landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Из изложенного ясно, что выводы и предсказания о поведении макроскопических тел, которые позволяет делать статистика, имеют вероятностный характер. Этим статистика отличается от механики (классической), выводы которой имеют вполне однозначный характер. Следует, однако, подчеркнуть, что вероятностный характер результатов классической статистики сам по себе отнюдь не лежит в самой природе рассматриваемых ею объектов, а связан лишь с тем, что эти результаты получаются на основании гораздо меньшего количества данных, чем это нужно было бы для полного механического описания (не требуются начальные значения всех координат и импульсов). Практически, однако, при применении статистики к макроскопическим телам ее вероятностный характер обычно совершенно ') В этой книге мы будем обозначать усреднение чертой над буквой или угловыми скобками: 1 или с1>, руководствуясь при этом исключительно удобством записи формул; второй способ предпочтительнес для записи средних значений громоздких выражений, 18 (гл.
! основныв пгнмцнпы статистики не проявляется. Дело в том, что если наблюдать любое макроскопическое тело (находящееся в стационарных, т. е. не зависящих от времени, внешних условиях) в течение достаточно большого промежутка времени, то окажется, что все характеризующие это тело физические величины являются практически постоянными (равными своим средним значениям) и лишь сравнительно очень редко испытывают сколько-нибудь заметные отклонения; при этом разумеется, речь идет о лгакроскопических величинах, характеризующих тело в целом плп его отдельные макроскопические же части, но не отдельные частицы').
Это основное для статистики обстоятельство следует из весьма общих соображений (изложенных в следующем параграфе) и тем более справедливо, чем сложнее и больше рассматриваемое тело. В терминах статистического распределения можно сказать, что если с помощью функции р(р, д) построить функцию распределения вероятностей различных значений величины 1(р, д), то эта функция будет иметь чрезвычайно резкий максимум при )'=-1, будучи сколько-нибудь заметно отличной от нуля лишь в самой непосредственной близости к точке максимума. Таким образом, давая возможность вычислять средние значения величин, характеризующих макроскопические тела, статистика тем самым позволяет делать предсказания, оправдывающиеся с весьма большой точностью для подавляющей части любого промежутка времени — настолько большого, чтобы полностью сгладилось влияние начального состояния тела.
В этом смысле предсказания статистики приобретают практически определенный, а не вероятностный характер. (Имея все это в виду, мы в дальнейшем при употреблении средних значений макроскопических величин почти никогда не будем писать черты над буквой). Если замкнутая макроскопическая система находится в таком состоянии, в котором для любой ее части, являющейся самой по себе макроскопическим телом, макроскопическне физические величины с большой относительной точностью равны своим средним значениям, то говорят, что система находится в состоянии статистического равновесия (о нем говорят также как о терлгодияажичегком или теплоеолг равновесии).
Из предыдущего видно, что если замкнутая макроскопическая система наблюдается в течение достаточно большого промежутка времени, то подавляющую часть этого промежутка она проводит в состоянии статистического ") Приведем пример, наглядно показывающий, с какой огромной точностью вмполияетсв это правило. Если выделить в каком-либо газе участок, содержащий, скажем, всего 1/!ОО грамм-молекулы, то оказывается, что среднее относительное отклонение, испытываемое энергией этого количества вещества, от своего среднего значении составляет всего 10-'з.
Вероитиость же найти (при однократном наблюдении) ощосительиое отклонение, снажем, поркдка !О-в, изо. бражаегси чудовищно малым числом -1О 19 стлтнстнчесчхя еезхзиснмость равновесия. Если в какой-нибудь начальный момент времени замкнутая макроскопическая система не находилась в состоянии .статистического равновесия (например, была искусственно выведена из такого состояния внешними воздействиями, после чего была вновь предоставлена самой себе, т. е.
вновь стала замкнутой системой), то в дальнейшем она обязательно перейдет в состояние .равновесия. Промежуток времени, в течение которого должен обязательно произойти переход к статистическому равновесшо, называют временем релаксации. Говоря выше о «достаточно больших» промежутках времени, мы по существу имели в виду времена, большие по сравнению со временем релаксации. Теорию процессов, связанных с переходом в состояние равновесия, называют кинетикой; она не рассматривается собственно статистикой, изучающей системы, находящиеся в статистическом равновесии. В 2. Статистическая независимость Подсистемы, о которых шла речь в 5 1, не являются сами по себе замкнутыми. Напротив, они подвергаются непрерывному воздействию со стороны прочих частей системы, Но благодаря тому, что эти части, малые по сравнению со всей большой системой, являются сами по себе тоже макроскопическимн телами, мы можем все же считать, что в течение не слишком больших промежутков времени они ведут себя приблизительно как замкнутые системы.
