landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Для свободной энергии Р'=Е' — ТБ (во вращающейся системе координат) соответственно имеем с(Р' = — 5 г( Т вЂ” М тИ. (26,4) 93 $261 валяющиеся телА является не угловая скорость, а момент импульса, причем (26,6) Как известно из механики, равномерное вращение в известном смысле эквивалентно появлению двух силовых полей: поля центробежных сил и поля кориолисовых сил.
Центробежные силы пропорциональны размерам тела (они содержат расстояние до оси вращения); силы же Кориолиса от размеров тела не зависят вовсе. Благодаря этому обстоятельству влияние последних на термодинамические свойства вращающегося макроскопического тела совершенно ничтожно по сравнению с влиянием первых, и ими обычно можно полностью пренебречь '). Поэтому условие теплового равновесия вращающегося тела получится просто подстановкой в (25,2) в качестве и (х, у, г) центробежной энергии частиц: р,(Р, Т) — — =сонат, (26,9) где р,— химический потенциал покоящегося тела, и — масса молекулы, г — расстояние до оси вращения.
По той же причине полную энергию вращающегося тела Е можно написать в виде суммы его внутренней энергии (которую мы обозначим здесь посредством Е,„) и кинетической энергии вращения: Е=Е,„+ —, где 1 — момент инерции тела относительно оси вращения. Надо иметь в виду, что вращение, вообще говоря, меняет распределение масс в теле, поэтому момент инерции и внутренняя энергия тела сами, вообще говоря, зависят от ьа (или от М). Лишь при достаточно медленном вращении эти величины можно считать постоянными, не зависящими от ьа.
Рассмотрим изолированное равномерно вращающееся твердое тело с заданным распределением масс в нем. Поскольку энтропия тела есть функция его внутренней энергии, то в данном случае (Е йга) Вследствие замкнутости тела его полная энергия и момент вращения сохраняются, а энтропия должна иметь максимальное значение, возможное при данных М н Е. Поэтому мы приходим к выводу, что равновесное вращение тела происходит вокруг оси, относительно которой момент инерции имеет наибольшее возмож- ') Можно показать, что в классической статистике корнолисовы силы вообще не влиякзт на статистические свойства тела — см.
й 34. [гл. и тввмодиидмичвскив величины ное значение. Тем самым автоматически подразумевается, что ось вращения во всяком случае является осью инерции тела. Послед. нее обстоятельство, впрочем, заранее очевидно: если тело вра. щается вокруг оси, не являющейся осью инерции, то, как известно из механики, ось вращения сама будет смещаться (прецессировать) в пространстве, т.
е. вращение будет неравномерным, а потому и неравновесным. $ 2?. Термодинамические соотношения в релятивистской области Релятивистская механика приводит к ряду изменений в обычных термодинамических соотношениях. Мы рассмотрим здесь те нз этих изменений, которые представляют наибольший интерес. Если микроскопическое движение частиц, составляющих тело, становится релятивистским, то общие термодинамические соотношения не изменяются, но возникает важное неравенство между давлением и энергией тела Р<— Е (2?,1) где Š— энергия тела, включающая в себя энергию покоя входящих в его состав частиц'). Принципиальный интерес представляют изменения, вносимые общей теорией относительности в условиях теплового равновесия при учете создаваемого самим телом гравитационного поля.
Рассмотрим неподвижное макроскопическое тело; его гравитационное поле будет, разумеется, постоянным. В постоянном гравитационном поле надо отличать сохраняющуюся энергию Е, какой-либо малой части тела от энергии Е, измеренной наблюдателем, находящимся в данном месте; эти две величины связаны друг с другом соотношением Е,=Е)lр;„ где яее — временная компонента метрического тензора (см. П, 8 88; формула (88,9) с о=О, тсз=-Е). Но по самому смыслу приведенного в 9 9 доказательства постоянства температуры вдоль находящегося в равновесии тела ясно, что должна быть постоянна величина, получающаяся дифференцированием энтропии по сохраняющейся энергии Е,.
Температура же Т, измеренная наблюдателем, находящимся в данной точке пространства, получается дифференцированием энтропии по энергии Е и, следовательно, будет различна в разных точках тела. з) Сн. 1!, $ 35. Напомним, однако, что общего доказательства этого неравенства, пригодного для всех существующих в природе (не только электромагнитных) типов взаимодействия между частицами, в настоящее время не существует.
