landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Поэтому, для того чтобы интеграл 26 основпыи пвинцнпы статистики ) рад Ь) был отличен от нуля, функпня р (р, д) должна обращаться в этих точках в бесконечность. Правильная запись функции распределения замкнутой системы гласит: р=сопз1.6(Š— Е,)6(Р— Р,)6(М вЂ” М,). (4,4) Наличие 6-функций') обеспечивает обращение р в нуль во всех точках фазового пространства, в которых хотя бы одна из величин Е, Р, М не равна своему заданному значению Е„Р„М,.
Интеграл же от р по всякому фазовому объему, заключающему в себе хотя бы часть указанного выше многообразия точек, конечен. Распределение (4,4) называется микроканоническим'). Импульс и момент замкнутой системы связаны с ее движением как целого — равномерным поступательным движением и равномерным вращением. Поэтому можно сказать, что статистическое состояние системы, совершающей заданное движение, зависит только от ее энергии. Благодаря этому энергия приобретает в статистике совершенно исключительную роль.
Для того чтобы в дальнейшем совсем исключить из рассмотрения момент и импульс, можно применить следующий прием: будем представлять себе систему заключенной в твердый «ящик» и пользоваться системой координат, в которой «ящик» покоится. В таких условиях момент и импульс вообще не будут уже интегралами движения, и единственным аддитивным интегралом движения останется энергия; в то же время на статистических свойствах малых частей системы (подсистем) наличие «ящика», очевидно, вообще не скажется.
Поэтому для логарифмов функций распределения подсистем будем иметь вместо (4,2) еще более простые выражения )п р, =а, +()Е,(р, г)). (4,5) Микроканоническое же распределение для всей системы напишется в виде р = сопи( ° 6 (Š— Е,). (4,6) До сих пор мы предполагали, что вся замкнутая система находится в статистическом равновесии. Другими словами, мы рассматривали ее в течение времен, больших по сравнению с ее временем релаксации. На практике, однако, обычно возникает необходимость рассматривать систему в течение времен, сравнимых или даже малых по сравнению со временем релаксации. Для ») Определение и свойства 6.функции — с»., например, 111, «6. а) Подчеркнем лишний раз, что зто распределение отнюдь не является истинным статястнческим распределением замкнутой системы.
Признаяие его истинным зквивалентио утверждению, что фазоаая траектория замкнутой системы в течение достаточна длительного вре»ени пройдет сколь угодно близко к любой точке многообразия, определяемого уравнениями (4,3). Но такое утверждение (известное под названием»ргодичесяой гипотезы) в общем случае заведомо неправильно.
ф 5) статистическая мктгицА больших систем это оказывается возможным благодаря существованию наряду с полным статистическим равновесием всей замкнутой системы так называемых неполных (или частичных) равновесий. Дело в том, что время релаксации растет с увеличением размеров системы.
В силу этого обстоятельства отдельные малые части системы сами по себе приходят в равновесное состояние значительно быстрее, чем происходит установление равновесия между различными малыми частями. Это значит, что каждая малая часть системы описывается своей функцией распределения вида (4,2), но значения параметров распределения р, у, Ь различны для разных частей. В таком случае говорят, что система находится в неполном рааноеесии. С течением времени неполное равновесие постепенно переходит в полное, причем параметры р, у, 6 для каждой малой части, медленно изменяясь со временем, в конце концов становятся одинаковыми вдоль всей замкнутой системы. Часто приходится иметь дело с неполными равновесиями также и другого рода.
Это — неполные равновесия, происхождение которых связано не с большой разницей в длительности времен релаксации для всей системы и ее малых частей, а с разницей в скоростях всевозможных процессов, идущих во всей системе. Наглядным примером может явиться неполное равновесие в смеси нескольких веществ, между которыми идет химическая реакция. Благодаря сравнительной медленности течения химических реакций равновесие по отношению к движению молекул устанавливается, вообще говоря, значительно быстрее, чем равновесие по отношению ко взаимным превращениям молекул, т.
е. по отношению к составу смеси. Это обстоятельство дает возможность рассматривать неполные равновесия смеси как равновесия при заданном (в действительности неравновесном) ее химическом составе. Наличие неполных равновесий позволяет ввести понятие о макроскопических состояниях системы. Именно, в отличие от механического микроскопического описания (т.е. задания координат и импульсов всех частиц системы), макроскопическим называется описание системы заданием средних значений физических величин, определяющих то нли иное ее неполное равновесие. Например, это могут быть средние значения величин, характеризующих отдельные достаточно малые, но макроскопические части системы, каждую из которых можно считать находящейся в некотором своем частном равновесии.
5 5. Статистическая матрица Переходя к вопросу об особенностях квантовой статистики, отметим, прежде всего, что чисто механический подход к задаче об определении поведения макроскопического тела в квантовой 28 1гл. г ОСИОВИЫВ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ механике, разумеется, столь же безнадежен, как и в классической механике.
