landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Поэтому Х 1 гн .Ю' = Х фФФ . Таким образом, находим следующую формулу для распределения вероятностей по координатам: йа',=Хф,"цтф "Ч. (5,8) В написанном в такой форме выражении можно пользоваться в качестве функций тр„любой полной системой нормированных волновых функций. Далее, определим распределение вероятностей для импульсов. Квантовые состояния, в которых все импульсы имеют определенные значения, соответствуют свободному движению всех частиц. Обозначим волновые функции этих состояний посредством фр(ф, где индекс р условно обозначает совокупность значений всех импульсов.
Как мы знаем, диагональные элементы матрицы плотности представляют собой вероятности нахождения системы в соответствующих квантовых состояниях. Поэтому, определив матрицу плотности по отношению к системе функций ф,мы получим искомое распределение вероятностей для импульсов по формуле ') г(нти = гнил г(Р = с(Р ' ~ фййгфл йг) (5,9) где г(р=г(ргг(ра... с(р,. Любопытно, что оба распределения — по координатам и по импульсам — могут быть получены интегрированием одной н той же функции К(с, Р)=ф,"(~) Р,(,1).
(5,10) Проинтегрировав ее па г(д, мы получим распределение по импульсам (5,9). Интегрирование же по др дает г(гс,=г(Ч. ~ Фй(Ч) Ф,(Ч)Ф (5,11) в согласии с общим определением (5,8). Отметим также, что функция (5,10) может быть выражена через координатную матрицу плотности р(д, д') согласно 1(~, р)=фр(~у)) р((), ф')фр(~у')тй)'. (5,12) Подчеркнем, однако, что сказанное отнюдь не означает, что функцию т'(д, р) можно рассматривать как распределение веро- т) Функции фи (о) — плоские волны а конфигурационном пространстве системы; онн прсцполагыотсп нормнрпнаниыпи на о-функции всех импульсов.
РАСПРКДКЛКНИК В КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКЕ 35 6 61 ятностей для координат и импульсов одновременно; не говоря уже о том, что такая точка зрения вообще протпгоречпла бы основным принципам квантовой механики, выражение (5,10) комплексно '). 6 6. Статистическое распределение в квантовой статистике В квантовой механике можно доказать теорему, аналогичную теореме Лиувилля, полученной в 9 3 на основании классической механики. Для этого выведем предварительно общее квантовомеханическое уравнение, определяющее производную по времени От статистической матрицы любой (замкнутой) системы').
Следуя методу, примененному в предыдущем параграфе, предположим сначала, что система находится в чистом состоянии с волновой функцией, представленной в виде ряда (5,1). Ввиду замкнутости системы ее волновая функция будет иметь такой же вид и во все последующие моменты времени, причем только коэффициенты с„будут теперь функциями времени, пропорциональными множителям ехр( — /Е„//гь). Поэтому имеем д — сэсм = — (Е» — Ем) с,',с„,.
Х Переход к статистической матрице в общем случае смешанных состояний производится теперь путем замены произведений с„'с„ ') Впаду отсутствия у /(д, р) прямого физического смысла естественно, что определение функции, обладающей указанвыми свойствами, неоднозначно. Так, распределения по о и по р могут быть получены тем же способом из функции ч (ч+2'Ч 2) рр(+2) рп( 2) г-е й обозначает совокупность вспомогательных переменных 5ь ..., йэ, а па =ок,... И$э (Е. й//Япег, 1932). Действительно, посколькУ ~ф,( + — ) ф,( — — ) =б(+ — — + — )=б(5), $ й $ $ интеграл ) /и с(р=р(о, о).
Интеграл же ) /и Ыд после замены переменных Ч+ь/2 — д, д — ь/2 — «д' совпадает с интегралом ) /с(д. В отличие от /(э, р), функция /и (о, р) вещественна (в чем легко убедиться с учетом зрмитовоств матрицы р (д, д')), но, вообще говоря, не везде положительнэ. э) н предыдуп1ем параграфе мы говорити о матрице плотности подсистемы, имея в виду ее основные статистические применения. Разумеется, мэтрицей плотности может описываться и замкнутая система, находящаяся в смешанном состоянии, 36 [гл.