а 27) твгнодинлмичвскне соотношения в гелятнвнстскоя овллсти 95 Т г' я'м=сопз1. (27,2) Аналогичным образом видоизменяется второе условие равновесия — постоянство химического потенциала. Химический потенциал определяется как производная от энергии по числу частиц. Поскольку число частиц, разумеется, гравитационным полем не меняется, то для химического потенциала, измеренного в каждой данной точке, получаем такое же соотношение, как и для температуры: р )~д„= сопз1. (27,3) Заметим, что соотношения (27,2 — 3) можно написать в виде цто цто Т = соп51 —, р = — сопя1 (27,4) позволяющем рассматривать тело не только в той системе отсчета, в которой оно неподвижно, ио и в таких, в которых оно движется (вращается как целое). При этом производная г(х'/гЬ должна браться по мировой линии, описываемой данной точкой тела. В слабом (ньютоновском) гравитационном поле д„ = 1 +2~у(с-', где ср †гравитационн потенциал (см.
11, ч 87). Подставляя это выражение в (27,2) и извлекая корень, найдем в том же приближении Т =сопз1 (1 — —,) . ~р ~ (27,5) Имея в виду, что Ч~ < О, находим, что при равновесии температура выше в тех местах тела, в которых ~ <р ) больше, т. е. в глубине тела. При предельном переходе к нерелятивистской механике (с — оо) (27,5) переходит, как и следовало, в Т =сонэ(. Аналогичным образом можно преобразовать условие (27,3), причем надо иметь в виду, что релятивистский химический потенциал при предельном переходе к классической механике переходит не непосредственно в обычное (нерелятивистское) выражение для химического потенциала в отсутствие поля, которое мы обозначим здесь посредством р„ а в р, +тс', где лтс' †энерг покоя Для вывода количественного соотношения замечаем, что энтропия по существу своего определения зависит исключительно от внутреннего состояния тела и потому не изменяется при появлении гравитационного поля (в той мере, в которой это поле не влияет на внутренние свойства тела, †услов, которое фактически всегда выполнено).
Поэтому производная по энтропии от сохраняющейся энергии Е„ будет равна Т)~ д„, и, таким образом, одно из условий теплового равновесия требует постоянства вдоль тела величины 96 1гл. и тктмодннамичкскик вкличииы отдельной частицы тела. Поэтому имеем Р 3/ага, ж (па+лес') (1 + ф ) ж Р, +глс'+ гпф, так что условие (27,3) переходит в )аа + лпф = сопз1, что совпадает, как и следовало, с (25,2). Наконец, укажем полезное соотношение, являющееся непосред- ственным следствием условий (27,2) и (27,3). Разделив одно на другое, найдем, что )ь/Т=сопз1, откуда следует: с))а/)а=с(Т/Т. С другой стороны, согласно (24,12), при постоянном (равном еди- нице) объеме имеем (Р=ВПТ+Л/(р, бр ор )а а+Р (27,6) 1) В нерелативистском случае, положив и са тса, е са рса~) Р (р — плотность), получим др=ойР (о=т/р — объем, отнесенный к одной частице), как и должно было быть прн Т=сопац где 5, Лг — энтропия и число частиц единицы объема тела.
Подставляя сюда г(Т = (Т/р) с(р и замечая, что )ай+ оТ = Ф+$Т= = в+ Р (в — энергия, отнесенная к единице объема), найдем искомое соотношение '): ГЛАВА !!! РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА $ 28. Распределение Гиббса Перейдем теперь к поставленной в главе 1 задаче о нахождении функции распределення для любого макроскопического тела, являющегося малой частью какой-либо большой замкнутой системы (подсистемой), Наиболее удобный и общий способ подхода к решению этой задачи основан на применении ко всей системе микро- канонического распределения.
Выделим из замкнутой системы интересующее нас тело и будем рассматривать систему как составленную из двух частей: из данного тела и всей остальной ее области, которую мы будем называть по отношению к телу «средойк Микроканоническое распределение (6,6) напишется в виде Ба=сопя! 8(Е+Е' — Е'")«(Г«(Г, (28,1) где Е, «(Г и Е', пГ' относятся соответственно к телу и среде, а Е'"— заданное значение энергии замкнутой системы; этому значению должна быть равна сумма Е+Е' энергий тела и среды. Нашей целью является нахождение вероятности ш„такого состоянвя всей системы, прп котором данное тело находится в некотором определенном квантовом состоянии (с энергией Е„), т.
е. в состоянии, описанном микроскопическим образом. Микроскопическим же состоянием среды мы при этом не интересуемся, т. е. будем счвтать, что она находится в некотором макроскопически описанном состоянии. Пусть АГ' есть статистический вес макроскопического состояния среды; обозначим также посредством АЕ' интервал значений энергии среды, соответствующий интервалу АГ' квантовых состояний в указанном в 5 7 смысле. Искомую вероятность га„мы найдем, заменив в (28,1) «(Г единицей, положив Е = Е„и проинтегрировав по оГ: га„= сопз( ° ~ б (Е„+ Е' — Е"') «(Г. Пусть Г'(Е') — полное число квантовых состояний среды с энергией, меньшей или равной Е'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
