landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В Поднеркнем, чп> энтропии <>тдеаьных частей системы прн этом отнн>дь не доакны тоже останатьсн постонннымн. гллвл и ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ 9 9. Температура Физические величины, характеризующие макроскопические состояния тел, называют термодинамическими. Среди этих величин есть такие, которые наряду с термодинамическим имеют также и чисто механический смысл; таковы, например, энергия и объем. Существуют, однако, и другого рода величины, появляющиеся именно как результат чисто статистических закономерностей и вообще не имеющие смысла в применении к немакроскопическим системам; такова, например, энтропия. В дальнейшем мы введем целый ряд соотношений между термодинамическими величинами, которые имеют место независимо от того, к каким именно конкретным телам эти величины относятся.
Такие соотношения называют термодинамическимн. При использовании термодинамических величин обычно не представляют никакого интереса те ничтожные флуктуации, которые они испытывают. Соответственно этому мы и будем полностью пренебрегать этими флуктуациями, рассматривая термодинамические величины как меняющиеся лишь при изменении макроскопического состояния тела'). Рассмотрим два тела, находящиеся в тепловом равновесии друг с другом, причем оба тела вместе составляют замкнутую систему.
Тогда энтропия 5 этой системы имеет наибольшее возможное (при данной энергии Е системы) значение. Энергия Е есть сумма энергий Е, и Е, каждого из тел: Е= Е,+Е,. То же самое касается энтропии 5 системы, причем энтропия каждого из тел является функцией энергии этого же тела: 5=5,(Е )+5 (Е ). Поскольку Е, =Š— Е„где Š— постоянная, то 5 есть в действительности функция однои независимой переменной, и необходимое условие максимума можно написать в виде ~~~1 ~~~Я ~~Е2 ~~~1 ~~~2 яма авх ЯЕа бЕт ЙЕх дна откуда т) Флуктуации же термодннамическнх величин будут рассмотрены в специально посвященной этому главе ХИ.
Е 9] ТЕМПЕРАТУРА Этот вывод без труда обобщается на случай любого числа тел, находящихся в равновесии друг с другом. Таким образом, если система находятся в состоянии термодинамического равновесия, то производная энтропии по энергии для всех ее частей одинакова, т.
е. постоянна вдоль всей системы. Величину, обратную производной энтропии тела 3 по его энергии Е, называют его абсолютной температурой, или просто температурой Т: Ю 1 ЕЕ Т (9,1) 2~~1 2]~2 ~~~1 1]Е1 ~~2 ~~Е2 111 211 2й 21Е1 111 2]Е2 2й — = — '+ — '= ' — '+ — '' — '> О.
Поскольку полная энергия сохраняется, то — „+ — „, = О, так что 11Е1 ПЕ2 Пусть температура второго тела выше температуры первого (Т, ) Т,). Тогда 2]Е1/а1 > 0 (соответственно г]Е2]й! (0). Другими словами, энергия второго тела уменьшается, а энергия первого увеличивается. Это свойство температуры можно сформулировать так: энергия переходит от тел с более высокой к телам с более низкой температурой. Энтропия 5 есть безразмерная величина. Поэтому из определения (9,!) следует, что температура имеет размерность энергии и потому может измеряться в единицах энергии, например в эргах. Однако эрг оказывается в обычных условиях слишком большой величиной и на практике принято измерять температуру в особых единицах, называемых градусами Кельеина или просто градусами.
Переводной коэффициент между эргамн и градусами, т. е. число эргов в градусе, называется постоянной Больцмана и Температуры тел, находящихся в равновесии друг с другом, следовательно, одинаковы: Т,= Т,. Как и энтропия, температура является, очевидно, величиной чисто статистического характера, имеющей смысл исключительно для макроскопических тел. Рассмотрим, далее, два тела, составляющие вместе замкнутую систему, но не находящиеся в равновесии друг с другом. Их температуры Т, и Т, различны. С течением времени между телами будет устанавливаться равновесие, причем их температуры будут постепенно выравниваться. Их общая энтропия Я = 51+32 должна при этом возрастать, т. е.
ее производная по времени положительна: [гл. и 52 тквмодииамичискик величины обозначается обычно буквой й; она равна') й=1,38 10 " эре!граЗ. Мы условимся в дальнейшем во всех формулах подразумевать температуру измеренной в энергетических единицах. Для перехода при численных расчетах к температуре, измеренной в градусах, достаточно просто заменить Т па ИТ. Постоянное же использование множителя й, единственное назначение которого состоит в напоминании об условных единицах измерения температуры, лишь загромождало бы формулы. Если пользоваться температурой в градусах, то во избежание появления постоянной й в общих термодинамических соотношениях принято вводить этот множитель также и в определение энтропии, написав Ю= )г 1п ЛГ (9,2) вместо (7,7).
