landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Поэтому к ним можно применить прежнее определение статистических весов ЛГ, и, таким образом, вычислить их энтропии 5,. Статистический вес ЛГ всей системы определяется затем как произведение (7,13) и, соответственно, энтропия Е— как сумма энтропий 5,. Подчеркнем, однако, что энтропия неравновесной системы, определенная таким образом как сумма энтропий ее частей (удовлетворяющих поставленному выше условию), не может быть теперь вычислена с помощью представления о термостате, без разделения системы на части.
В то же время это определение вполне однозначно в том смысле, что дальнейшее разделение подсистем на еще более мелкие части не изменит значения энтропии, поскольку каждая подсистема уже находится сама по себе в своем «полном» равновесии. Следует в особенности обратить внимание нз роль времени в определении энтропии.
Энтропия есть величина, характеризующая средние свойства тела за некоторый отличный от нуля промежуток времени Аг. Задав Ж, мы должны для определения 5 43 к 71 ЭНТРОПИЯ мысленно разделить тело на части, настолько малые, чтобы их Собственные времена релаксации были малы по сравнеиию с Ь1. Поскольку в то же время эти части и сами должны быть макрогкопнческими, то ясно, что для слишком малых интервалов Ж понятие энтропии вообще теряет смысл; в частности, нельзя говорить о мгновенном ее значении, Дав, таким образом, полное определение энтропии, обратимся теперь к выяснению важнейших свойств и основного физического смысла этой величины.
Для этого надо привлечь микроканоническое распределение, согласно которому для описания статистических свойств замкнутой системы можно пользоваться функцией распределения вида (6,6) йг = сопз( ° б (Š— Е,) ° Ц т(Га . а Здесь ЙГ, можно понимать как дифференциал функции Г,(Е,), представляющей собой число квантовых состояний подсистемы С энергиями, меньшими или равными Е,; перепишем т(ээ в виде ды = сопз1 б(Š— Е,) Ц вЂ” „' г)Е,. лг, (7,15) а а Статистический вес ЬГ, по самому своему определению есть функция от средней энергии Е, подсистемы; то жс относится и к Е,=Е,(Е,).
Будем теперь формально рассматривать ЬГ, и Е„ как функции истинного значения энергии Еа (те хте функции, которыми оин в действительности являются от Е,). Тогда мы можем заменить в (7,15) производные Л'„(Е„)1т(Е„отношениями ЬГ,/ЬЕ„, где ЬГа — понимаемая в указанном смысле функция от Е„а ЬЕ, — СООтВЕтетВуЮщнй ЬГа ИитсрааЛ ЗиаЧЕНИй ЭНЕРГИИ (тоже функция от Е,). Наконец, заменив ЬГ, на ехать' ~, получим т(ю=сопз1 6(Š— Е,) еэ Ц вЂ”,', (7,16) где 3 = ч~~~ Е„(Е,) — энтропия всей замкнутой системы, понимаемая как фушсция точных значений энергий ее частей.
Множитель ез, в экспоненте которого стоит аддптивная величина, есть очень быстро меняющаяся функция энергий Е,. По сравнению с этой функцией зависимость от энергий величины Ц ЬЕ, совершенно несущественна, и поэтому с очень большой точностью можно заменить (7,16) выражением т(ат= сопз1 б(Š— Е,) езЦТ(Е,. (7,17) а Но йа, выраженное в виде, пропорциональном произведению дифференциалов всех ЙЕ„есть не что иное, как вероятность всем подсистемам иметь энергии, лежащие в заданных интервалах основныв пвниципы стлтнсгнкн между Е, и Е, +йЕ,. Таким образом, мы видим, что эта вероятность определяется энтропией системы как функцией энергий подсистем; множитель б(Š— Е,) обеспечивает равенство суммы Е=,~Е, заданному значению Е, энергии системы.
Это свойство энтропии, как мы увидим в дальнейшем, лежит в основе ее статистических применений. Мы знаем, что наиболее вероятными значениями энергий Е, являются их средние значения Е,. Это значит, что функция 5(Еы Е„...) должна иметь при Е,=Е, максимальное возможное (при заданном значении суммы ~~~РЕ,=Е,) значение. Но Е, есть как раз те значения энергий подсистем, которые соответствуют полному статистическому равновесию системы. Таким образом, мы приходим к следующему важнейшему выводу: энтропия замкнутой системы в состоянии полного статистического равновесия имеет наибольшее возможное (при заданной энергии системы) значение.
