landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Эти — так называемые статистические — закономерности, обусловленные именно наличием большого числа составляющих тело частиц, ни в какой степени не могут быть сведены к чисто механическим закономерностям. Их специфичность проявляется в том, 14 (гл. 1 ОСНОВНЫЕ ИРИНЦИНЫ СТАТИСТИКИ что они теряют всякое содержание при переходе к механическим системам с небольшим числом степеней свободы.

Таким образом, хотя движение систем с огромным числом степеней свободы подчиняется тем же законам механики, что и движение систем из небольшого числа частиц, наличие большого числа степеней свободы приводит к качественно новым закономерностям. Значение статистической физики в ряду других разделов теоретической физики определяется тем, что в природе мы постоянно встречаемся с макроскопическими телами, поведение которых по указанным причинам не может быть исчерпывающе описано чисто механическимн методами и которые подчиняются статистическим закономерностям.

Переходя к формулированию основной задачи классической статистики, мы должны, прежде всего, ввести понятие фазового пространс~пва, которым нам придется в дальнейшем постоянно пользоваться. Пусть рассматриваемая макроскопическая механическая система имеет з степеней свободы. Другими словами, положение точек этой системы в пространстве характеризуется з координатами, которые мы будем обозначать буквами зо где индекс 1 пробегает значения 1, 2, ..., з. Тогда состояние этой системы в данный момент будет определяться значениями в этот же момент з координат дг и з соответствующих им скоростей д;.

В статистике принято пользоваться для характеристики системы ее координатами и импульсами рь а не скоростями, так как это дает ряд весьма существенных преимуществ. Различные состояния системы можно математически представить точками в так называемом фазовом пространстве (являющемся, конечно, чисто математическим понятием); на координатных осях этого пространства откладываются значения координат и импульсов данной системы. При этом каждая система имеет свое собственное фазовое пространство, число измерений которого равно удвоенному числу ее степеней свободы. Всякая точка фазового пространства, соответствуя определенным значениям координат системы д; и ее импульсов р;, изображает собой определенное состояние этой системы. С течением времени состояние системы изменяется, и, соответственно, изображающая состояние системы точка фазового пространства (мы будем ниже говорить просто «фазовая точка системы») будет описывать в нем некоторую линию, называемую фазовой траекторией.

Рассмотрим теперь какое-либо макроскопическое тело или систему тел. Г1редположим, что система замкнута, т. е, не взаимодействует ни с какими другими телами. Выделим мысленно из этой системы некоторую часть, весьма малую по сравнению со всей системой, но в то же время макроскопическую; ясно, что при достаточно большом числе частиц во всей системе число ф11 стдтистнчкскок тдспткдалкник ыг=!пп— И т „Т (1,1) Эту величину можно, очевидно, рассматривать как вероятность того, что при наблюдении подсистемы в некоторый произвольный ") Для краткости мы будем обычно говорить, как это принято, о том, что система «находится в участке арды фазового простраиства», подразумевая при атом, что система находится в состояниях, изображающихся фазовыми точками в атом участке.

частиц в ее малой части может еще быть очень большим. Такие относительно малые, но макроскоппческие части мы будем называть лодсислтежа»ги. Подсистема есть опять механическая система, но уже отнюдь не замкнутая, а, напротив, испытывающая всевозможные воздействия со стороны остальных частей системы. Благодаря огрол«ному числу степеней свободы этих остальных частей, эти взаимодействия будут иметь весьма сложный и запутанный характер. Поэтому и состояние рассматриваемой подсистемы будет меняться со временем весьма сложным и запутанным образом. Точное решение задачи о поведении подсистемы возможно только путем решения задачи механики для всей замкнутой системы, т. е.

путем составления и решения всех дифференциальных уравнений днижения при данных начальных условиях, что, как уже отмечалось, представляет собой невыполнимую задачу. Но, к счастью, именно тот чрезвычайно сложный ход изменения состояния подсистем, который делает неприменимыми методы механики, дает возможность подойти к решению задачи с другой стороны. Основой для этого подхода является то обстоятельство, что, в силу чрезвычайной сложности и запутанности внешних воздействий со стороны остальных частей, за достаточно большой промежуток времени выделенная нами подсистема побывает достаточно много раз во всех возможных своих состояниях.

