landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Преобразуем эту производную„ переходя к независимым переменным Р, Т. Имеем д(Т, )Г) )' д))г') ( †) — :— дг', д(т, ))Г) д(Р, т) ),дР )г дР)гг д(Р, ))г) д(Р Чг) Уд~1 д(Р, Т) ),дТ )р откуда с помощью формул (14,7) и (16,7) получаем (' — ') = Цт~ —,") — )1, (18,2) Изменение энтропии определяется производной (д8)дР) Из соотношения дЯГ=-ТдБ+УдР, написанного в виде д5 = = д))7(Т вЂ” УдР(Т, имеем (18,3) Эта величина всегда отрицательна, как и должно было быть: переход газа к меньшему давлению путем необратимого процесса Джоуля †Томсо сопровождается увеличением энтропии. Скажем несколько слов о процессе, заключающемся в том, что газ„ первоначально находив~нийся в одном из двух сообщающихся сосудов, расширяется во второй сосуд; этот процесс, разумеется, не стационареи, и давления в обоих сосудах меняются, пока не сравняются друг с другом.
При таком расширении газа в пустоту сохраняется его энергия Е. Если в результате расширения общий объем меняется лиань незначительно, то изменение гдТА температуры определяется производной ( †) . Переходя в этой (,д)") Н ' производной к независимым переменным ~~, Т, получим формулу д)) =с — ~~ — 7'(тт) 1.
(184) Для изменения энтропии имеем ( д1Г)н Т ~дх' Р (18,5) Как и следовало, энтропия возрастает при расширении. 74 (гл. и тееводинлннческие величины 9 19. Максимальная работа Рассмотрим теплоизолированную систему, состоящую из нескольких тел, не находящихся друг с другом в тепловом равновесии, В течение процесса установления равновесия система может совершать работу (над какими-либо внешними объектами). Переход в равновесие может, однако, совершаться различным образом, причем будут различными и окончательные равновесные состояния системы; в частности, будут различными ее энергия и энтропия.
Соответственно этому полная работа, которую можно получить от неравновесной системы, будет зависеть от способа установления равновесия, и можно поставить вопрос о том, каким образом должен произойти переход в равновесное состояние, для того чтобы система произвела наибольшую возможную работу. При этом мы интересуемся именно той работой, которая производится за счет неравновесности системы; это значит, что надо исключить работу, которая могла бы быть произведена за счет общего расширения системы„ — такая работа могла бы производиться и системой, находящейся самой по себе в равновесии.
Соответственно этому будем предполагать, что в результате процесса общий объем системы остается неизменным (хотя и может меняться в течение процесса). Пусть первоначальная энергия системы есть Е„ а энергия в состоянии равновесия как функция от энтропии системы в этом состоянии Е(5).
Вследствие теплоизолированпости системы произведенная ею работа равна просто изменению энергии: ( Е ( = Еа — Е (5) (мы пишем (Е(, так как по принятому нами условию Я (О, если работа производится самой системой). Дифференцируя ~ К ( по энтропии 5 конечного состояния, имеем д| й ! ~дл~ дх (сь,~,= где Т вЂ” температура конечного состояния; производная берется при заданном значении объема системы в конечном состоянии (совпадающем с его начальной величиной). Мы видим, что эта производная отрицательна, т. е, ~ Й ~ уменьшается с увеличением 5. Но энтропия теплоизолированной системы не может убывать. Поэтому наибольшее возможное ~Е~ будет достигнуто, если 5 останется в течение всего процесса неизменной.
Таким образом, мы приходим к выводу, что система производит максимальную работу в том случае, когда ее энтропия остается постоянной, т. е. переход в равновесное, состояние совершается обратимым образом. Определим максимальную работу, которая может быль произведена при обмене малым количеством энергии между двумя $191 млксимлльиля Рлвотл телами с различными температурами Т, и Т,; пусть Т, > Т,.
Прежде всего подчеркнем, что если бы передача энергии происходила непосредственно при соприкосновении обоих тел, то никакой работы вообще не было бы произведено. Процесс был бы необратимым (энтропия обоих тел увеличилась бы на 6Е (11Та — 11Т,), где 6Š†перенесенн количество энергии). Поэтому для того, чтобы осуществить обратимый перенос энергии и, соответственно, получить максимальную работу, необходимо ввести в систему еще одно вспомогательное тело (рабочее тело), совершающее определенный обратимый круговой процесс.
Процесс этот должен осуществляться таким образом, чтобы тела, между которыми происходит непосредственный обмен энергией, находились при одинаковой температуре. Именно, рабочее тело при температуре Т, приводится в соприкосновение с телом с температурой Т, и изотермически получает от него определенную энергию. Затем оно адиабатически охлаждается до температуры Т„ отдает при этой температуре энергию телу с температурой Т, и, наконец, адиабатически возвращается в первоначальное состояние. При расширениях, связанных с этим процессом, рабочее тело производит работу над внешними объектами.
Описанный круговой процесс называется циклом Кармо. Переходя к вычислению получающейся максимальной работы, замечаем, что рабочее тело можно при этом не рассматривать, поскольку оно возвращается в результате процесса в исходное состояние. Пусть более нагретое второе тело теряет количество энергии — 6Е,= — Т,6Е„а первое получает при этом энергию 6Е,=Та6Ех. Ввиду обратимости процесса сумма энтропий обоих тел остается постоянной, т.
