landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Для неоднородного тела (каковым оно является при учете неоднородных вдоль его объема флуктуаций) термодинамический потенциал тела должен был бы быть представлен в виде интеграла Ф„ ) Ф дУ от плотности потенциала †функц координат точки в теле. Но при описании термодинамического состояния потенциалом Ф заданным является число частиц (т1 в теле, но не его объем (зависящий от Р и Т).
Поэтому целесообразно перейти к описанию другим потенциалом, относящимся к некоторому заданному выделенному в среде объему У (содержащему переменное число частиц )т'). Таким потенциалом является (1„(Т,)ь)— функция температуры и химического потенциала р (при заданном У); роль переменной Р при этом принимает переменная с аналогичными свойствами — (з (как и Р, величина, остающаяся постоянной вдоль равновесной системы). Вблизи точки перехода зависящие от т) члены разложения функции Ф(Р, Т, т)) (144,3) представляют собой малую добавку к Ф,(Р„Т) (причем, после определения т) путем минимизации, остающиеся члены — одного порядка величины).
Согласно теореме о малых добавках можно поэтому сразу напиеать такое же ') В таком виде это выражение можно получить н прямо изфлуктуационнодиссипациоиной теоремы. Лля этого достаточно заметить, что если отождествить поле й с внешним ноздействием ! (с чагиной ы=о), фигурирующим в формулировке этой теоремы 14 124), то соответствующей величиной к будет ЛЧУ, а обобщенной восприимчивостью сс(0) — произведение ху. Формула (146,21 следует тогда из (!24,14), $1461 515 ФлуктуАции пАРАнатРА ИОРядкА разложение для потенциала 11()г, Т, т)): 1) (р, Т, т)) = йе ()з, Т) + а1т)з+ Ьт)' — т)Ь, (146,3) с теми же коэффициентами, но лишь выраженными через другую переменную — р вместо Т (потенциал Й отнесен здесь к единице объема, так что коэффициенты в нем: се=а/)г, Ь=В/)г)').
Разложение (146,3) относится к однородной среде. В неоднородном же теле оно содержит не только различные степени самой величины т), но н ее производных различных порядков по координатам. При этом для длннноволновых флуктуаций можно ограничиться в разложении лишь членами с производными наиболее низкого порядка (и наиболее низких степеней по ним). Члены, линейные по производным первого порядка, т.
е. члены вида /(т))дт)/дх„при интегрировании по объему преобразуются в интегралы по поверхности тела, представляющие собой не интересующий нас поверхностный эффект' ). То же самое относится и к членам вида сонэ(дзт)/дхгдка. Поэтому первые члены, которые должны быть учтены в разложении ьа по производным, это члены, пропорциональные При этом первые из них при интегрировании по объему сводятся ко вторым. Окончательно находим, что написанную выше функцию () надо дополнить членами вида (как всегда, по дважды повторяющимся векторным индексам подразумевается суммирование).
Мы ограничимся ниже простейшим случаем (отвечающим кубической симметрии при г) =0), когда дге-лбга, уже в этом случае проявляютсн все характерные свойства корреляционной функции. Таким образом, напишем плотность термодинамнческого потенциала в виде 'ьа = Й, + аут)'+ Ьт)'+ гг (ф) — т)/т. (! 46,5) Очевидно, что для устойчивости однородного тела должно быть йг ) 0; в противном случае 1)„не могло бы иметь минимума при т) сопз1. ') Прн этом, однако, надо иметь а виду, что разложение коэффициента А = ссг должно праизаодиться теперь по степеням разности г =т — т,()г), а не Т вЂ” Тг(Р); а этом смысле значение коэффициента а=ау)г меняется.
