landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Для этого необходимо найти предварительно распределение молекул по их скоростям (скорость есть везде скорость центра инерции) относительно друг друга. Прн этом мы выбираем какую- нибудь из молекул газа и рассматриваем движение всех остальных молекул относительно этой, т. е. для каждой молекулы мы Молекулы газа, заключенного в сосуде, сталкиваются при своем движении с его стенками. Вычислим среднее число ударов молекул газа об единицу поверхности стенки за единицу времени. Выберем какой-нибудь элемент поверхности стенки сосуда и введем систему координат с осью г, направленной перпендикулярно к этому элементу поверхности (который можно теперь написать в виде г(хг(у).
Из молекул газа в единицу времени долетят до стенки сосуда, т. е. столкнутся с ней, только те, координаты г которых не больше, чем компонента о, их скорости по этой оси (которая, конечно, должна к тому же быть направлена к стенке, а не в противоположную сторону). Число г(у„столкновений молекул в единицу времени (отнесенное к единице площади поверхности стенки), при которых компоненты скорости лежат в заданных интервалах г(п„, дп, г(э„получится, следовательно, умножением распределения (38,ЛЯ) на объем цилиндра с основанием 1 слгВ и высотой, равной В,.
Мы получим тогда 136 [гл. г« ндклльный глз // и / ш Х з/а / юо'»Х ЖЧ,= — — [ — ) ехр [ — — ) о" «Ь'. 2 [,пТ) [, 4Т) (39,4) Столкновения молекул друг с другом могут сопровождаться различными процессами: отклонением их (рассеянием) на определенный угол, распадом на атомы и т. д. Процессы, происходящие при столкновениях, принято характеризовать их эффективными сечениями. Именно, эффективнылг сечением или просто сечением для некоторого процесса, происходящего ври столкновении данной частицы с другими, называется отношение вероятности такого столкновения в единицу времени к плотности потока частиц (плотностью потока называется количество соответствующих частиц в единице объема, помноженное на их скорость).
Поэтому число столкновений (в единицу времени) данной частицы с другими, сопровождающихся некоторым процессом с сечением а, равно аго'« М н / аз х а/з г— т'= — — [„— ) е 'гоп"«[о'. 2 [пТ) (39,5) Полное число таких столкновений, происходящих в единицу вре- мени во всем объеме газа, равно, очевидно, т'У/2.
Задачи К Надтн число ударов молекул газа об еднннцу поверхности стенки в единицу времени, прн которых угол между направлением скорости молекулы н нормалью к поверхноств лежит между 0 н В+ВВ. Решенне. М /2Тхз/а, ет„= — '~ — )) мпЕ. Евв. [/ (тп) рассматриваем не ее абсолютную скорость о (относительио стенок сосуда), а скорость о' относительно некоторой другой молекулы. Другими словами, вместо того чтобы иметь дело с отдельными молекулами„мы каждый раз рассматриваем относительное движение пары молекул, причем не интересуемся движением их общего центра инерции. Из механики известно, что энергия относительного движения двух частиц (с массами т, и т,) равна '/ат'о", где т'= =т,т,/(т,+т,) — их «приведенная масса», а о' — относительная скорость. Поэтому распределение молекул идеального газа по относительным скоростям имеет такой же вид, как и распределение по абсолютным скоростям, но только вместо гп стоит приведенная масса т'.
Поскольку все молекулы одинаковы, т'= — т/2, и мы получаем для числа молекул в единице объема, обладающих скоростью относительно данной молекулы, лежащей между о' и и'+/Ь', выражение й 401 нктлвновксный ндклльный газ 137 2. Найти число ударов мачекул газа об единицу поверхности стенки в единицу времени, прн которых абсолютная величина скорости лежит между о и о+Ив.
Решение. -паР,'зг бт = — и~ — ~ е "'о' оабо, (,2нт ) 3. Найти полную кинетическую зиергию Е„молекул газа, ударяющихся об единицу поверхности стенки в единицу времейи. Решение. М - г 2Тз» Г2Т а=к У = У~' 4. Найти число столкновений одной молекулы с остальными в единицу времени. При этом молекулы считаются твердыми шарами рациуса г. Решение.
Сечение столкновений молекул друг с другом будет теперь и= — и (2г)а =4иг' (так как столкновение происходит всяхий раз, когда молекулы проходят друг мимо друга на расстоянии, меньшем 2г). Подставляя зта в (39,5), находим Гти .Г: г з т )г — ~гтт. 5 40. Неравновесный идеальный газ Распределение Больцмана может быть выведено еще и совсем иным способом, непосредственно из условия максимальности энтропии газа н целом, рассматриваемого как замкнутая система. Этот вывод представляет существенный самостоятельный интерес, поскольку он основан на методе, дающем возможность вычислить энтропию газа, находящегося в произвольном неравновесном макроскопическом состоянии.
