landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 101

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 101)

Обозначая остальную часть р как бр, мы можем написать: р=-р +5( бр=2' Х ))"'44"', (145,2) в г где теперь из суммирования исключено единичное представление (это обстоятельство отмечено штрихом у знака суммы). Функция бр обладает симметрией более низкой, чем симметрия тг„так как если бр и остается инвариантной при некоторых преобразованиях этой группы, то во всяком случае не при всех. Заметим, что симметрия гх функции р (совпадающая, очевидно, с симметрией бр) предполагалась, собственно говоря, с самого начала более низкой, чем симметрия О;.

в противном случае во всей сумме (145,1) стоял бы всего один член †са функция р, осуществляющая единичное представление'). Поскольку физическая величина бр вещественна и должна оставаться таковой при всех преобразованиях, то ясно, что говоря о неприводимых представлениях, мы должны подразумевать физически неприводимые представления, функции базиса которых могут быть выбраны вещественными ($ 135); соответственно этому функции 4ю везде ниже предполагаются вещественнымн. ч) Для магнитных переходов вместо плотности р (х, р, г) надо было бы рассматривать плотность чоков 1(к, у, г) в теле. В парамагиитной фазе 1=0, а по другую сторону точки перехода 61 1 мало. (гл, хщ елзовыв папиходы втогого подл Термодннамнческий потенциал Ф кристалла с функцией плотности р нз (145,2) есть функция температуры, давления н коэф.

фициентов т1';"' (и зависит, естественно, от конкретного вида самих функций ~р)хч). Реально осуществляющиеся значения т1)"' как функций от Р и Т определяются термодинамически из условий равновесия, т. е. условий минимальности Ф. Тем самым определится и симметрия О кристалла, так как ясно, что симметрия функции (145,2) с функциями ср)"', законы преобразования которых известны, определяется значениями коэффициентов в линейной комбинации последних. Для того чтобы в самой точке перехода кристалл имел симметрию 6„ необходимо, чтобы в этой точке обратились в нуль все величины т),'"', т. е.

чтобы было бр=О, р= р,. Поскольку изменение состояния кристалла при фазовом переходе второго рода непрерывно, то обращение бр в нуль в точке перехода должно произойти непрерывным образом, а не скачком, т. е. коэффициенты т1,'"' должны обратиться в нуль, принимая вблизи точки перехода сколь угодно малые значения. Соответственно этому разложим потенциал Ф (Р, Т, т),'о>) вблизи точки перехода в ряд по степеням т1,'-м. Предварительно заметим, что поскольку при преобразованиях группы Ое функции ср',"' преобразуются друг через друга (в пределах базиса каждого неприводимого представления), то можно представлять эти преобразования таким образом, как будто преобразуются (по тому же закону) не функции а коэффициенты т)';"'.

Далее, поскольку термодинамический потенциал тела, очевидно, не может зависеть от выбора системы координат, то он должен быть инвариантным по отношению к любому преобразованию системы координат, в частности по отношению к преобразованиям группы Ое. Поэтому разложение Ф по степеням т1,'"' должно содержать в каждом члене только инвариантную комбинацию величин т1,'"' соответствующей степени. Из величин, преобразующихся согласно (не единичному) неприводимому представлению группы, нельзя составить линейный инвариант'). Инвариант же второго порядка существует для каждого представления только один — положительно определенная квадратичная форма из т1)"', которую можно всегда привести к сумме квадратов.

Таким образом, начало разложения Ф имеет вид Ф-Ф,+Х'А~а>ХП)мз, л с где А'"' — функции от Р и Т. ') Противное означало бы, что в данном представлении содержитси единичное, т. е. представление приводнмо. а 145) нзмкнкник снимктгии пги елзовои пкгкходи втогого года 503 В самой точке перехода кристалл должен обладать симметрией сг„ т. е. равновесию должны соответствовать значения величин т))ю= О. Очевидно, что Ф может иметь минимум при всех г),'"> = 0 только в том случае, если все Аои неотрицательны. Если бы в точке перехода все А'ю > О, то они были бы положительнымн и вблизи точки перехода, т.

е. было бы все время т))">=О, и никакого изменения симметрии вообще не произошло бы. Для того чтобы появились отличные от нуля т)г">, необходимо, чтобы один из коэффициентов Аоо изменил знак; в самой точке перехода, следовательно, этот коэффициент должен обратиться в нуль'). (Одновременное обращение в нуль двух коэффициентов Аон возможно только в изолированной точке в плоскости Р, Т. Такая точка является пересечением нескольких линий переходов второго рода.) Таким образом, с одной стороны точки перехода все Аю' > О, а с другой стороны один из коэффициентов Аю> отрицателен.