э) Члены первого порядка по первым произзодным отсутствуют э разложении Я также и э случаях, когдапереходописыаает я несколькими параметрами порядка. В таких случаях обосноааиие этого утверждения требует приалечеиия также и условий устойчивости тела е точке перехода (4 145). 516 ВАзоиые пегеходы ВТОРОГО РОДА (гл. х!и Рассматривая флуктуации при заданных р и Т, надо писать их вероятность в виде гв см~ ехр ( — Лй„/Т), поскольку минимальная работа, требуемая в этих условиях для ВЫВОда СИСТЕМЫ ИЗ раВНОВЕСИя ЕСТЬ )т' г„= — ЛЬ1„«).
Рассмотрим для определенности флуктуации в симметричной фазе (в отсутствие поля й); тогда т)=0, так что Лт)=т). Ограничиваясь членами второго порядка по флуктуациям, напишем изменение потенциала ь1„ в виде ') Ль)„= ') [а1(ЛГ))з+д ( — ~) ~ г(У. (146,6) Далее, поступим аналогично тому, как это делалось В 2 116. Разложим флуктуирующую величину Лт)(г) в ряд Фурье в объеме У: ЛЧ=ХЛЧва'", ЛЧ-.=ЛЧк" (146,7) Ее градиент г =2м'" "" "". дан дг 2ы При подстановке этих выражений в (146,6) интегрирование по объему обращает в нуль все члены, за исключением лишь тех, которые содержат произведения т) кт) к = ~ т)к (з. В результате получим Л(1.
= У,')Р, (дй'+ а() ) Лт)к )' и отсюда т 2У(кй»+ай (146,8) (ср. переход от (116,10) к (116,12)). Мы видим, что при 1 - 0 действительно возрастают именно длинноволновые флуктуации С й $"СМ~дз). ПодЧЕРКНЕМ, Чта СаМа фОрМуЛа (146,8) ПРИМЕ') Заданне значения ч в выделенном объеме У не мешает обмену частицами (как и знергией) между этим объемом н окружающей «средойм Поэтому можно рассматривать флуктуации Ч при постоянном )» (и Т); ср. начало 4 115. ') Теория флуктуаций, основанная на выражении такого вида, была впервые развита (в применении к флуктуациям вблизи критической точки) Орлиииепном и Цернике (й. 5.
Оглзге)л, р. 2«глыйе, 1917). з) Аналогичные результаты получаются, конечно, н по другую сторону Ф/ точки перехода — в несимметричной фазе. здесь ч=( — а1/2ь)л и для измены ния потенциала Й (снова с точностью до величин -(ЛЧ)») получается Л))я=~ ~ — 2а)(ЛЧ)'+К( — ) ] дУ вместо (!46,6). Ясно, потому что для г) ьчк(з) (и ниже для корреляционной функции) получаются результаты, отличающиеся от написанных лишь заменой а) на 2а(11. % 146! элгктгхции плгаыгтга погадка 517 пима лишь при достаточно больших длинах волн 1/й, — во всяком случае больших по сравнению с межатомнымн расстояниями. Введем обозначение для искомой корреляционной функции." б(г)=<ЬЧ(г,) Ьт1(г,)>, г=г,— г,.
(146,9) Она вычисляется как сумма б (г) = ~'„, <! Лпа ~'> е" или, переходя к интегрированию по й-пространству, 6(г) = ) < ! Ьт1а!'> еп" —,. (146,10) Используя формулу фурье-преобразования, указанную в приме- чании на стр. 390, находим (при г ~О) (146, 11) где (146, 12) Величину г, называют корреляционным радиусом флуктуаций; им определяется порядок величины расстояний, на которых корреляция существенно убывает. При приближении к точке перехода корреляционный радиус возрастает как 1~'Р'1, а в самой этой точке корреляционная функция убывает как 1~г.