Тогда формула (9,1) определения температуры, а с нею и все общие термодинамические соотношения, получаемые ниже в этой главе, не изменятся при переходе к градусам. Таким образом, правило перехода к градусам состоит в замене в формулах Т вЂ” йТ, Я вЂ” —. 5 д 9 1О. ййакроскопическое движение В отличие от микроскопического движения молекул, макроскопическим называют движение„ в котором участвуют как целое отдельные макроскопические части тела.
Рассмотрим вопрос о возможности макроскопического движения в состоянии термодинамического равновесия. Разделим тело иа большое число малых (но макроскоппческих) частей, и пусть М„Е„Р, обозначают массу, энергию и импульс а-й части. Энтропия Я, каждой части есть функция ее внутренней энергии, т. е. разности между ее полной энергией Е, и кинетической энергией Р,'/2М, ее макроскопического движения').
Поэтому полную энтропию тела можно написать в виде (10,1) ') Укажем для справок еще переводной коэффицисят между градусами и электроиовочьтами: ! ее=11606 град. а) Тот факт, что энтропия тела есть функция только от его внутренней энергии, следует непосредственно иэ принципа относительности Галилея; число кваитовых состояний, а потому и статистический вес (логарифму которого равна энтропия) должны быть одинаковыми во всех ииерциальиых системак отсчета, в частности и в той, в которой тело покоится. 53 й 101 млкгоскопнчкскок двнжнинн Будем предполагать тело замкнутым. Тогда наряду с энергией сохраняются полный импульс и полный момент импульса тела: ~ч'' „Р, = сопз1,,~Р ~«г,Р 1= сопз1 (10,2) е О (г — радиусы-векторы частей тела).
В состоянии равновесия полная энтропия Я тела как функция импульсов Р имеет максимум при дополнительных условиях (10,2). Следуя известному методу неопределенных множителей Лагранжа, найдем необходимые условия максимума, приравняв нулю производные по Р, от суммы ~ (Я, + аР, + Ь «г,РД, (10,3) где а, Ь вЂ” постоянные векторы. Дифференцирование 3, по Р,') даст в силу определения температуры: (у,=р,)М вЂ” скорость а-й части тела). Поэтому, дифференцируя (10,3), найдем: — ч,)Т+а+[Ьг,)=0, или ч, = и + [1)г,), (10,4) где и=Та, Я=ТЬ вЂ” постоянные векторы.
Полученный результат имеет простой физический смысл. Если скорости всех частей тела определяются формулой (10,4) с одинаковыми для всех частей и и Й, то это значит, что мы имеем дело с поступательным движением тела как целого с постоянной скоростью и и его вращением как целого с постоянной угловой скоростью аа. Таким образом, мы приходим к существенному результату: в термодинамическом равновесии замкнутая система может совершать лишь равномерное поступательное и вращательное движение как целое; никакие внутренние макроскопические движения в состоянии равновесия невозможны '). В дальнейшем мы будем обычна рассматривать неподвижные . тела; соответственно, энергия Е будет представлять собой внутреннюю энергию тела, До сих пор использовалось лишь необходимое условие максимальности энтропии как функции импульсов, но не достаточное т) Производную по вектору надо понимать как вектор, составляющие которого равны производным по составляющим вектора, по которому производится днфференнирование.
') Во избежание недоразумений отметим существующее исключение вз этого правила: сверхтекучкй жидкий гелий не может вращаться как целое. Это явление будет рассмотрено в другом томе этого курса; здесь укажем лишь, что проведенное доказательство в этом случае непригодно так как распределение скоростей подчиняется дополнительному условию (потенниаль. ности сверхтекучего движения), при котором и должен отыскиваться максимум энтропии. 54 [гл. и тптмодипамичкскпк величины условие, налагаемое на ее вторые производные. Легко видеть, что последнее приводит к весьма важному заключению о том, что температура может быть только положительной: Т > 0 ').
Для этого нет даже необходимости фактически вычислять вторые производные„ а достаточно произвести следующее рассуждение. Рассмотрим неподвижное как целое замкнутое тело. Если бы температура была отрицательной, то энтропия возрастала бы при уменьшении своего аргумента. Ввиду стремления энтропии к возрастанию тело стремилось бы самопроизвольно распасться на разлетающиеся (с суммарным импульсом ~чР~Р,=О) части, так чтобы аргумент каждой из Я, в сумме (10,1) принял по возможности малое значение. Другими словами, при Т< 0 было бы вообще невозможно существование равновесных тел. Отметим, однако, уже здесь следующее обстоятельство. Хотя температура тела или какой-либо его отдельной части никогда не может быть отрицательной, могут оказаться возможными такие неполные равновесия, при которых отрицательна температура, соответствующая определенной части степеней свободы тела (подробнее об этом см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
