГйМ(Р, д), (34,2) где 0 — угловая скорость вращения, а М(р, д) — момент импульса тела (см. 3 26). Подставляя (34,2) в (34,1) найдем распределение Гиббса для вращающегося тела в виде') р=(2пга) 'ехр ~ р' ~ (р'4)1. (34,3) Т В классической статистике распределение Гиббса для вращающегося тела можно представить и в другом виде. Для этого воспользуемся следующим выражением для энергии тела по вращающейся системе координат: що Е' = ~ — ) ч лз '(ьаг1'+ (У, где тг' — скорости частиц относительно вращающейся системы, а г — нх раднусы-векторы(см. 1, 3 39). Обозначив посредством Еа(у > Г)=~~ 2 +(г (34,6) з) Распределение (34,3), как и обычное распределение Гиббса, иаходккя в полном соответствии с результатом, полученным еще в 4 4, исходя из теоремы Лиувилля (формула (4,2)): логарифм 'функции распределения является линейной функцией энергии и момента тела.
)гл. гп 124 Распгадалвяиа гиввсл не зависящую от Я часть энергии, получим распределение Гиббса в виде р=(2л)г) 'ехр(~. '[Р' — Е„(ч', г)+ 2 ~~'т[йг~-'~~. Функция р определяет вероятность, отнесенную к элементу фазового пространства )(х,йу,г(г, ... г)р',„г(р',„г)р),..., где р' =- = тч'+т[Иг] — импульсы частиц тела (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