г основныв пнннцяпы ститнстикя на гс„„, Таким образом, получаем искомое уравнение (6,[) Это уравнение можно переписать в общем операторном виде, заметив, что (ń— Е ) гр„„= ~~~~~(цг„,Нш — Н„уг„), где Н„,— элементы матрицы гамильтониана Й системы, диаго- нальной в принятом нами энергетическом представлении. Поэтому ц) = — '(шй — Ййг).
$ (6,2) (Обратим внимание на то, что это выражение отличается знаком от обычного квантомеханического выражения для оператора производной от величины по времени.) Мы видим, что для обращения в нуль производной по времени от статистической матрицы, оператор гс должен быть коммутативен с гамильтонианом системы. Этот результат и представляет собой квантовомеханнческий аналог теоремы Лиувилля: в классической механике требование стационарности функции распределения приводит к тому, что гр оказывается интегралом движения; коммутатнвность же оператора какой-либо величины с гамильтонианом как раз и является квантовомеханическим выражением сохраняемости этой величины. В интересующем нас энергетическом представлении условие стационарности формулируется в особенности просто: как видно нз (6„[), матрица гн „должна быть диагональной,— опять-таки в соответствии с обйчным матричным выражением квантовомеханнческой сохраияемости величины (матрица сохраняющейся величины приводится к диагональному виду одновременно с гамнльтонианом).
Подобно тому как это было сделано в з 3, мы можем теперь применить полученные результаты к квазизамкнутым подсистемам, рассматривая промежутки времени, в течение которых они ведут себя с достаточной точностью как замкнутые. Поскольку статистические распределения (здесь †статистическ матрицы) подсистем должны быть по самому определению статистического равновесия стационарными, то мы, прежде всего, заключаем, что матрицы в „ всех подсистем диагональны').
Задача об определении статистиче- ') Поскольку это утверждение связано в известном смысле с пренебрежением взаимодействиями подсистем друг с другом, то точнее можно сказать, что нелнагоиальные элементы ш „стремятся к нулю по мере уменьшения относительной роли этих взаимодейсший, а следовательно, по мере увеличения чнсла частиц в подсистемах. РЛСПРЕЛЕЛЕНИЕ В КВЛНТОВОй СТЛТИСТИКЕ й 6) рвого распределения сводится, следовательно, к вычислению вечтьоятностей гн„ =го„„, которые и представляют собой «функцию распределения» в квантовой статистике. Формула (5,4) для среднего значения какой-либо величины ~ упрощается и гласит: 1=Х .~..; (6,3) в нее входят теперь только диагональные матричные элементы („„.
Далее, учитывая, что н должно быть квантовомеханическим интегралом движения и используя квазинезависимость подсистем, аналогично выводу формулы (4,5) найдем, что логарифм функции распределения подсистем должен иметь вид )п ж4" = с«'"+ 6Еы' (6,4) (индекс а отличает различные подсистемы).
Таким образом, вероятности гв„могут быть выражены в виде функции только от величины уровня энергии: гн„ = гн(Е„). Наконец, полностью сохраняют свсно силу все изложенные в $ 4 соображения о роли аддитивных интегралов движения, в особенности энергии, как определяющих все статистические свойства замкнутой системы. Это снова дает возможность составить для замкнутой системы простую функцию распределения, пригодную для описания ее статистических свойств, хотя отнюдь и Не являющуюся (как и в классическом случае) истинной функцией распределения.
Для математической формулировки этого «квантового микро- канонического распределения» надо применить следующий прием. Имея в виду «почти непрерывность» энергетического спектра макроскопических тел, введем понятие о числе квантовых состояний замкнутой системы, «приходящихся» на определенный бесконечно малый интервал значений ее энергии т). Обозначим это число посредством с(Г; оно играет здесь роль, аналогичную роли элемента фазового объема с(рс(д в классическом случае. Если рассматривать замкнутую систему как состоящую из подсистем, пренебрегая при этом взаимодействием последних, то каждое состояние системы в целом можно характеризовать заданием состояний всех отдельных подсистем, и число ЙГ представится в виде произведения (Г=П (Г. (6,5) Р чисел с(Г, квантовых состояний подсистем (таких, чтобы сумма ') Напомним, что мы условились (4 4) полностью исключать нз рассмотрения импульс и момент системы как целого, для чего достаточно представлять себе систему заключенной в твердый «ящик», рассматриваемый в системе координат, в которой он покоится, 38 осиовяыв пгннципы статистики энергий всех подсистем лежала как раз в рассматриваемом ин тервале значений энергии всей замкнутой системы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