Соответственно этому с одной стороны от точки перехода всегда все т))э> — -О, а с другой стороны появляются отличные от нуля т)оо. Другими словами, мы переходим к результату, что с одной стороны от точки перехода кристалл обладает более высокой симметрией чг„которая сохраняется н в самой точке перехода, а по другую сторону точки перехода симметрия понижается, так что группа 0 есть подгруппа группы О,. В результате изменения знака одного из Аин появляются отличные от нуля т))">, относящиеся к соответствующему и-му представлению. Таким образом, кристалл с симметрией О, переходит в кристалл с плотностью р= р,-г-бр, где т) ю > >р > >ь ') Строго говоря, это условие должно быть сформулировано более точно следующим образом.

Коэффициенты Ащ> зависят, конечно, от конкретного вида функций фг»н — они представляют собой их квадратичные функционалы, зависящие, кзк от параметрое, от Р и Т. По одну сторону точки перехода все эти функционалы А>ч>)>р)">> Р, Т) существенно поло>кительны. Точка перехода определится как точка, в которой (но мере постепенного изменения Р или Т) одни из А'"> ыожет обратиться в нуль: А>ч>Ы">> Р, Т)~О, Обращению в нуль соответствует внолне определенный набор функций >р~', которые могут быть в принципе определены путем решения соответствующей вариационной задачи.

Это и будут те функции >р';"', которые определяют возникающее в точке перехода изменение бр. Подставив их в А>"> )>р)">> Р, Т), мы получим уже просто функцию Аю> (Р, Т), для которой в точке перехода удовлетворяется условие А>"ПР, Т) =О. После этого функции >р,'ю можно уже считать заданными, что и предполагается везде в дальнейшем (учет же изменения >р>Ю> с Р и Т привел бы к поправочныч членаи более высокого порядка, чем интересующие иас здесь). 504 [гл.

хгн элзовыв пннвходы второго эодл есть линейная комбинация функций базиса только одного (любого не единичного) из непрнводимых представлений группы где. Соответственно этому мы будем ниже опускать индекс п, указывающий номер представления, подразумевая всегда то из ннх, которое как раз возникает при рассматриваемом переходе. Введем обозначения ч'=Хч,', ч;=чу( (145,5) так что ~уз=1) и напишем разложение Ф в виде ( г Ф = Ф, (Р, Т) + т) з А (Р, Т) + т)э ~ С,„(Р, Т) ),"> (у;) + а +т)'~В„(Р, Т))чм(у;)+..., (145,6) где )хз', ~„"', ...

— инварианты третьего, четвертого и т. д. порядков, составленные из величин 7;; в суммах по сс столько членов, сколько можно составить из уг независимых инвариантов соответствующего порядка. В этом разложении термодинамического потенциала в точке перехода должен обратиться в нуль коэффициент А. Для того чтобы сама точка перехода являлась устойчивым состоянием (т. е. чтобы Ф обладало в этой точке минимумом при т)г=0), должны обратиться в нуль члены третьего порядка, а члены четвертого порядка должны быть существенно положительными. Как уже было указано в предыдущем параграфе, линия (в плоскости Р, Т) фазовых переходов второго рода может существовать лишь при условии тождественного отсутствия членов третьего порядка в разложении Ф.

Это условие можно сформулировать теперь как требование невозможности составления инвариантов третьего порядка из величин т)п преобразующихся по данному неприводимому представлению группы 6,'). Предполагая это условие выполненным, напишем разложение с точностью до членов четвертого порядка в виде Ф=Ф,+А(Р, Т)т)з+т)'~В„(Р, Т))'м(71). (145,7) а Поскольку член второго порядка не содержит уо то эти величины определяются просто из условия минимальности членов ') В терминах теории представлений это значит, что так назмааемый симметричный куб (Гз) данного предстаалення Г не должен содейжать н себе единичного представления. Лля непризнанных (и буквальном смысле этого слова) предстаалсний пространстненных групп икнариантон третьего порядка может быть не более одного (доказательстно этого утаерждення см. М.

С. Шур, ЖЭГФ"61, 1260 (1966)). При объединении же двух представлений а одно физически неприэодимое может возникнуть дна ипэарианта третьего порндка. $ 145) изпепенпе сииыетРии пРи вАВОВОИ пеРеходе ВТОРОГО РОДА 505 четвертого порядка, т. е. коэффициента при т)' в (145,7)'). Обозначив соответствующее минимальное значение этого коэффициента просто как В(Р, Т) (оно должно быть, согласно сказанному выше, положительным), мы вернемся к разложению ср в виде (143,3), и величина т) определится из условия минимальности гр как функции только от г) так, как это было сделано в предыдущем параграфе. Найденные таким образом значения величин у; определяют симметрию функции бр= ЧХумо т. е.

симметрию 6 кристалла, возникающего при переходе второго рода из кристалла с симметрией 6,'). Совокупность величин т)г играет в излагаемом формализме роль параметра порядка, описывающего отклонение несимметричной фазы от симметричной. Мы видим, что в общем случае этот параметр многокомпонентен, причем отношения у, = Ч;!Г) определяют симметрию несимметричной фазы, а общий множитель т) дает количественную меру отклонения прн заданной симметрии. Полученные условия, однако, сами по себе все еще недостаточны для возможности существования фазового перехода второго рода.

Характеристики

Список файлов книги