Всякое макроскопическое состояние идеального газа можно характеризовать следующим образом. Распределим все квантовые состояния отдельной частицы газа по группам, каждая из которых содержит близкие состояния (обладающие, в частности, близкими энергиями), причем как число состояний в каждой группе, так и число находящихся в них частиц все же очень велики. Перенумеруем эти группы состояний номерами у = 1, 2, ..., и пусть б есть число состояний в )цй группе, а Л' †чис частиц в этих состояниях.
Тогда набор чцсел Уу будет полностью характеризовать макроскопическое состояние газа. Задача о вычислении энтропии газа сводится к задаче об определении статистического веса ЛГ данного макроскопического состояния, т. е. числа микроскопических способов, которыми это состояние может быть осуществлено. Рассматривая каждую группу нз Уу частиц как независимую систему и обозначая посредством ЛГ, ее статистический вес, можем написать: лг=плг . (40,1) Таким образом, задача сводится к вычислению ЛГ.. l' (гл.
1у 138 ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ В статистике Больцмаиа средние числа заполнения всех квантовых состояний малы по сравнению с единицей. Это значит, что числа /Уу частиц должны быть малы по сравнению с числами О/ состояний (/Уу(<б/), ио, конечно, сами по себе все же очень велики. Как было объяснено в З 37, малость средних чисел заполнения позволяет считать, что все частицы распределяются по различным состояниям совершенно неЗависимо друг от друга. Помещая каждую из йг/ частиц в одно из 6/ состояний, получим всего О~/ возможных распределений, среди которых, однако, есть ! тождественные, отличаюшиеся лишь перестановкой частиц (частицы все одинаковы).
Число перестановок /г// частиц есть й//1, и таким образом, статистический вес распределения й/у частиц по б/ состояниям равен ьат1' = б/у /й//1. (40,2) Энтропия газа вычисляется как логарифм статистического веса 3 = 1п ЛГ = ~ч~~ 1п ЛГ/. Подставив (40,2), имеем Я=Х(/У, 1па/ — !пй/,!). ! Имея в виду, что числа й// велики, воспользуемся для 1и/у'! приближенной формулой ') 1п й/! ж й/ 1п(й//е) (40,3) и получим 5=~~ й/ 1и —.
еО/ А!/ ' / (40,4) Если движение частиц квазиклассично, то в этой формуле можно перейти к распределению частиц по фазовому простран- а) При большом У можно приближенно ааменнть сумму 1п !У1=1п1+ Ф +!па+... +1п !У интегралом ) !ох ох, откуда и получается (40,3). о Эта формула решает поставленную задачу, определяя энтропию идеального газа, находящегося в произвольном макроскопическом состоянии, определяющемся набором чисел й//. Перепишем ее, введя средние числа и/ частиц в каждом из квантовых состояний /-й гРУппы: ГГ/ — — /У//бу Тогда З=УО,И,1п='.
(40,5) и/ 180 й 40] невлвновесныя нделньный глз ству. Разделим фазовое пространство частицы на участки Лрсн ЛдО, каждый из которых мал, но содержит все же большое число частиц. Числа квантовых состояний, приходящихся на эти участки, равны (40,6) рь ь] (г — число степеней свободы частицы), а числа частиц в этих состояниях напишем в виде Ж~ —— и(р, д) Лт'Л, где н(р, д) — плотность распределения частиц в фазовом пространстве. Подставляем эти выражения в (40,5), после чего, имея в виду, что участки Лтьз малы, а их число велико, заменяем суммирование по 1 интегрированием по всему фазовому пространству частицы: (40,7) Я=- ') и!п — Йт.
н В состоянии равновесия энтропия должна иметь максимальное значение (в применении к идеальному газу это утверждение иногда называют Н-теоремой Больцмана). Покажем, каким образом из этого требования можно найти функцию распределения частиц газа в состоянии статистического равновесия.
Задача заключается в нахождении таких пу при которых сумма (40,5) имеет максимальное значение, возможное при дополнительных условиях выражающих постоянство полного числа частиц М и полной энергии Е газа. Следуя известному методу неопределенных множителей Лагранжа, надо приравнять пулю производные — (5+ай1+ 1]Е) =-О, (40,8) дну где а, ]1 — некоторые постоянные. Произведя дифференцирование, найдем 6 ( — 1п ну+а-]-(]еу)=0, откуда !п лу — — а+])е,н или п1 — — ехр (а+ (3еу).
Это — ие что иное, как известное уже нам распределение Больцмана, причем постоянные а и р связаны с Т и р посредством а =]л]Т, ]] =- — 1(Т'). 1гл. !и 14О идеальный Газ й 41. Свободная энергия больцмановского идеального газа Применим общую формулу (31,3) Е=- — Т)плч,'зе ' г з (41,1) (41,2) Набор возможных значений еа для всех молекул газа одинаков, а потому одинаковы и суммы ~',ехр( — еа/Т). Необходимо, однако, иметь в виду следующее обстоятельство. Все наборы М различных значений еа, отличающиеся лишь распределением одинаковых молекул газа по уровням еа, соответствуют одному и тому же квантовому состоянию газа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
