landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Наконец, в качестве иллюстрации конкретных применений изложенной общей теории рассмотрим возникновение упорядо- г) Возможные случаи такого рода — см. В..у. Иадсноол, Кристаллография з, ыз 0960). 510 елзовык пкпккоды втопого голл [гл, х1п чения в сплавах, которые в неупорядоченном состоянии имеют объемноцентрированную кубическую решетку с атомами в вершинах и центрах кубических ячеек (как на рнс. 61, б)'). Задача заключается в определении возможных типов упорядочения (т. е., как говорят в кристаллографии, саерксарукгпур), которые могут возникнуть в такой решетке при фазовом переходе второго рода. Для объемноцентрированной кубической решетки обратная решетка является гранецентрированной кубической. Выберем ребро кубической ячейки прямой решетки в качестве единицы длины.
Тогда ребро кубической ячейки обратной решетки равно 2 2п. В этой обратной решетке следующие векторы (с обладают группами собственной симметрии с центральной точкой: (а) (О, О, 0) — О„, (Ь) (1/2, 1/2, 1/2) — О„, (с) (1/4, 1/4, 1/4), ( — 1/4, — 1/4, — 1/4) — Т„, (145,13) (б) (О, 1/4, 1/4), (1/4, О, 1/4), (1/4, 1/4, О), (О, 1/4, — 1/4), ( — 1/4, О, 1/4), (1/4, — 1/4, 0) †.О,». Здесь указаны компоненты векторов (с вдоль ребер кубической ячейки обратной решетки (оси х, у, г), измеренные в долях этих ребер: для того чтобы получить векторы (с в выбранных выше единицах, надо умножить эти числа на 2 2п = 4я. В(145,13) перечислены лишь неэквивалентные векторы, т.
е. векторы каждой звезды 1с. Дальнейшее исследование очень упрощается благодаря тому, что для решения поставленного вопроса оказывается необходимым рассматривать не все малые представления. Дело в том, что мы интересуемся лишь теми возможными изменениями симметрии, которые могут быть реализованы возникновением сверх- структуры, т. е. упорядоченным расположением атомов по существующим в решетке узлам без их относительного смещения.
В данном случае элементарная ячейка неупорядоченной решетки содержит всего один атом. Поэтому появление сверхструктуры может означать лишь возникновение неэквивалентности узлов различных ячеек. Это значит, что возникающее изменение функции распределения плотности бр должно быть инвариантно относительно всех поворотных преобразований группы (с(без одновременной трансляции). Другими словами, допустимо только единичное малое представление. Соответственно этому в базисных функциях (134,3) можно заменить и„ единицей. Рассмотрим теперь поочередно перечисленные в (145,13) звезды 1с. ') Такая решетка относится к симмпрфной пространстаенной группе 0$. $ 145] изменение симметРии НРи ФА30ВОм переходе ВТОРОГО РодА 511 (а) Функция с И=О обладает полной трансляционной инвариантностью.
Другими словами, в этом случае элементарная ячейка не меняется, а поскольку каждая ячейка содержит всего по одному атому, то не может быть вообще никакого изменения симметрии. (Ь) Этому и соответствует функция ехр2п! (х+у+г). Линейная комбинация (этой функции и функций, получающихся из нее при всех вращениях и отражениях), обладающая симметрией О„группы (с, есть ~р = соэ йпх соз 2 пу соз 2пг. (145,14) Симметрия возникающей фазы есть симметрия функции плотности р = р, + бр, бр = т)ср'). Функция р инвариантна относительно всех преобразований класса О„ н относительно трансляций вдоль любого ребра кубической ячейки, но не относительно трансляции на половину ее пространственной диагонали (1/2 1/2 1/2).
Поэтому упорядоченная фаза имеет простую кубическую решетку Брава с двумя неэквнвалентными узлами в элементарной ячейке (О 0 0) и (1/2 1/2 1/2), которые будут заняты различными атомами. Сплавы, которые могут быть вполне упорядочены по этому типу, относятся к составу АВ (как, например, упомянутый в э 142 сплав СИХп). (с) Соответствующие этим векторам к функции, обладающие симметрией Т„, таковы: ср,=созпхсозпусозиг, сре=з1ппхз!ппуз(ппг. (145,15) Из них можно составить два ннварианта четвертого порядка: (~ра,+ср,*)з и (<р4+ср1).
Поэтому разложение Ф (145,7) имеет вид Ф = Фе+ Ат)*+ ВдЧ'+ Взт!'(71+7.'). (145,16) Здесь надо различать два случая. Пусть В, < 0; тогда Ф как функция от у„у, при дополнительном условии у,*+у,'=1 имеет минимум при 7,=1, у, =О. Функция бр=у)ср, имеет симметрию класса 0» с гранецентрированной решеткой Бравэ, кубическая ячейка которой в восемь раз превышает по объему кубическую ячейку первоначальной решетки. Элементарная ячейка содержит четыре атома (а кубическая ячейка — 16 атомов). Поместив в эквивалентные узлы одинаковые атомы, найдем, что эта сверхструктура соответствует тройному сплаву состава АВС, с атомами в следующих положениях: 4А (О О 0), (О 1/2 1/2; С), 4В (1/2 1/2 1/2), (О О 1/2; ( ), ВС(1/4 1/4 1/4), (3/43/4 3,'4), (1/4 3/4 3/4; С), (1/4!/4 3/4; ( ) т) Вто не означает, разумеется, что изменение йр в реальном кристалле дается именно написанной функцией (!45,!4).