При г=О интеграл (146,10) определяет средний квадрат флуктуации параметра т1 в бесконечно малом элементе объема; он расходится при больших й. Эта расходимость, однако, связана просто с неприменимостью в этой области выражения (146,8) (относящегося к длинноволновым флуктуациям), и означает лишь наличие в <(Лч)'> члена, не зависящего от 1. Подчеркнем, во избежание недоразумений, что ранее написанное выражение (146,2) определяет флуктуации параметра т1, усредненного по объему г', линейные размеры которого 1>)г;, эту величину можно обозначить как <(Лт1)'>г. Среднее значение функции Ьг1 (г) по объему г' есть как раз фурье-компонента Лт1ь „поэтому естественно, что при й=-0 выражение (146,8) совпадает с (146,2).
Последнее можно получить также из корреляционной функции по очевидной формуле <(Ьт1)'>г= уз ') <Лг)(г,) Лт1(г,)>ЙЪ',~КЪ'|,— — у ) 6(г)пЪ', (146,13) 5!8 оазовык пкекходы нтогого года [гл. хгя применимой при любом конечном объеме )7. Отметим, что в самой точке 1=0 (где 6слз 1/г) этот интеграл пропорционален 1/1, где 1 — линейные размеры участка, в котором рассматриваются флуктуации. При этом средний квадрат <(Лт))з>у зависит не только от объема, но и от формы участка. Мы можем теперь сформулировать условие, определяющее область применимости развитой здесь теории флуктуаций, основанной на разложении (146,5).
В качестве такого условия следует потребовать, чтобы был мал (по сравнению с характерным значением т)а а~1[/Ь) средний квадрат флуктуации параметра гь усредненного по корреляционному объему. Эта величина получается из (146,2) при )7 г,', и мы приходим к условию с (~ Т,Х а [1[ (146, 14) или (взяв )[ и г, из (144,8) и (146,12)) т,'ь а [1[)) — ' з' (146, 15) ') Зто условие подтверждается также и прямым вычислсннсм флуктуапионной поправки к тсплосмкости тела вблизи точки перехода [см.
задачу к $147). з) 1)ля переходов, вписывающихся нссколькнмн парамсграмн порядка, установление всех условий применимости теории Ландау требует, однако, болея детального исследования. А. П. Ленанюк, 1959; В. Д. Гинзбург, 1960)'). Определение температурных зависимостей в полученных выше формулах требовало также и разложения по степеням 1= Т вЂ” Т, (в коэффициентах разложения по з)). Допустимость такого разложения требует соблюдения условия 1(<Т,„а для его совместности с условием (146,16) во всяком случае необходимо, чтобы было (146, 16) Условия (146,14 — 16), обеспечивая достаточную малость флуктуаций, являются в то же время условием применимости всей вообще теории фазовых переходов Ландау, изложенной в предыдущих параграфах. Мы видим, что лишь при соблюдении неравенства (146,!6) существует температурная область, в которой эта теория справедлива.
В таких случаях остаются в силе выводы теории относительно правил отбора допустимых изменений симметрии при переходах '). Но в отношении температурной зависимости термодннамнческих величин все равно неизбежно имеется узкая область вблизи Т„в которой теория Ландау $146) ФЛУКТУАЦИИ ПАРАМКТРА ПОРЯДКА 519 неприменима. Выводы этой теории надо, следовательно, относить лишь к состояниям обеих фаз вне указанного интервала температур. Так, полученные в 9 143 выражения для скачков термодинамических величии надо понимать как разности их значений на обеих границах этого интервала. Непосредственную окрестность точки Т„отвечающую обратному знаку в неравенстве (146,15), будем называть флуктуационмой; флуктуации играют здесь определяющую роль. В изложенных вычислениях не учитывалась специфика упругих свойств твердого тела, отличающего его от жидкости ').
Не учитывался также эффект деформации тела, появляющийся в результате возникновения в ием порядка (этот эффект будем называть стрикг(ией). В рамках теории Ландау этн эффекты не отражаются на выводах, изложенных в предыдугцих параграфах. Совместное действие обоих указанных факторов может, однако, существенно отразиться на флуктуациях параметра порядка, а тем самым — на характере фазового перехода. Исследование этого вопроса требует широкого применения теории упругости и потому выходит за рамки данного тома.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
