landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 109
Текст из файла (страница 109)
В простейшем случае такого рода мы имеем дело с пересечением линии переходов второго рода (кривая АС на рис. 57) с линией переходов первого рода (линия ВВ). Область / — симметричная фаза„а группы симметрии фаз // и /// — подгруппы группы симметрии фазы /. Они, однако, вообще говоря, не являются подгруппами друг друга, и потому раздетяющая эти 540 визовые пвввходы втового года (гл. хю фазы кривая ВР— линия переходов первого рода.
В точке В все три фазы тождественны'). На рис. 68 показан возможный тип пересечения нескольких линий переходов второго рода. Если 1 — наиболее симметричная фаза, то группы симметрии фаз 11 и 111 являются подгруппами группы симметрии фазы 1, группа же симметрии фазы Лг — подгруппа одновременно групп симметрии фаз 11 и 111а). а) Рис. 69. Наконец, осталось рассмотреть случай, когда члены третьего порядка в разложении термодинамнческого потенциала не обращаются в нуль тождественно. В этом случае условие существования точки непрерывного фазового перехода требует обращения в нуль наряду с коэффициентом А (Р, Т) также и коэффициентов В„(Р, Т) при инвариантах третьего порядка в разложении (146,6).
Очевидно, что это возможно, только если имеется всего один инвариант третьего порядка; в противном случае мы получили бы более двух уравнений для двух неизвестных Р и Т. При наличии всего одного инварианта третьего порядка два уравнения А(Р, Т)=0 и В(Р, Т)=0 определяют соответствующие пары значений Р, Т, т. е. точки непрерывного фазового перехода являются изолированными. Будучи изолированными, эти точки должны лежать определенным образом на пересечении кривых (в плоскости Р„Т) фазовых переходов первого рода. Имея в виду, что такие изолированные точки непрерывного перехода еще не наблюдались на опыте, мы не станем производить здесь подробное исследование, ограничившись лишь указанием результатов').
Наиболее простой тип изображен на рнс, 69, а. Фаза 1 обладает более высокой симметрией, а фазы 11 н 111 — более низ- а) Флуитуаииоииые поиравии могут, вероятно, привести и нозиииновению в яичке В особенности — угловой точки линии АВ и СВ. я) Точку пересечения тина рис. 67 называют в литературе бикритичесяой, а типа рис. 66 — тетралритичесяой. Я) См. Л. Я.
Лат)ау, ЖЭТФ 7, 19 (1937) (Собрание трудов, том 1, статья 26, «Наукая, 1969). $ 1511 Фазовый пеРеход В деумеРной Решетке 541 кой; при этом симметрии 'фаз 11 и 11! одинаковы, и эти фазы отличаются лишь знаком т). В точке непрерывного перехода (О на рис. 69) все три фазы становятся тождественными. В более сложных случаях в точке непрерывного перехода касаются две (как на рис.
69, б) или более кривых фазовых переходов первого рода. Фаза 1 †наибол симметричная, остальные — менее симметричны, причем симметрии фаз !! и 1!1 (и фаз 1)г и )г) одинаковы, и эти фазы отличаются лишь знаком т!. 9 151. Фазовый переход второго рода в двумерной решетке Невозможность теоретического определения критических индексов в общем виде придает особый интерес рассмотрению простой модели, допускающей точное аналитическое решение задачи о фазовом переходе второго рода.
Это †определенн модель двумерной решетки, для которой задача о фазовом переходе была впервые решена Онсагерож (Е. Опзадег, 1944)з). Рассматриваемая модель представляет собой плоскую квадратную решетку, состоящую из М узлов, в каждом из которых находится «диполь» с осью, перпендикулярной к плоскости решетки. Диполь может иметь две противоположные ориентации, так что общее число возможных конфигураций диполей в решетке равно 2мз).