При таком подходе требовалось бы решать уравнение Шредингера для системы, состоящей из всех частиц тела,— задача, если можно так выразиться, еще более безнадежная, чем интегрирование классических уравнений движения. Но даже, если бы оказалось возможным в том или ином случае найти общее решение уравнения Шредингера, было бы абсолютно невозможным выбрать и записать удовлетворяющее данным конкретным условиям задачи частгюе решение, характеризующееся определенными значениями грандиозного числа различных квантовых чисел.
Больше того, мы увидим ниже, что для макроскопического тела понятие о стационарных состояниях вообще становится в известном смысле условным,— обстоятельство, имеющее существенное, принципиальное значение. Выясним предварительно некоторые особенности, которые характеризуют с чисто квантовомеханической точки зрения макроскопические тела по сравнению с системами, состоящими из сравнительно малого числа частиц. Эти особенности сводятся к необычайной густоте распределения уровней в спектре собственных значений энергии макроскопического тела. Причину такой густоты легко понять, если заметить, что благодаря колоссальному числу частиц в теле всякая энергия может быть, грубо говоря, «распределена» по различным частицам бесчисленным числом способов.
Связь этого обстоятельства с густотой уровней становится в особенности ясной, если рассмотреть для примера макроскопическое тело, представляющее собой чгаз» из йг' совершенно невзаимодействующих частиц, заключенных в некотором объеме. Уровни энергии такой системы представляют собой просто суммы энергий отдельных частиц, причем энергия каждой частицы пробегает бесконечный ряд дискретных значенийз). Ясно, что, выбирая всеми различными способами значения гч' членов этой суммы, мы получим во всяком сколько-нибудь заметном конечном участке спектра огромное число возможных значений энергии системы, которые, следовательно„будут расположены очень близко друг к другу.
Можно показать (см. 17,18)), вообще, что число уровней в заданном конечном интервале энергетического спектра макроскопического тела возрастает с увеличением числа содержащихся в нем частиц по экспоненциальному закону, а расстояния между уровнями выражаются числами вида 1О А' (где гьг — число порядка величины числа частиц в теле), безразлично в каких единицах, т) Интервалы между соседними уровнями знергни отдельной частицы обратно нронорциовзльны квадрату линейных размеров !. объема, в котором онв заключена (-г»",лгьз, где лг — масса чвстнцы, й — кввнтовзя настояннвя). 29 СТАТИСТИЧЕСКАЯ МАТРИЦА так как разница между различными единицами энергии совершенно не существенна для такого чудовищно малого числа г), Вследствие чрезвычайной густоты уровней макроскопическое тело никогда не может фактически находиться в строго стационарном состоянии. Прежде всего ясно, что значение энергии системы во всяком случае будет «размытым» на величину порядка энергии взаимодействия системы с окружающими телами.
Но последняя неизмеримо велика по сравнению с расстояниями между уровнями, причем не только для «квазизамкнутых» подсистем, но и для таких систем, которые мы со всякой иной точки зрения могли бы считать строго замкнутыми. В природе, разумеется, нет полностью замкнутых систем, взаимодействие которых с любым другим телом равно в точности нулю; всякое же фактически остающееся взаимодействие, которое может быть даже настолько малым, что не отражается ни на каких других свойствах системы, будет все еще чрезвычайно велико по сравнению с исчезающе малыми интервалами ее энергетического спектра. Но и помимо этого существует другая глубокая причина, в силу которой макроскопическое тело не может фактически находиться в стационарном состоянии. Как известно из квантовой механики, состояние системы, описывающееся некоторой волновой функцией, возникает в результате некоторого процесса взаимодействия этой системы с другой системой, которая с достаточной точностью подчиняется классической механике.
Особыми свойствами обладает при этом возникновение стационарного состояния. Здесь необходимо различать значение энергии системы до взаимодействия Е и энергию Е' состояния, возникающего в результате взаимодействия. Как известно (см. Н1, 5 44), неточности 1АЕ и гхЕ' величин Е и Е' связаны с продолжительностью гхг процесса взаимодействия соотношением ~ 1»Е — ЛЕ ~ й лг' Обе погрешности ХЕ и ЛЕ', всеобще говоря, одинакового порядка величины, и анализ показывает, что нельзя добиться, чтобы было 1зЕ'(<1ТЕ.
Поэтому можно утверждать, что и АЕ' — Ь)Лг. Но для того чтобы состояние можно было рассматривать как стационарное, неточность ЛЕ' должна во всяком случае быть малой по сравнению с расстояниями до соседних уровней. В силу чрезвычайной т) Следует оговорит»о что изложенные рассуждения неприменимы х сямаму ивчзльному участку энергетического спектра; расстояния между первыми уровнями энергии мзхросхопичесхаго тела могут даже охвзвться ие зввисящимн от размеров тела. Это обстоятельство, однако, совершенно не существенно для дальнейших выводов: будучи отнесены х одной <естице, расстояния между первыми уровнями для макроскопического тела ничтожно малы, и уивззннзя в тексте густота уровней достигается уже при совершенно незнзчительпых, отнесенных и одной частице, энергиях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