В выражении(!45,!4)сунтессвеина только его симметрия. 512 (гл. хги ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА даны здесь в единицах длин ребер новой вдвое больших длин ребер первоначальной а; знак ( означает циклическую переста- В и С идентичны, мы получим упорядоченную решетку с составом АВ,. Пусть теперь Вз > О. Тогда Ф имеет минимум при 7*,=-7,'==1/2, , 1 так что 6Р=Ч(ф,-+фз)/ 2 (илн ° у бр= т1(ф,— фе)/1~ 2, что приво- дит к тому же результату) '). Эта функция имеет симметрию класса Оя с той же гранецентрированной решеткой Брава, что и в предыдущем случае, но лишь с двумя наборами эквивалентных узлов, которые могут быть заняты двумя родами атомов А и В: 8А (О О О), (1/4 1/4 1/4), (1/43/43/4; ( ), (01/21/2; ( ), 8В (1/2 1/2 1/2), (3/4 3/4 3/4), (1/4 1/4 3/4; С), (О О 1/2; Т ) (рис.
65, б). (д) Этим векторам к соответствуют следующие функции с требуемой симметрией .1Р (координаты атомов кубической ячейки, ячейки; см. рис. 65, новку). Если атомы а) Рис. ез. фе СОЗ П (Ц и) фз — СОЗ Л (Х й) фе СОЗ и (Х Е) фе=созп(дд е), ф,=созп(х+У), фе=созп(х+г). Из иих можно составить один инвариант третьего порядка и четыре инварианта четвертого порядка, так что разложение (145,6) принимает вид Э =газе+ оЧ~+СЧ (7зузуе+7зузуе+7зуеуе+ 7еуе7е)+ еееЧ~+ +ВзЧ (7з+7а+'уз+7е+7з+7е)+ВзЧ (7Г7з+7зуе+7еуе)+ + ВеЧ~ (7з7з7зуе Т 7з7еуе7е+ уеузузуе). Ввиду наличия кубических членов фазовый переход второго рода в этом случае невозможен. Лля исследования возможности существования и свойств изолированных точек непрерывного пе- з) Тот факт, что в обоих случаях 7, н тз оказались просто чнсламн — результат ивакчия лишь одного (зависящего от 7,, уе) члена в Ф.
При большем числе различных инвариантов четвертого порядка среди минимизирующих Ф наборов 7Г могли бы быть и зависящие от Р, Т. $1461 516 ельктьацнн паьамнтгл погядкя рехода (см. 9 150) надо было бы исследовать поведение функции Ф вблизи ее минимума; мы не станем останавливаться здесь на этом. На данном примере мы видим, насколько жесткие ограничения накладывает термодинамическая теория на возможность фазовых переходов второго рода; так, в данном случае они могут существовать лишь для образования сверхструктур трех типов ').
Обратим внимание также и на следующее обстоятельство. В случае (с) (при В, (О) фактическое изменение функции плотности бр = т)гр, отвечает только одному из двух фигурирующих в термодинамическом потенциале(145,16) параметров у„ у,. Этим демонстрируется важная черта изложенной теории: при рассмотрении какого-либо конкретного изменения решетки при фазовом переходе второго рода может оказаться необходимым учитывать также и другие, «виртуально возможные» изменения.
6 146. Флуктуации параметра порядка Уже неоднократно указывалось, что самая точка фазового перехода второго рода является в действительности особой точкой для термодинамическнх функций тела. Физическая природа этой особенности состоит в аномальном возрастании флуктуаций параметра порядка, в свою очередь связанном с уже упоминавшейся пологостью минимума термодинамического потенциала вблизи точки перехода. Легко найти закон этого возрастания (в рамках рассматриваемой теории Ландау). При этом будем считать, что изменение симметрии при переходе описывается всего одним параметром т). Минимальная работа, требуемая для вывода системы из равновесия при заданных постоянных значениях давления и температуры, равна изменению ЬФ, ее термодинамического потенпиала *).
Поэтому вероятность флуктуации при постоянных Р и Т: гпсьз ехр ( — ЛФ„/Т). (146,1) Будем обозначать в этом параграфе равновесное значение пара- метра т) как т). При малом отклонении от равновесия 1 — (бзФя) х) Дальнейшие примеры — см. Е. М. ати4юиич, ЖЭТФ !1, 255 269 (1941) (3. о1 Рйугпсь 055Й, 6, 61, 251 (1942)), а) В этом параграфе термодинамический потенциал(Ф, а ниже ьз) для тела в целом отмечаем индексом «п», а буквы без индекса применяются для значений потенциалов, отнесенных к единице объема. 614 еазовык пгвнходы втогого года (гл.
хгк С помощью (!44,6) выразим производную дзФ„)дт)е через восприимчивость вещества в слабом поле согласно определению (144,7). Тогда вероятность флуктуации (при температурах вблизи точки перехода Т,) запишется в виде 1нс/'ехр ~ — (ч ч)'"~ Отсюда средний квадрат флуктуации ') (146,2) Согласно (144,8) он возрастает при Т вЂ” Т, как !11. Для более глубокого выяснения характера и смысла этой расходимости, определим пространственную корреляционную функцию флуктуаций параметра порядка. Прн этом нас будут интересовать длинноволновые флуктуации, в которых флуктуирующая величина медленно меняется вдоль объема тела; именно такие флуктуации, как мы увидим ниже, аномально возрастают вблизи точки перехода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
