landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 7
Текст из файла (страница 7)
ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ [гл малости последних мы видим, что для приведения макроскопи. ческого тела в какое-либо определенное стационарное состояние потребовалось бы неизмеримо большое время Лт Ь!АЕ'. Другими словами, мы снова приходим к выводу о невозможности осуществления строго стационарных состояний макроскопического тела. Вообще описание состояния макроскопического тела с помощью волновой функции неосуществимо, ибо фактически возможный запас данных о состоянии такого тела далеко не соответствует полному набору данных, необходимому для построения его волновой функции. Положение здесь в известном смысле аналогично тому, которое имеет место в классической статистике, где невозможность учета начальных условий для всех частиц тела приводит к невозможности точного механического описания его поведения; аналогия, впрочем, неполная, так как невозможность полного квантово-механического описания и отсутствие волновой функции, описывающей макроскопическое тело, могут, как мы видели, иметь гораздо более глубокие основания.
[«,вантовомеханическое описание, основанное на неполном наборе данных о системе, осуществляется, как известно, посредством так называемой матрицы плоянссп»и [см. П1, $ 14). Знание матрицы плотности позволяет вычислять среднее значение любой величины, характеризующей систему, а также вероятности различных значений этих величин. Неполнота описания заключается при этом в том, что результаты различного рода измерений, которые можно предсказать на основании знания матрицы плотности с некоторой долей вероятности, могли бы, возможно, быть предсказаны с большей или даже полной достоверностью на Основании полного набора сведений о системе, достаточного для построения ее волновой функции.
Мы не станем выписывать здесь известных нз квантовой механики формул, относящихся к матрице плотности в координатном представлении, так как это представление фактически не применяется в статистике. Покажем, однако, каким образом можно непосредственно ввести матрицу плотности в энергетическом представлении, необходимом для статистических применений. Рассмотрим некоторую подсистему и введем понятие о ее «стационарных состояниях» как о состояниях, получающихся при полном пренебрежении всеми взаимодействиями данной подсистемы с окружающими частями замкнутой системы.
Пусть»р„[д) будут нормированные волновые функции этих состояний [без временного множителя), где д условно обозначает совокупность всех координат подсистемы, а индекс п — совокупность всех квантовых чисел, отличающих различные стационарные состояния; энергии этих состояний будем обозначать посредством Е„. Предположим, что в данный момент времени подсистема находится в некотором полно описанном состоянии с волновой функ- $5) СТАТИСТП'!НСКАЯ МАТ'РИГ!А йцией з)г. Последнюю можно разложить по образующим полную систему функциям три(г)), Напишем это разложение в анде зр = ~~,а с„зр„.
(5,1) Среднее значение любой величины г в данном состоянии может быть, как известно, вычислено по коэффициентам сл с помощью формулы л а СопгнГ ллгг (5,2) где )'. =) Ф."ГфыйЧ (5,3) — матричные элементы величины )г(à — соответствующий ей оператор). Переход от полного к неполному квантовомеханическому описанию подсистемы можно рассматривать в некотором смысле как усреднение по ее различным тр-состояниям. В результате такого усреднения произведения с„'с дадут двойной (по двум индексам) набор некоторых величин, которые мы обозначим посредством гп„„ и которые не могут уже быть выражены в виде произведений каких-либо величин, образующих ординарный набор.
Среднее значение величины у выразится теперь формулой вида 7=1 ..(.. (5,4) Совокупность величин ц „(вообще говоря, функций времени) и представляет собой матрицу плотности в энергетическом представлении; в статистике ее называют статистической патриций '), Если рассматривать гп о как матричные элементы некоторого сгпагпистичаского огтерапгора ю, то сумма ~ю „1„будет диагол нальным матричным элементом произведения операторов Ц, а среднее значение ( напишется в виде следа (суммы диагональных элементов) этого оператора ) Х( Льн р(() (5„5) Такая форма записи обладает тем преимуществом, что дает воз- ') Мы говорим об энергетическом представлении, тан как именно оно обычно применяется в статистике.
Однако до снх пор мы еще нигде не воспользовалпсь непосредственно тем, что ф„ †волнов функции стационарных состояний. Ясно повтому, что тем же самым способом люжно определить матрицу плотности по отношенню к любой полной системе волновых функций. Укажем также, что обычная координатная матрица плотности р (о, о') (см, 1!1, й 14) выражается через матрицу юм„формулой р(4 4')=.~~ ' ф (ч')ф (ч) «гл [гл. ! ОснОВные пгннципы статистики можность производить вычисления с помощью произвольного полного набора взаимно ортогональных и нормированных волновых функций: след оператора не зависит от выбора системы функций, по отношению к которым определяются матричные элементы (см. 111, Э 12).
