landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Мы можем теперь сформулировать микроканоническое распре деление в виде, аналогячном классическому выражению (4,6), на. писав для вероятности с!в нахождения системы в каком-либо пз дГ состояний следующее выражение: йе = сопз1 6 (Š— Е,) П д Г,. а (6,6) $7. Энтропия Условие нормировки ~ 1Р(Е) бЕ=1 означает геометрически, что площадь, заключенная под кривой Яг= Ж' (Е), равна единице.

В соответствии с общими утверждениями, сделанными в $ 1, фуш«цпя )Р'(Е) имеет чрезвычайно резкий максимум при Е=Е, Будем рассматривать замкнутую систему в течение времени, большого по сравнению с ее временем релаксации; тем самым подразумевается, что система находится в полном статистическом равновесии. Проведем нижеследующие рассуждения сначала для квантовой статистики. Разделив систему иа большое число макроскопических частей (подсистем), будем рассматривать какую-либо одну из них. Пусть ш» есть функция распределения этой подсистемы; для упрощения формул будем пока опускать у ш„(и других величин) индекс, отличающий подсистемы. С помощью функции ш„можно, в частности, вычислить распределение вероятностей для различных значений энергии Е подсистемы.

Мы видели, что ш„может быть написано как функция только от энергии ш„=ш(Е„). Для того чтобы получить вероятность )Р(Е)г(Е подсистеме иметь энергию в интервале между Е н Е+дЕ, надо умножить ш(Е) на число квантовых состояний с энергиями, лежащими в этом интервале; мы пользуемся здесь тем же представлением о «размазанном» энергетическом спектре, которое было введено в конце предыдущего параграфа. Обозначим посредством Г(Е) число квантовых состояний с энергиями, меньшими и равными Е; тогда интересующее нас число состояний с энергией между Е и Е+йЕ можно написать в виде ЫГ (Е) — г(Е а распределение вероятностей по энергии будет )Р(Е) = ~ и (Е).

кг (к) (7,!) энтгопия будучи сколько-нибудь заметно отличной от нуля лишь в непоредственной близости от втой точки. Введем «ширину» ЛЕ кривой (р .=- йг(Е), определив ее как ширину прямоугольника, высота которого равна значению функции В'(Е) в точке максимума, а площадь равна единице: Ф' (Е) ЛЕ = 1. (7,2) Принимая во внимание выражение (7,1), можно переписать это определение в виде ш(Е)ЛГ=!, (7,3) ЛГ='г(е) ЛЕ ае (7,4) ЛГ= —, Ьр Ьд (хпэ)» где э — число степеней свободы данной подсистемы.

Эта формула и устанавливает искомое соответствие между ЛГ и Лр Лд. Величину ЛГ называют стшпаспшческиж весом макроскопического состояния подсистемы, а ее логарифм 5=!пЛГ (7,7) (7,6) есть число квантовых состояний, соответствующее интервалу ЛЕ рначений энергии. Об определенной таким образом величине ЛГ можно сказать, что она характеризует «степень размазанности» 'макроскопического состояния подсистемы по ее микроскопическим ,состояниям.

Что же касается интервала ЛЕ, то по порядку вели'чины он совпадает со средней флуктуацией энергии подсистемы. Сделанные определения непосредственно переносятся в классическую статистику, но только вместо функции ш(Е) надо говорить о классической функции распределения р, а вместо Лà — об обьеме 'участка фазового пространства, определяемом формулой р (Е) Лр Лд = 1. (7,5) 'Фазовый объем Лр Лд аналогично ЛГ характеризует размеры той области фазового пространства, в которой данная подсистема проводит почти все время. Не представляет труда установить связь между ЛГ и ЛрЛд при предельном переходе от квантовой к классической теории. '«»,ак известно (см.

!И, $48), в квазиклассическом случае можно 'установить определенное соответствие между объемом какой-либо Ьбласти фазового пространства и «приходящимся» на пего числом квантовых состояний; именно, можно сказать, что на каждое Квантовое состояние приходится в фазовом пространстве клетка с объемом (2пй)» (э — число степеней свободы системы). Поэтому ясно, что в квазиклассическом случае число состояний ЛГ можно написать в виде ОСНОВНЫЕ НРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ называют эмгнролией подсистемы. В классическом случае энтропия определяется, соответственно, выражением (2НЙ)г (7,8) Определенная таким образом энтропия, как и самый статистический вес, есть безразмерная величина.

Поскольку число состояний Лр во всяком случае не меньше единицы, то энтропия не может быть отрицательной. Понятие энтропии — одно из важнейших в статистике. Уместно отметить, что если оставаться целиком на позициях классической статистики, то никакого понятия о «числе микроскопических состояни1м вообще нельзя ввести, и мы были бы принуждены определить статистический вес просто как величину Лр ЛО. Но эта величина, как и всякий обьем фазового пространства, имеет размерность произведения е импульсов и стольких же координат, т. е. размерность з-й степени действия: (эра сек)*.

