landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Величину этого интервала 1 можно оценить по упомянутому выше условию т)„„я(й)-т),„(Г), понимая его теперь как условие для 1 при задайном й. Согласно определениям (148,5) и (148,8) имеем ч„, !1~в, ч„„„=)(й, й!1~-Р1 и приравнивание обеих величин дает ) 1 ("тт счз й. (148,12) С другой стороны, тот же интервал размытия можно оценить из требования, чтобы полевая часть термодинамического потенциала ( — )гт)й) совпадала по порядку величины с тепловым ЧЛЕНОМ; ПОСЛЕдНИй: — (тСР, ПОСКОЛЬКУ Ср —— — Тд'ГЭ)дТ'.
Отевда находим: )Г)ч " а счз й, и, выразив Ь через 1 из (148,12), приходим к равенству 529 э 1481 книтичискии индексы например, имеем здесь Ь ч ! а выразив Ь через 1 с помощью (148,12), находим равенство И=1+у (148,14) (В. Ф'Иолт, 1964). Таким же способом, исходя из двух представлений теплоемкости С, найдем е (р + у) = сс. (148, 15) Равенства (148,14 — 15) связывают друг с другом индексы, определяющие температурную зависимость термодинамических величин в слабых полях и их зависимость от Ь в сильных полях. Аналогичное равенство получается тем же способом для индексов, определяющих поведение корреляционного радиуса '): р(р+у)= .
(148,16) Наконец, еще одно соотношение можно получить путем оценки выражений, стоящих в обеих сторонах формулы(146,13). Согласно (146,2) и определению (148,8) средний квадрат флуктуации в заданном объеме )'. ~сХ,ч, (1(-т Интеграл же от корреляционной функции определяется областью пространства -га, в которой эта функция существенно отлична от нуля и, согласно определению (148,7), ее порядок величины ~г, '~ ечгз. Поэтому величина интеграла (вд-мерном пространстве) со га.г е-з+о = '-ч с~ !1(-т"-Гз. а' с гс Сравнение обоих выражений приводит к равенству и (2 — ь) = у.
(148,17) Таким образом, мы получили пять соотношений, связывающих между собой восемь индексов. Эти соотношения позволяют, следовательно, выразить все индексы всего через три независимых. Отсюда можно, в частности, сделать указывавшееся уже заключение об одинаковости значений «температурных» индексов са, у, т по обе стороны точки перехода. Действительно, если бы, например, у было различным для 1) О и 1(0, то из (148,14) следовало бы, что и индекс 5 зависит от знака 1.
Между тем этот индекс относится к сильным полям Ь, удовлетворяющим лишь условию Ь~)Ь„не зависящему от знака 1, а а) Отметим, что из (148,14 — 1б) очевидным образом следуют равенства ббе=а, рбр и, ет=а1а. оазовые па»входы это»ого года !гл. х~ч потому и сам не может зависеть от этого знака (то же самое относится и к двум другим «полевым» индексам е и !с). Из соотношений (148,13) и (148,16) следует затем независимость от знака ! также и индексов а и т.
Полученные результаты позволяют сделать некоторые заключения о термодинамических функциях системы при провзвольном соотношении между ! и Ь. Продемонстрируем это на примере функции Ч(1, Й). Представим эту функцию в виде Ч=й м(( — „'„,, !) (при заданном Р). Выбор первого аргумента функции ! диктуется условием (!48,!2), разделяющим случаи слабых и сильных полей (причем, согласно (148,14), заменено р+ у= 86); этот аргумент пробегает все значения от малых до больших. Аргумент же ! вблизи точки перехода всегда мал, и для получения главного члена в функции Ч (1, й) надо положить его равным нулю.
Таким образом, приходим к выражению Ч(1, Ь)=йп"1(, „), Й>0, (!48,18) где ! — функция уже только одного аргумента х=!/Йпа". Выражение (!48,!8) написано для Ь > 0; ввиду симметрии системы по отношению к одновременному изменению знака 6 и Ч, формула для й < 0 получается из (148,18) просто заменой й — — й, Ч Ч. В сильных полях (х(<!) должен получаться предельный закон (148,10); это значит, что ! (х) = сопз( при х — О. Более того, при Й~О параметр порядка отличен от нуля как при ! > О, так и при ! < О, и точка ! = О физически ничем не замечательна; это значит, что функция ! (х) разлагается по целым степеням х. В слабых полях при ! < 0 параметр порядка следует закону (148,5), а при ! > 0 должно быть Ч=тй с у из (148,8); из этих требований находим, что !(х)с~»( — х)з при х- — оо; !(х)с~х т при х — оо. (148,20) Понятие слабого поля предполагает ! ~0.