Точнее это обстоятельство надо сформулировать следующим образом. Обозначим посредством ЛрЛгт некоторый малый участок «объема» фазового пространства подсистемы, соответствующий значениям ее координат гуг и импульсов рг, лежащим в некоторых малых интервалах Лг1г и Лр;. Можно утверждать, что в течение достаточно большого промежутка времени Т чрезвычайно запутанная фазовая траектория много раз пройдет через всякий такой участок фазового пространства.

Пусть Ы есть та часть полного времени Т, в течение которого подсистема «находилась» в данном участке фазового пространства Лр Лгу'). При неограниченном увеличении .полного времени Т отношение ЛГ)Т будет стремиться к некоторому пределу [Е [гл. з основнын пнннцнпы статистики момент времени мы обнаружим ее находящейся в данном участке ЛрЛд фазового пространства. Переходя к бесконечно малому элементу фазового объема' ) с[дг[р=с[д,с[д,... «[д,«[ртг[ра... с[р,„ (1,2) мы можем ввести вероятность йнз состояний, изображающихся точками в этом элементе, т.

е. вероятность координатам д; и импульсам р; иметь значения, лежащие в заданных бесконечно малых интервалах между дь р; и д«+«[до р, +с[ри Эту вероятность «йс можно написать в виде [ =р(р*, " р., д,",д«) [р [д (1,3) где р (р„..., р„д,..., д,) есть функция всех координат и импульсов (мы будем обычно писать сокращенно р (р, д) или даже просто р).

Функцию р, играющую роль «плотности» распределения вероятности в фазовом пространстве, называют функцией статистического распределения (или просто функцией распределения) данного тела. Функция распределения должна, очевидно, удовлетворять условию нормировки ~ р с[р «[д = 1 (1,4) (интеграл берется по всему фазовому пространству), выражающему собой просто тот факт, что сумма вероятностей всех возможных состояний должна быть равна единице, Чрезвычайно существенным для статистики является следующее обстоятельство. Статистическое распределение данной подсистемы не зависит от начального состояния какой-либо другой малой части той же системы, так как влияние этого начального состояния будет в течение достаточно большого промежутка времени совершенно вытеснено влиянием остальных, гораздо более обширных частей системы.

Оно не зависит также от начального состояния самой выделенной нами малой части, поскольку она с течением времени проходит через все возможные состояния и каждое из них может быть выбрано в качестве начального. Поэтому статистическое распределение для малых частей системы можно найти, пе решая задачи механики для этой системы с учетом начальных условий. Нахождение статистического распределения для любой подсистемы и является основной задачей статистики, Говоря о «малых частях» замкнутой системы, следует иметь в виду, что макроскопические тела, с которыми нам приходится иметь дело, обычно уже сами по себе являются такими «малыми частял«и» большой з) В дальнейшем мы будем всегда условно обозначать посредством пр н пй произведения днфференпналов соответственно всех импульсов н всех ноордннат системы.

$11 СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ замкнутой системы, состоящей из этих тел вместе с внешней сре'дой, в которую они погружены. Если указанная задача решена и статистическое распределение данной подсистемы известно, то можно вычислить вероятности различных значений любых физических величин, зависящих от состояния этой подсистемы (т. е. от значений ее координат д и импульсов р). Мы можем также вычислить среднее значение любой такой величины )(р, д), получающееся путем умножения ее возможных значений на соответствующие вероятности и интегрирования по всем состояниям. Обозначая усреднение чертой над буквой, можно написать формулу 1=~1(р, Мр(р,Ю(рЯ, (1,5) по которой вычисляются средние значения различных величин с помощью функции статистического распределения '), Усреднение с помощью функции распределения (или, как говорят, слтатастичсское усреднение) освобождает нас от необходимости следить за изменением истинного значения физической величины 1(р, д) со временем с целью определения ее среднего значения.

В то же время очевидно, что в силу самого определения понятия вероятности, согласно формуле (1,1), статистическое усреднение полностью эквивалентно усреднению по времени. Последнее означало бы, что, следя за ходом изменения величины со временем, мы должны были бы построить функцию )=1(1), после чего искомое среднее значение определилось бы как т 7=1 —,' ~~(1) ~1.

Характеристики

Список файлов книги