Энтропия, определенная как 1пЛрЛд, имела бы при этом своеобразную размерность логарифма действия. Это значит, что прн изменении единиц действия энтропия изменилась бы на аддитивную постоянную: если изменить единицу действия в а раз, то Лр Лд перейдет в а'ЛрЛд, а!пЛрЛЧ вЂ” в 1п ЛрЛд+з1па. Поэтому в чисто классической статистике энтропия представляет собой величину, определенную лишь с точностью до аддитивной постоянной, зависящей от выбора единиц. Однозначными величинами, пе зависящими от выбора единиц, являются при этом лишь разности энтропий, т.

е. изменения энтропии при том или ином процессе. С этимобстоятельством и связано появление квантовой постоянной Ь в определении (7,8) энтропии для классической статистики. Лишь понятие о числе дискретных квантовых состояний, неизбежно связанное с отличной от нуля квантовой постоянной, позволяет ввести безразмерный статистический вес и тем самым определить энтропию как вполне однозначную величину. Напишем определение энтропии в другом виде, выразив ее непосредственно через функцию распределения. Согласно (6,4) логарифм функции распределения подсистемы имеет вид ! п ш (Е„) = а+ 1ТЕ„.

Ввиду линейности этого выражения по Е„величина 1и ш (Е) = а + рЕ может быть написана и как среднее значение <1пщ(Е,)>. Поэтому энтропию 5= 1пЛГ= — )пш(Е) (согласно (7,3)) можно написать в виде Я= — <1пш(Е„)>, (7,9) ЭНТРОПИЯ е. можно определить энтропию как (взятое с обратным знаком) среднее значение логарифма функции распределения подсистемы.

до смыслу среднего значения имеем 3 = —,Я~ ш„1п ш„; (7,10) л это выражение можно написать в общем операторном виде, не зависящем от выбора системы волновых функций, с помощью которых определяются элементы статистической матрицы'); 5 = — Ьр (йг 1п га). (7,11) Аналогичным образом в классической статистике определение энтропии может быть написано в виде Б = — <1п [(2п6)а р1> = — ) р 1п1(2пй)* р) с(р Нд. (7,12) Вернемся теперь к замкнутой системе в целом, и пусть ЛГО ЛГв...

— статистические веса ее различных подсистем. Если каждая нз подсистем может находиться в одном из ЛГ, квантовых состояний, то этому, очевидно, соответствует ЛГ= Ц АГ (7,13) л различных состояний системы в целом. Эта величина называется статистическим весом, а ее логарифм — энтропией 5 замкнутой системы. Гтсио, что в=Ха., (7,14) Р т. е. определенная таким образом энтропия является величиной аддитивной: энтропия сложной системы равна сумме энтропий ее частей.

Для нсного понимания способа определения энтропии важнО иметь в виду следующее обстоятельство. Энтропию замкнутой системы (полную энергию которой обозначим как Е,), находящейся в полном статистическом равновесии, можно определить и непосредственно, не прибегая к разделению системы иа подсистемы.

Для этого представим себе, что рассматриваемая система Является в действительности лишь малой частью некоторой воображаемой очень большой системы (о которой в этой связи говорят как о глермосталте). Термостат предполагается находящимся в полном равновесии, причем таком, чтобы средняя энергия нашей системы (являющейся теперь незамкнутой подсистемой термостата) з) Оператор !п ге в соответствии с общими правилами надо понимать как операезр, собственные значения которого равны логарифмам собственных значе. нн» оператора в, а собственные функпни озвпадавзт с собственными функциями иосаеанепп, основные пгннципы стьтнстнкя как раз совпадала с истинным значением энергии Е,, Тогда можно формально приписать нашей системе функцию распределения того же вида, что и для всякой ее подсистемы, и с помощью этого распределения определить ее статистический вес М, а с ним и энтропию, непосредственно по тем же формулам (7,3 — 12), которыми мы пользовались для подсистем.

Ясно, что наличие термостата вообще пе сказывается на статистических свойствах отдельных малых частей (подсистем) нашей системы, которые и без того не замкнуты и находятся в равновесии с остальными частями системы. Поэтому наличие термостата не изменит статистических весов ЛГ, этих частей, и определенный только что указанным способом статистический вес будет совпадать с прежним определением в виде произведения (7,13), До сих пор мы предполагали, что замкнутая система находится в полном статистическом равновесии. Теперь следует обобщить сделанные определения па системы, находящиеся в произвольных макроскоппческих состояниях (неполных равновесиях). Итак, предположим, что система находится в некотором неполном равновесии, и будем рассматривать ее в течение промежутков времени М, малых по сравнению со временем релаксации полного равновесия.

Тогда для определения энтропии надо поступить следующим образом. Разделим мысленно систему иа части, настолько малые, что их собственные времена релаксации оказались бы малыми по сравнению с промежутками времени Ы (напомним, что времена релаксации, вообще говоря, уменьшаются с уменьшением размеров системы). Такие подсистемы можно считать находящимися в течение времени М в некоторых своих частных равновесиях, описывающихся определенными функциями распределения.

Характеристики

Список файлов книги