Для описания различных конфигураций поступим следующим образом. С каждым узлом решетки (с целочисленными координатами )г, 1) свяжем переменную оа„прняимающую два значения -+.1, соответствующие двум возможным ориентациям диполя. Если ограничиться только учетом взаимодействия между соседними диполями, то энергия конфигурации может быть записана в виде е Е(о)= — 1 ~~, (аагоз,+г+озгоз+ы) а, г=! (151,1) г) Первоначальный метод, примененный Онсзгером, был чрезвычайно сложен. В дальнейшем рядом авторов решение задачи было упрощено. Излагаемый ниже метод (частично использующий некоторые идеи метода Каца и Уорда, !.
С. %'аго', М. Кос, !952) принадлежит Н. В. Вдовиченко (1964). з) Зта модель известна в литературе как модель Изинга; фактически она была впервые введена Ленцам (Яг. !.впз, !920), а для одномерного случая (в котором фазовый переход отсутствует) исследована Изингом (Е. !алд, 1925). з) Число В предполагается, разумеется, макроскопическн большим, н везде в дальнейшем краевыми эффектами (связанными с особыми свойствами узлг(в вблизи краев решетки) пренебрегается. (1.— число узлов в ребре решетки, которую представляем себе в виде большого квадрата; й! =1.'')).
Параметр 1 определяет энергию взаимодействия пары соседних диполей, равную — 1 и + 1 соответственно для одинаковых и противоположных 542 ФАзовые пеРеходы ВГОРОГО РОДА (гл. хгг где ь Я= ~~~ Ц (1+хампэ,„.,) (1+хпыОА+и) ВОМ Г=~ (151,4) и введено обозначение х=1ЬО. Под знаком суммы в (!51,4) стоит полином по переменным х и пы. Поскольку каждый узел (е, 1) связан с четырьмя соседями, то каждое ОА, может встретиться в полиноме в степенях от нулевой до четвертой. После суммирования по всем оы —— ~1 члены, содержащие нечетные степени ОА„обратятся в нуль, так что ненулевой вклад дадут только члены, содержащие и„, в степенях О, 2 и 4.
Поскольку ОЗ,=-ОАЗ,=О1,=1, то каждый член полинома, содержащий все переменные Оы в четных степенях, даст вклад в сумму, пропорциональный полному числу конфигураций 2л. Каждому члену полинома можно однозначно поставить в со- ОтВЕтетВИЕ СОВОКУПНОСТЬ ЛИНИЙ (ЕСВЯЗЕйэ), СОЕДИНЯЮЩИХ НЕКОтО- рые пары соседних узлов решетки. Так, изображенным на рис. 70 графикам соответствуют члены полинома: а) х'пмво.Р, Аг„,, „ б) х пион+., Кто, ~-1ОА, ~-~ОА, ~- ОА-с Г-1 А-ь ~-в в) х ФА,оА~, АГ1+, ~,ОА ~ ГО», !,О$, ~,ОА ь с-,ои-ь с РОВ ., ВВОЗ-а, ю-ы Каждой линии графика сопоставляется множитель х, а каж- дому ее концу — множитель пм. ориентаций диполей.
Будем полагать; что 1 ) О. Тогда наименьшей энергией обладает «полностью поляризованнаяя (упорядоченная) конфигурация, в которой все диполи ориентированы в одну сторону. Эта конфигурация осуществляется при абсолютном нуле, а с увеличением температуры степень упорядоченности убывает, обращаясь в нуль в точке перехода, когда обе ориентации каждого диполя становятся равновероятными. Определение термодинамических величин требует вычисления статистической суммы А =,«~е-Е м»" = ~ ехр )О ~~'„, (оыоА,Р, +ОЫОА„.Ы)~, (151,2) ао Вч 1 А,~ взятой по всем 2в возможным конфигурациям (мы обозначили О= ))Т).