е. бах= — 65,. Произведенная работа равна уменьшению полной энергии обоих тел, т. е. ~ Я (а,„= — 6Е,— 6Е, = — Т,6Е,— Т,6Е, = — (Т,— Т,) 6З„ илн (19,1) 1 6)1!ахах = г 1 6Ех! Отношение совершенной работы к количеству затраченной энергии называют коэффициентом полезного действия г1. Максимальный коэффициент полезного действия при переходе энергии от более нагретого к менее нагретому телу равен, согласно (19,1), (19,2) Более удобной величиной является коэффициент использования и, определяемый как отношение произведенной работы к максимальной работе, которая может быть получена в данных условиях.
Очевидно, что п= 9/т~,„. )гл. и ТЕРМОДИНАИИЧЕСКИЕ ЕЕЛИЧИНЫ 5 20. Максимальная работа, производимая телом, находящимся во внешней среде Рассмотрим теперь вопрос о максимальной работе в другой постановке. Пусть тело находится во внешней среде, причем температура Т, и давление Р, среды отличны от температуры Т и давления Р тела. Тело может совершать работу над некоторым объектом, который предполагается теплоизолированным как от среды, так и от данного тела.
Среда вместе с находящимися в ней телом и объектом работы образует замкнутую систему. Среда обладает настолько большими объемом и энергией, что изменение этих величин в результате происходящих с телом процессов не приводит к сколько-нибудь заметному изменению температуры и давления среды, которые можно, следовательно, считать постоянными. Если бы среды не было, то работа, произведенная телом над теплоизолированным объектом при заданном изменении состояния тела (т.
е. заданных начальном и конечном состояниях), была бы вполне определенной величиной, равной изменению энергии тела. Наличие же среды, тоже участвующей в процессе, делает результат неоднозначным, и возникает вопрос о том, какова максимальная работа, которую может произвести тело при данном изменении его состояния. Если при переходе из одного состояния в другое тело производит работу над внешним объектом, то при обратном переходе из второго состояния в первое какой-либо внешний источник работы должен производить работу над телом.
Прямому переходу, сопровождающемуся совершением телом максимальной работы ~ Я ~,„, соответствует обратный переход, осуществление которого требует затраты внешним источником минимальной работы Я ы. Очевидно, что работы ~ Я ~,„ и Я ы совпадают друг с другом„ так что задачи об их вычислении полностью эквивалентны, и ниже мы говорим о работе, производимой над телом теплоизолированным внешним источником работы. В теченве процесса тело может обмениваться теплом и работой со средой. Работа, произведенная над телом средой, должна быть, конечно, выделена из полной произведенной над телом работы, так как нас интересует лишь та работа, которая производится данным внешним источником. Таким образом, полное изменение энергии тела АЕ при некотором (не обязательно малом) изменении его состояния складывается из трех частей: из произведенной над телом работы внешнего источника Я, из работы, произведенной средой, и из полученного от среды тепла.
Как уже было указано, благодаря большим размерам среды ее температуру и давление можно считать постоянными; поэтому произведенная ею над телом работа есть Р,И„ а отданное ею количество тепла й 20) тело, нАходящееся ВО Внешней сгеде Равно †ТоГа (бУквы с инДексом нУль относЯтсЯ к сРеДе, а без индекса †телу). Таким образом, имеем: ГЕЕ = й+ РоЛУо — Табло. Поскольку объем среды вместе с телом остается неизменным, то цУо= — гаУ. Далее, в силу закона возрастания энтропии имеем: ЬЗ+ЛЕ,)~0 (энтропия теплоизолированного источника работы вообще не меняется), так что ЛЗ,) — ЬЕ.
Поэтому из )г= ЬЕ— — Р~Яо+ Тобаго находим 1( Рэ Л Е вЂ” ТоАЕ + Р,ГЕУ. (20,1) Знак равенства достигается при обратимом процессе. Таким образом, мы снова приходим к выводу, что переход совершается с минимальной затратой работы (и, соответственно, обратный переход — с максимальным производством работы), если он происходит обратимо. Величина минимальной работы определяется формулой )г Ш=Л(Š— Т $+Р У) (20,2) (Т, и Р, как постоянные величины могут быть внесены под знак ах), т. е.
эта работа равна изменению величины Š— ТоБ+ Р,У. Для максимальной работы формула должна быть, очевидно, написана с обратным знаком: ! Й!Яаах й (Е ТоЕ+ РоУ) (20,3) так как начальное и конечное состояния меняются местами. Если в течение процесса тело находится в каждый данный момент в равновесном состоянии (но, конечно, не в равновесии со средой), то для бесконечно малого изменения состояния формулу (20,2) можно написать в другом виде; подставив о(Е = = Тг(8 — Рг(У в г(Р, ш=г(Š— Тог(В+Рог(У, находим г1К ы — — (Т вЂ” Т,)гБ — (Р— Р,)И. (20,4) Отметим два важных частных случая, Если объем и температура тела остаются неизменными, причем последняя равна температуре среды, то из (20,2) имеем: й ;,=А(Š— ТБ), илп 'хоОЯ '-~Р~ (20,5) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