При заданном отличном от нуля значении ! нулевое значение поля не является особой точкой термодинамических функций. Поэтому функция Ч(1, 6) при (ФО разложима по целым степеням переменной й (причем это разложение различно для 1> 0 и ! <0). Естест- 531 % 149) мясштявная инвагнаитность венная формулировка этого свойства, однако, требовала бы записи т)(1, й) не в виде (148,18), а в терминах функции переменной й/(ра.
Аналогичные соображения можно применить н к корреляционной функции флуктуаций параметра порядка. Так, в отсутствие поля она зависит, помимо расстояния г, еще от параметра г. Вблизи точки перехода, однако, корреляционная функция гг(г; () может быть представлена в виде б (г; г) = „ , д (г)'), г - " т. е.
с помощью функции всего одной переменной х= г(т. При х — 0 эта функция стремится к постоянному пределу (в соответствии с определением (148,7)), а при х — оо экспоненциально затухает, причем корреляционный радиус в зависимости от температуры следует закону (!48,6). Задача Найти закон изменения с температурой при 1 — го для производной дСа/дТ, если С, стремится к бесконечности согласно (148,4) с и > О.
Решение. С большей точностью, чем в (148,1 — 2), напишем при à — ьо где а, Ь вЂ” постоянные. Подставив зтн выражения в (16,9), найдем Ьз С„а — Ь вЂ” —. С Если Ср возрастает как 1(1, то дС„)дТ ° ) (1 " '. При (=0 функция С„(О имеет максимум в угловой точке с вертикальной касательной. 9 149. Масштабная инвариантность Соотношения (148,13 — 17) не связаны с какими-либо предположениями о характере флуктуационной картины вблизи точки перехода'). Дальнейшие заключения о критических индексах требуют уже определенных предположений на этот счет.
Заметим, что в теориго входят, вообще говоря, два характерных размера, определяющих пространственное распределение флуктуаций,— корреляционный радиус га и размер г, участка тела, в котором средняя квадратичйая флуктуация пара- ') Естественно поэтому, что зсе ати оютношения удовлетворякпся и в теории Ландау. елзовын пвгнходы втотого тода (гл. хш метра порядка сравнивается с его характерным равновесным значением ').
Неравенство (146,14), обеспечивающее применимость теории Ландау, можно записать как г,))г, (действительно, согласно (146,13) и (146,11) имеем в объеме )г гзе: с',(ат))а>-Т,)дг, и, приравняв это величине т)я-а~ ( !/й, найдем г„-7,(з)дя~(~; сравнение с г, (146,12) приводит к условию (146,15)). При ( — 0 г, растет быстрее, чем г„ и на границе области Ландау они сравниваются. Основное предположение о флуктуационной области (определяемой неравенством, обратным (146,16)) состоит в том, что в ней вообще отсутствует какой-либо малый параметр в теории. В частности, должно оставаться везде г,-г„ так что г, оказывается единственным размером, характеризующим флуктуации. Это предположение называют гипотезой масштабной инвариантности (Ь.
Кас(алоЦ, 1966; А. 3. )Уатаихинский, В. Л. !токровский, 1966). Для оценки флуктуации в объеме )г г', можно пользоваться формулой (146,2)*). Подставив в условие т)х тх (1 49,!) объем (г г~ и выразив затем все величины )(, г„т) через степени ! согласно определениям критических индексов, получим равенство тс( — у=2р или, с учетом (148,13), (149,2) Присоединив это соотношение к полученным в 9!48, мы можем выразить все критические индексы уже всего через два независимых '). Требование масштабной инвариантности позволяет получить единообразным образом все вообще соотношения между критическими индексами. Для этого прежде всего дадим более формальное определение этого требования.