Заметим, что ехр(ООА,ОАЕ)=сЬО+ОАОЫРйО=ОБО(1+аыпАч Изй), в чем легко убедиться, разложив обе стороны равенства по степеням 0 и учитывая, что все О$,=1. Поэтому выражение (151,2) можно переписать в виде (1 хв)™ с (151,3) й 1511 влзовый пкгкход в двтнкгвой гвшкткк 543 Тот факт, что отличный от нуля вклад в статистическую сумму дают лишь члены полинома, содержащие все пы в четных степенях, геометрически означает, что в каждом узле графика должны оканчиваться либо две, либо четыре связи. Другими словами, суммирование ведется только по замкнутым графикам, причем допускается самопересечение в узлах (как в узле (й, 1 — 1) на рис.
70, б). а/ ° ° ° ° ° в ° ° ° ° ° ° ° ° ° //-~/-/ д г-у /с~/1-/ ° ° ° ° /с-/1-я /~/-с У ° ° ° ° ° в ° ° ° ° ° Рнс. 70. Таким образом, сумма Я может быть представлена в следующем виде: 5=2//~х"й„ (151,5) Г где д,— число замкнутых графиков, составленных из (четного) числа г связей; при этом всякий многосвязный график (например, график рис. 70, в) считается за один. Дальнейший расчет состоит из двух этапов: 1) сумма по графикам указанного вида преобразуется в сумму по всем возможным замкнутым петлям, 2) получающаяся сумма вычисляется путем сведения к задаче о «случайных блужданиях» точки по решетке. Будем рассматривать каждый график как совокупность одной или нескольких замкнутых петель. Для графиков без самопересечений такое представление самоочевидно; так, график рис.
70, в есть совокупность двух петель. Для графиков же с самопересечениями такое разбиение неоднозначно; одна и та же фигура может состоять из различного числа петель в зависимости от способа ее построения. Это иллюстрируется рис. 71, показывающим три способа представления графика рис. 70, б в виде одной или двух петель без самопересечений или в виде одной петли с самопересечением. Аналогичным образом может быть пройдено тремя способами каждое пересечение и на более сложных графиках. [ГЛ. ХГР ФВЭОВыа пеРеходы ВТОРОГО Рода Легко видеть, что сумму (151,5) можно распространить по всем возможным совокупностям петель, если при подсчете чисел графиков д, каждый из них брать со знаком ( — 1)", где и †полное число самопересечений в петлях данной совокупности.
Действительно, при таком подсчете все лишние члены суммы автоматически выпадают. Так, три графика рис. 71 войдут соответственно со знаком +, +, †, так что два из них взаимно сократятся и останется, как и следовало, всего однократный вклад в сумму. В новой сумме будут фигурировать также графики с «повторяющимися связями», простейший пример которых + + а> вр в~ Рис.
72 Рис. 71 изображен на рис. 72, а. Эти графики относятся к числу недопустимых (в некоторых узлах сходится нечетное число связей— три), но, как и следовало, из суммы они фактически выпадают: при построении соответствующих такому графику петель каждая общая связь может быть пройдена двумя способами — без пересечения (как на рис. 72, б) или с самопересечением (рис. 72, в), причем получающиеся совокупности петель войдут в сумму с противоположными знаками и взаимно сократятся.
Далее можно избавиться от необходимости учитывать в явном виде число пересечений, если воспользоваться известным геометрическим фактом: полный угол поворота касательной при обходе плоской замкнутой петли равен 2п(1+1), где 1 — целое (положительное нли отрицательное) число, четность которого совпадает с четкостью числа т самопересечений петли. Поэтому, если каждому узлу в петле (с углом поворота в нем ф=0, ~ и/2) сопоставить множитель в1РЫ, то после обхода всей петли произведение этих множителей даст ( — !)'+'. Для совокупности же нескольких (в) петель мы получим в результате множитель ( — 1)"+', где и='~м. Таким образом, можно не учитывать число пересечений, если брать каждый узел в петле с весом ечсв н для всего графика (совокупность петель) ввести еще множитель ( — 1)' (для погашения такого же множителя в ( — 1)"+').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