Аналогичным образом видоизменяются и другие квантовомеханические выражения, в которые входят величины с„,— всякий раз произведения с„с должны заменяться иа «усредненные значения» ц! „: с;сщ — и!ад. Так, вероятность подсистеме находиться в и-м состоянии будет равна соответствующему диагональному элементу !Н„„матрицы плотности (вместо квадрата модуля с„'с„). Очевидно, что эти элементы, которые мы будем обозначать ниже посредством ц!„, всегда положительны ц!„= ц!„„> О (5,5) и удовлетворяют условию нормировки Ьр и! = ~.
!в„= 1 (5,7) ( соответствующему условию ~; ~ с„~' = 1) . Необходимо подчеркнуть, что усреднение по различным ф-со- стояниям, которые мы ввели с целью сделать наглядным переход от полного квантовомеханического описания к неполному, имеет лишь весьма условный смысл, В частности, было бы совершенно неправильным считать, что описание с помощью матрицы плотности соответствует тому, что подсистема может с различными вероят- ностями находиться в различных ф-состояниях, а производимое усреднение есть усреднение по этим вероятностям; такое утвер- ждение вообще противоречило бы основным принципам квантовой механики.
Состояния квантовой системы, описывающиеся волновыми функциями, иногда называют чисн!ыми состояниями в отличие от смешанных состояний, описывающихся матрицей плотности. Следует, однако, предостеречь ст неправильного понимания по- следних в указанном выше смысле, Усреднение с помощью статистической матрицы, определяемое формулой (5,4), имеет двоякую природу. Оно включает в себя как усреднение, связанное с вероятностным характером квантового описания — даже наиболее полного — самого по себе, так и стати- стическое усреднение, необходимость в котором возникает в ре- зультате неполноты наших сведений о рассматриваемом объекте.
В случае чистого состояния остается лишь первое усреднение, в статистических же случаях всегда присутствуют оба элемента усреднения. Необходимо, однако, иметь в виду, что эти элементы й 51 стлтистяческэя ялГРицл отнюдь ие могут быть отделены друг от друга; все усреднение производится единым образом, и его невозможно представить как результат последовательна производимых чисто квантовомеханического и чисто статистического усреднений.
Статистическая матрица заменяет в квантовой статистике функцию распределения классической статистики. Все сказанное в предыдущих параграфах применительно к классической статистике но поводу практически определенного характера делаемых ею предсказаний полностью относится и к квантовой статистике. Изложенное в й 2 доказательство стремления к нулю (при увеличении числа частиц) относительных флуктуаций аддитивных физических величии вообще не использовало каких-либо особенностей, специфических для классической механики, и потому полностью относится и к квантовому случаю. Мы можем, следовательно, по-прежнему утверждать, что макроскопические величины остаются практически равными своим средним значениям. В классической статистике функция распределения р(р, д) непосредственно дает распределение вероятностей различных значений координат и импульсов частиц тела. В квантовой же статистике это не так: величины ш„дают лишь вероятности найти тело в том нли ином квантовом состоянии, без всякого непосредственного указания на значения координат или импульсов частиц.
В силу самой природы квантовой механики, в основанной на ней статистике речь может идти лишь о нахождении распределения вероятностей для координат или импульсов в отдельности, а не тех и других вместе, поскольку координаты и импульсы частицы вообще не могут одновременно иметь определенных значений.
Искомые раслределения вероятностей должны учитывать как статистическую неопределенность, так и неопределенность, присущую квантовомеханическому описанию самому по себе. Для нахождения этих распределений снова воспользуемся ярименепным выше способом рассуждений. Предположим сначала, что тело находится в чистом квантовом состоянии с волновой функцией (5,1).
Распределение вероятностей для координат определяется при этом квадратом модуля: так что вероятность координатам иметь значения в данном интервале йд=Ауй),...дд, равна гйв =(ф~Мд. Переход к смешанному состоянию производится путем замены произведений с„*с„ элементами ш „статистической матрицы, в результате чего ~ф~' переходит в сумму ОснОВные пгинципы статистики (гл. т Но по определению матричных элементов можно написать: Х Гпмптум = Нпрп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
