landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Поскольку подынтегральное выражение зависит только от Е', можно перейти к интегрированию 98 [гл. гп гьспекдвленив гяввсь по ЙЕ', написав ш„=Аехр ( — —;), (28,3) где А — не зависящая от Е, нормировочная постоянная. Это— одна из важнейших формул статистики", она определяет статистическое распределение любого макроскопического тела, являющегося сравнительно малой частью некоторой большой замкнутой системы. Распределение (28,3) называется распределением Гиббса или каноническим распределением; оно было открыто Гиббсом (!. [[г, О!ЬЬэ) для классической статистики в 1901 г.
Нормировочная постоянная А определяется условием ~ч~~гв„= 1, откуда е-ед/т (28,4) Д аг (ю)бЕ~ ЫЕ' нг' Производную —, заменяем (ср. 3 7) отношением иг' еэ ш~ дЕ' ЬЕ' где 5' (Е') — энтропия среды как функция ее энергии [функцией Е' является, конечно, также и ЛЕ'). Таким образом, га„=сопз1 ~ е, 6(Е'+ń— Еи')г[Е'. Благодаря наличию 6-функции интегрирование сводится к замене Е' на Е<" — Е„, и получаем / еэ ш„=сопз1 ~~ —,) ас к'= е~ ~-ец (28,2) Учтем теперь, что вследствие малости тела его энергия Е„мала по сравнению с Е"'.
Величина ЛЕ' относительно очень мало меняется при незначительном изменении Е'; поэтому в ней можно просто положить Е'=Е"', после чего она превратится в независящую от Е„постоянную. В экспоненциальном же множителе егс надо разложить 5'(Еио — Е„) по степеням Е„, сохранив также и линейный член: 5' (Еко Е ) 5' (Еи)) Е и~ Но производная от энтропии 5' по энергии есть не что иное, как 1[Т, где Т вЂ” температура системы (температура тела и среды одинакова, так как система предполагается находящейся в равновесии). Таким образом, получаем окончательно для гв„следующее выражение: $ 28) гдспгнднленнк гиннса Среднее значение любой физической величины ), характеризующей данное тело, может быть вычислено с помощью распределения Гиббса по формуле (28,5) В классической статистике выражение, в точности соответствующее формуле (28„3), получается для функции распределения в фазовом пространстве: р(р д) — Ае-н(я,«цт (28,6) где Е()тд) — энергия тела как функция его координат и импульсов ').
Нормировочная постоянная А определяется условием рг(рг(г)= А ( н-ньт акт с(рс(д = ). (28,7) На практике часто приходится иметь дело со случаями, когда квазиклассическим является не все микроскопическое движение частиц, а лишь движение, соответствующее части степеней свободы, в то время как по остальным степеням свободы движение является квантовым (так, например, может быть квазиклассическим поступательное движение молекул при квантовом характере внутримолекулярного движения атомов). В таком случае уровни энергии тела можно написать в виде функций от квазиклассических координат и импульсов: Е„=Е„(р, д), где п обозначает совокупность квантовых чисел, определяющих «квантовую часть» движения, для которого значения р и г) играют роль параметров. Формула распределения Гиббса напишется тогда в виде л ( ) А,-н„~р, чнт ) (28,8) где с(р„,с(с)„, †произведен дифференциалов «квазиклассических» координат и импульсов.
Наконец, необходимо сделать следующее замечание по поводу круга вопросов, для решения которых можно применять распределение Гиббса. Мы все время говорили о последнем как о статистическом распределении для подсистемы, каковым оно в действительности и является. Весьма важно, однако, что это же распределение можно с полным успехом применять и для определения основных статистических свойств замкнутых тел. Действительно, такие свойства тела, как значения его термодииамических вели- т) Во избежание недоразумений лнщннй раз напомним, что ю (нлн р) являются монатонныма функциями энергнн н отнюдь не долзкны иметь макснмума прн Š— —.Е. Острый макснмум прн Е=-Е имеет функция распределення по энергии, получающаяся умножсннем ю„на ор (Е)!с)Е.
(гл. ги 100 Рдспгеделкник гиииса чин или распределения вероятностей для координат и скоростей отдельных его частиц, очевидно, не зависят от. того, рассматриваем ли мы тело как замкнутое иля как помещенное в воображаемый термостат (5 7). В последнем случае, однако, тело становится «подсистемой» и распределение Гиббса применимо к нему буквально. Отличие замкнутого тела от незамкнутого проявляется при применении распределения Гиббса по существу лишь при рассмотрении сравнительно мало интересного вопроса о флуктуацнях полной энергии тела. Распределение Гиббса дает для средней флуктуации этой величины отличное от нуля значение, которое для тела, находящегося в среде, имеет реальный смысл, а для замкнутого тела — совершенно фиктивно, так как энергия такого тела по определению постоянна и не флуктуирует.