Наконец, унажем еще одно интересное истолкование функции 5 = Я (Е) — энтропии какой-либо подсистемы или замкнутой системы (в последнем случае предполагается, что система находится в полном равновесии, в результате чего ее энтропия может быть выражена как функция от одной лишь ее полной энергии). Статистический вес юГ==аз'"' по самому своему определению есть число уровней энергии, приходящихся на интервал ЬЕ, определенным образом характеризующий ширину распределения вероятностей по энергии.
Разделив ЛЕ на ЛГ, мы получим среднее расстояние между соседними уровнями в данном участке (участок вблизи значения Е) энергетического спектра рассматриваемой системы. Обозначив это расстояние как Р (Е), можем написать: Р(Е)= ХЕ е з'ю. (7,18) Таким образом, функция Я(Е) определяет густоту уровней энергетического спектра макроскопической системы. Ввиду аддитивности энтропии можно сказать, что средние расстояния между уровнями макроскопического тела экспоненциальио убывают с увеличением его размеров (т. е. числа частиц в нем). $8. Закон возрастания энтропии Если замкнутая система не находится в состоянии статистического равновесия, то с течением времени ее макроскопическое состояние будет изменяться, пока система в конце концов не придет в состояние полного равновесия.
Характеризуя каждое макроскопическое состояние системы распределением энергии между различными подсистемами, мы можем сказать, что ряд последовательно проходимых системой состояний соответствует все более вероятному распре- $81 ЗАКОН ЭОЗРЛСТАНИЯ ЭНТРОПИИ делению энергии. Это возрастание вероятности, вообще говоря, чрезвычайно велико в силу выясненного в предыдущем параграфе экспоненциального ее характера.
Именно, мы видели, что вероятность определяется выражением ез, в экспоненте которого стоит адаптивная величина — энтропия системы. Мы можем поэтому сказать, что процессы, протекающие в неравновесной замкнутой системе, идут таким образом, что система непрерывно переходит из состояний с меньшей в состояния с большей энтропией, пока, наконец, энтропия не достигнет наибольшего возможного значения, соответствующего полному статистическому равновесию. Таким образом, если замкнутая система в некоторый момент времени находится в неравновесном макроскопическом состоянии, та наиболее вероятным следствием в последующие моменты времени будет монотонное возрастание энтропии системы. Это †т называемый закон возрастания энтропии или второй закон тер. модинамики. Он был открыт Клаузиусом 1')т.
С1аиз1из, 1885), а его статистическое обоснование было дана Больцмано.н (Е. Войгтапл, 1870-е годы). Говоря о «наиболее вероятном» следствии, надо иметь в виду, что в действительности вероятность перехода в состояния с большей энтропией настолько подавляюще велика по сравнению с вероятностью сколько-нибудь заметного ее уменьшения, что последнее вообще фактически никогда не может наблюдаться в природе. Отвлекаясь от уменьшений энтропии, связанных ссовершенно ничтожными флуктуацнями, мы можем поэтому сформулировать закон возрастания энтропии следующим образом: если в некоторый момент времени энтропия замкнутой системы отлична от максимальной, то в последуЮщие моменты энтропия не убывает в увеличивается или в предельном случае остается постоянной. В том, что изложенные простые формулировки соответствуют реальной действительности, — нет нинакого сомнения; они подтверждаются всеми нашими ежедневными наблюдениями.
Однако при более внимательном рассмотрении вопроса о физической природе и происхождснни этих закономерностей обнаруживаются существенные затруднения, в известной мере до настоящего времени еще не преодоленные. Прежде всего, если мы попытаемся применить статистику к миру как целому, рассматриваемому как единая замкнутая система, то мы сразу же столкнемся с разительным противоречием между теорией и опытом. Согласно результатам статистики вселенная должна была бы находиться в состоянии полного статистического равновесия. Точнее, должна была бы находиться в равновесии любая сколь угодно большая, но конечная ее область, время релаксации которой во всяком случае конечно. Между тем ежедневный опыт убеждает нас в том, что свойства природы не имеют 4б основана пгинципы стлтистикн ничего общего со свойствами равновесной системы, а астрономические данные показывают, что то же самое относится и ко всей доступной нашему наблюдению колоссальной области Вселенной, Выход нз создающегося таким образом противоречия следует искать в общей теории относительности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