Пусть масштаб всех пространственных расстояний меняется в одинаковое число раз: г — г!и с некоторым постоянным и. Тогда масштабная инвариантность состоит в утверждении, что можно так изменить масштабы измерения величин (, й, т), чтобы все соотношения теории остались неизменными. Другими словами, можно таким образом выбрать показатели Ль аа, ач (так х) Разумеется, речь идет о распределении лишь на расстояниях, больших по сравнению с атомнымя размерами. з) Напомним, что в таком виде (т. е. выраженная через жюпрнимчнмкть Х) зта формула имеет общий характер и не связана с предположениями теории Ландау (см.
примечание на стр. 514). з) В теории Ландау масштабной инварнантности нет (а потому несправедливо и равенство (149,2)). 9 1491 МАСШТАБНАЯ ННВАТНАНТНОСТЬ называемые мапитабные размерности) в преобразованиях /ц~~, й - йаАА, т1 — т1иая при г — г/и, (149,3) чтобы из всех соотношений множители и выпали. Изменение пространственного масштаба должно, в частности, приводить к такому же изменению корреляционного радиуса флуктуаций (г, — г,/и); тем самым будет обеспечена инвариант- ность асимптотического выражения корреляционной функции ( ехр( — г/г,)). Согласно определениям (148,6) и (!48,11) при Ь= О корреляционный радиус г,= сопз1/ т, а при / =- О г, = = сопз(.Ь м.
Произведя преобразование (149,3) и потребовав, чтобы коэффициенты в этих выражениях остались неизменными, получим (149,4) Далее рассмотрим изменение термодинамического потенциала при бесконечно малом изменении поля й. Согласно (144,2) имеем г(Ф = — Рт1 бй (при 1 = сопз1 и, как всегда, Р = сопз1). При масштабном преобразовании объем $' 'г'/ин; потребовав, чтобы выражение бФ осталось прежним, т, е. 'гм " )м'я.г/АМБА =рЧбй, получим ) (1, й) =йьч/АА/1' ~ЬАя/АА / ' Т1(/, й)=й - /~ — „). (149„6) Аналогичные соображения можно применить и к термодинамическому потенциалу Ф(/, Ь) (точнее — к его сингулярной части, которая и подразумевается ниже под Ф). Будучи аддитивной величиной, полный термодинамический потенциал тела пропор- ЛЯ=И вЂ” Л„=б —.
(149,5) Таким образом, размерности Лн йА, Л„выражены через два критических индекса р и т. Требование масштабной инвариант- ности дальнейших соотношений приводит уже к выражению остальных критических индексов через эти два. Потребуем инвариантности «уравнения состояния» системы, т. е. выражения параметра порядка через температуру и поле: т1=т1(1, о). Это значит, что должно быть т) (Гм ~с, йиАБ) = мАЯ т1 (Г, А). Решение этого функционального уравнения имеет вид еазовык пкгкходы второго года (гл.
хл ционален его обьему. Поэтому требование его инвариантности при масштабном преобразовании записывается как — Ф(/и ', йи а)= — Ф(/иы', йиыв)=Ф(/, й). ил Отсюда Ф(/, й) =йнп~р/ — „'„). (149,7) где с„с,— постоянные коэффициенты. Потребовав теперь, чтобы параметр порядка и теплоемкость, вычисленные как 1 дФ даФ вЂ” — — с — т —.
Ь д»' Р 'д/а' вели себя при / О по законам т1сгзйыа и С сгзй-е (отвечающим случаю сильного поля), получим два соотношения между критическими индексами: (рс( — 1)6=1, р( — с()=е; (2 легко проверить, что они действительно следуют из уже известных нам соотношений, полученных ранее другим способом. Пусть теперь / имеет отличное от нуля значение; тогда термодинамические величины не имеют особенности при прохожде- г) Напомним, однако, лишний раз, что в аффективном гамнльтоииаие фигурирует как переменная, по которой производится коитииуальиое интегрирование в статистическом интеграле. 8 термодинамических же формулах под т1 подразумевается равновесное значение параметра порядка, которое дается производной дФ/дй (или дГа/дй) от термодииамического потенциала, определенного по статистическому интегралу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