Возможность применения (в указанном смысле) распределения Гиббса к замкнутым телам видна также и из того, что оно по существу очень слабо отличается от микрокапонического (и в то же время несравненно удобнее для проведения конкретных расчетов). Действительно, микроканоническое распределение экнивалентно, грубо говоря, прнзианию равиовероятнЬ1ми всех микро- состояний тела, отвечающих заданному значению его энергии.
Каноническое же распределение «размазано» по некоторому интервалу значений энергии, ширина которого (порядка величины средней флуктуации энергии), однако, для макроскопического тела ничтожно мала. 9 29. Распределение Максвелла Энергия Е (Р, д) в формуле распределения Гиббса классической статистики всегда может быть представлена как сумма двух частей— кинетической и потенциальной энергий. Из них первая есть квадратичная функция от импульсов атомов'), а вторая — функция от их координат, причем вид этой функции зависит от закона взаимодействия частиц внутри тела (и от внешнего поля, если таковое имеется). Если кинетическую и потенциальные энергии обозначить соответственно как К (Р) и (7 (Ч) то Е (Р Ч) = =я" (Р)+у(п), и вероятность ейс — -р(Р, д)с(Рс(д напишется в виде АехР(т т т ~т'Рг'и и (с) д (РЮ т.
е. разбивается на произведение двух мнпжителей, из которых один зависит только от координат, а другой — только от импульсов. Это означает, что вероятности для импульсов и координат независимы друг от друга в том смысле, что определенные зна- т) Предполагается, что мы пользуемся декартовыми ксордииатами. в 291 глспннднлнннв максвелла чения импульсов никак не влияют на вероятности тех или иных значений координат, и обратно. Таким образом, вероятность раз- личных значений импульсов может быть написана в виде с(ги =па — х <ацгг(р и (29,1) а распределение вероятности для координат (ю =Ьи-иииг Д~ а (29,2) с(ги х пи ажг а ' г(р ф~ г(р Постоянная а определяется условием нормировки.
Интегрирова ния по с(р„, с(ри, др, разделяются и производятся с помощью известной формулы а-ах'с(х 1/ н 1 ~Х. г а ' Ф т) В квантовой статистике ато утверждение, вообнге говоря, не справедливо, Так как сумма вероятностей всех возможных значений импульсов (и то же самое для координат) должна быть равна единице, то каждая из вероятностей гйир и Жир должна быть нормирована, т.
е. их интегралы по всем возможнйм для данного тела значениям импульсов или координат должны быть равны единице. Из этих условий можно определить постоянные а и Ь в (29,1) и (29,2). Займемся изучением распределения вероятностей для импульсов, еще раз подчеркнув при этом весьма существенный факт, что в классической статистике такое распределение нисколько не зависит от рода взаимодействия частиц внутри системы или от рода внешнего полн и потому распределение может быть выражено в виде, пригодном для любых тел '). Кинетическая энергия всего тела равна сумме кинетических энергий каждого из входящих в него атомов, и вероятность опять разбивается на произведение множителей, из которых каждый зависит от импульсов только одного из атомов. Это вновь означает, что вероятности импульсов различных атомов не зависят друг от друга, т.
е. импульс одного из них никак не влияет на вероятности импульсов всех других. Поэтому можно писать распределение вероятностей для импульсов каждого атома в отдельности. Для атома с массой и кинетическая энергия равна (р„'+ р„'+ рД/2т, где р„р„, р,— декартовы составляющие его импульса, а распределение вероятностей имеет вид 102 [гл. Гн РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА В результате находим а = (2пгпТ)-згз, и мы получаем оконча.
тельное распределение вероятностей для импульсов в виде Р (2нтт)зза ~ 2тТ Переходя от импульсов к скоростям (р=тч), можно написать аналогичное распределение для скоростей: (~ т з е"р ~ 2т ~ с[о„с[о„с[о . (29,4) Это — так называемое распределение Максвелла (Х. С. Махгие11, !860 г.).
Заметим, что оно снова распадается на произведение трех независимых множителей: (29,5) с[гс =4п ~,— г! и- зчзгозз[с. / т д з/з ° ~,г т~ (29,7) з) Распределение Максвелла справедливо, очевидно, и для таи называемого враз новсиого движения взвешенных в жидкости частиц. каждый из которых определяет распределение вероятностей для отдельной компоненты скорости. Если тело состоит из молекул (например, многоатомный газ), то наряду с распределением Максвелла для отдельных атомов такое же распределение имеет место и для поступательного дви- жения молекул как целых.
Действительно, из кинетической энер- гии молекулы можно ваеделить в виде слагаемого энергию посту- пательного движения, в результате чего искомое распределение выделится в виде выражения (29,4), в котором под гп надо будет понимать полную массу молекулы, а под о„, о„, о,— компоненты скорости ее центра инерции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