В самом деле, во взаимодействии подсистемы с окружающими частями участвуют преимущественно те частицы, которые находятся вблизи ее поверхности. Но относительное количество этих частиц по сравнению с полным числом частиц в подсистеме быстро падает при увеличении размеров последней, и при достаточной величине подсистемы энергия ее взаимодействия с окружающими частями будет мала по сравнению с ее внутренней энергией. Таким образом, можно сказать, что подсистемы являются квазизамкнутыми.
Подчеркнем лишний раз, что квазизамкнутость подсистем имеет место лишь на протяжении не слишком длительных промежутков времени. В течение же достаточно большого промежутка времени влияние взаимодействия подсистем — сколь бы оно ни было слабым — все равно проявится. Больше того, именно это сравнительно слабое взаимодействие и приводит в конце концов к установлению статистического равновесия. Тот факт, что различные подсистемы можно считать слабо взаимодействующими друг с другом, приводит к тому, что их можно считать независимыми также и в статистическом смысле.
Статиапическан незаеисимость означает, что состояние, в котором находится одна из подсистем, никак не влияет на вероятности различных состояний других подсистем. 20 (гл. < ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ Рассмотрим какие-либо две подсистемы, и пусть с(р«'<(<)<ы и с(р<а<с(<!<э< — элементы объема их фазовых пространств. Если рассматривать совокупность обеих подсистем как одну составную подсистему, то с математической точки зрения статистическая независимость подсистем означает, что вероятность составной подсистеме находиться в элементе ее фазового объема <(р<'э<<(<у«а< =- =<(р«<дд«< <(р<а<<(<7<э< разбивается на произведение вероятностей нахождения каждой из подсистем соответственно в <(р«'<(<1«< и <(р<'<<(<!<э<, причем каждая из этих вероятностей зависит только от координат и импульсов данной подсистемы.
Таким образом, можно написать; <(р<<а< <(<)<<а< р с(р«< с(ч«>. р (р<а><( <ю или (2,1) Р<а = Р<рэ где р„— статистическое распределение составной подсистемы, а р,, р,— функции распределения отдельных подсистем; аналогичное соотношение можно написать и для совокупности нескольких подсистем '). Можно, очевидно, утверждать и обратное: если распределение вероятностей для некоторой сложной системы распадается на произведение множителей, каждый из которых зависит только от величин, описывающих одну из частей системы, то это значит, что эти части статистически независимы, причем каждый из множителей пропорционален вероятности состояний соответствующей части. Если 1, и 1,— две физические величины, относящиеся к двум различным подсистемам, то из (2,!) и определения средних значений согласно (1,5) непосредственно следует, что среднее значение произведення ),1, равно произведению средних значений каждой из величин )< н 1, в отдельности: Й=),7<.
(2,2) Рассмотрим какую-либо величину), относящуюся к некоторому макроскопическому телу или его отдельной части. С течением времени эта величина меняется, колеблясь вокруг своего среднего значения. Введем величину, характеризующую в среднем ширину интервала этого изменения. В качестве такой характеристики нельзя взять среднее значение разности <а)==1 — ), так как величина ) отклоняется от своего среднего значения как в ту, так и в другую сторону, и среднее значение разности !"- — )', попеременно то положительной, то отрицательной, окажется равным нулю независимо от того, насколько часто ) испытывала <) При условии, коиечио, чтобы совокупвость этих подсистем все еп<е составляла малую часть всей замкнутой системы. 21 ф 2) статистическая незлзнсимость значительные отклонения от среднего значения. В качестве искомой характеристики удобно взять среднее значение квадрата этой разности.
Так как величина (Л))' всегда положительна, то ее среднее значение стремится к нулю лишь если она сама стремится к нулю; другими словами, оно окажется малым только тогда, когда значительные отклонения ) от ( обладают малой вероятностью. Величину <(Л))'>и' называют средней квадратичной флуктуацией величины (. Раскрыв квадрат (à — Г)', найдем, что (2,3) <(л г)2> ~а т. е. средняя квадратичная флуктуация определяется разностью между средним квадратом величины и квадратом ее среднего значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
