landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Мы ограничимся здесь лишь указанием некоторых результатов. Стрикционная деформация может быть (в зависимости от симметрии кристалла) линейна или квадратична по параметру порядка. Характер влияния упругих свойств тела на фазовый переход в этих случаях различен. В случае линейной стрикции обозначим посредством у порядок величины коэффициентов пропорциональности между компонентами тензора деформации (ига) и параметром порядка: им-ут). Влияние этого эффекта на флуктуации проявляется в той окрестности точки перехода, где Ы~уэ!) ().— порядок величины модулей упругости тела). Во многих случаях стрикция представляет собой слабый эффект, и в этом смысле величина у является малой.
Тогда указанная область температур узка н лежит внутри флуктуационной области. Длинноволновые флуктуации (магу'/3у) оказываются здесь подавленными, и корреляционный радиус, достигнув значения г, — )гдй,уу', перестает возрастать. В результате теплоемкость в точке перехода испытывает лишь конечный скачок, как и в теории Ландау '). ') При этом существен ие столько сам факт аниэотропии этих свойств, сколько несводимость деформаций к одной только деформации всестороннего сжатия. В этом смысле сказанное ниже относилось бы и к иэогропиому твердому телу с отличным от нуля модулем сдвига. э) См.
А. П. 77ееанюн„А. А. Собянин, Письма ЖЭТФ 11, 540 (!970). ВАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА [ГЛ. Х!Ч К другим результатам приводит квадратичная стрикция '). Этот эффект тоже подавляет флуктуации, но в более слабой степени. Если без учета стрикцин в точке перехода теплоемкость обращалась бы в бесконечность (см. 9 148), то квадратичная стрнкция приводит вместо этого к появлению небольшого скачка энтропии, т.е. фазовый переход становится переходом первого рода, близким к второму; теплоемкость остается при этом конечной, хотя и достигает аномально больших значений з). Задача Определить корреляционный радиус флуктуаций параметра порядка во внешнем поле й при Т =Т,.
Решение. Равновесное значение т! Дается выражением (144,9), а плотность термодииамического патенциача: / дп д з ЗЬГ/а Ье/з — / дп т е ()=()е+ЬЧ'+и ~д, /1 — ЬЧ =()+ „, (Ч вЂ” Ч)'+К ! д,. /! . Для корреляционной функции получается прежний результат (!46,11) с корреляционным радиусом Зг/е к г/з Зт/~Ь'/ей '/а $147. Эффективный гамильтониан Прежде чем перейти к описанию свойств фазового перехода вне области применимости теории Ландау (т. е. в непосредственной окрестности точки перехода), покажем, каким образом могла бы быть поставлена статистическая задача об исследовании этих свойств '). Согласно (35,3) термодинамический потенциал (7 определяется статистической суммой Й= — Т [п,~ ~еи/ч/г ) е ч р' е'/ с(Гдь (147,1) где интегрирование производится по всему фазовому пространству системы 1)/ частиц.
Если же распространить интегрирование лишь по той части фазового пространства, которая отвечает некоторому заданному распределению параметра порядка т) (г), х) Этот случай имеет место, в частности, для переходов из пара- в ферра. магнитное состояние, где параметром порядка является вектор намагниченности кристалла. Линейная зависимость деформации от намагниченности и ключается требованием симметрии относительно обращения времени (оставляющего неизменным деформацию, но меняющего знак магнитного момента). ') См. А.
Н. Ларкин, С. А. //инин, ЖЭТФ 66, 1664 (!969). з) Этот способ постановки задачи о фазаном переходе второго рода был высказан Л. Д. Ландау (1958). $1471 521 эвввктивиый глмильтонилн то определяемый формулой (147,1) функционал ь) (т) (г)] можно рассматривать как потенциал, отвечающий этому распределению. Непрерывное распределение т) (г) удобно прн этом заменить дискРетным набоРом комплексных пеРеменных ч)к =- т)к+си)а— компонент фурье-разложения (!46,7).
Тогда определение 11(т)1 запишется в виде Й'(т)(г)]= — Т!п~Г еяпуг] ехр ( — ~ ' ) Х еж(р ч)т Т хпб(Чк — т) (Р Ч У))6(т) т)к(Р ц М)) ИГ,т (1472) где Чк(Р, 7; Ж) — величины т)к как функции точки р, д фазового пространства. Очевидно, что при таком определении () = — Т 1п ~ ехр ( — + П с(Чает),",.
(147,3 т) Для простоты рассужденяй мы считаем физическую величину Ч классической. Таксе предположение несущественно, поскольку длиннаволновая переменная ч во всяком случае классична. Для квантовых систем необходимо, однако, выполнение условия аида Ьа,и сКТ, где и — характерная скорость распространения колебаний параметра порядка. В предыдущем параграфе было показано, что аномальному возрастанию вблизи точки перехода подвержены только флуктуации с малыми волновыми векторами )с; именно этими флуктуациямн определяется, следовательно, характер особенности термодинамических функций.
В то же время такие количественные характеристики вещества, как сама температура перехода Т„ определяются в основном атомными взаимодействиями в веществе на близких расстояниях, чему отвечают коротковолновые компоненты т)к. Это физически очевидное обстоятельство проявляется в статистическом интеграле тем, что большим значениям отвечает большой фазовый объем. Пусть й, (параметр обрезания) — некоторое значение й, малое по сравнению с характерным обратным атомным размером.
Длинноволновая часть распределения Ч(г) дается суммой т) (г) — ~ т)касас (147,4) а(ае а термодинамический потенциал 11[а)], отвечающий этому распределению, дается формулой (147,2), в которой произведение по к должно быть распространено только по значениям й < )е,. Соответственно и связь ь)1т)] с Я дается формулой (147,3) с интегрированием лишь по Чк с й < йе т). 522 11л; хпт ФАЗОВЫВ ПЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА Вблизи точки перехода функционал 11[т11 может быть разложен по степеням функции ч(г), а поскольку эта функция — медленно меняющаяся, то в разложении можно ограничиться членами наиболее низкого порядка по производным этой функции.
В то же время это разложение должно уже учитывать самый факт существования фазового перехода, поскольку значение Т, определяется уже исключенными из т! коротковолновыми компонентами. Это значит, что разложение Й[Ч! должно прямо иметь вид (!46,5) 11 Я = 11, -1 ~ [а(т!'+(тЧ'+а(ут))' — йт11т(у" Окончательно, опустив теперь значок, приходим к следующему выражению для термодинамнческого потенциала Я: 11 — 11,= — — Т1п ~ехр ( — — 'ФФ ) П Г(т1АГ(т)ю (147,5) ~с /А<6 где Н,ФФ вЂ” — ~[ [а1т!'+(тт!'+д(тт1)т — йт1!й)т (147,6) играет роль эффективного гамильщониана системы, испытывающей фазовый переход. В области применимости теории Ландау флуктуации малы. Это значит, что в статистическом интеграле (147,5) существенны значения т), лежащие в узком интервале вокруг значения Ч=т), минимизирующего эффективный гамильтониан.
Взяв интеграл методом перевала (т. е. заменив показатель экспоненты его разложением вблизи минимума), мы должны вернуться к термодииамическому потенциалу теории Ландау; поэтому коэффициенты в эффективном гамильтониане и в термодинамнческом потенциале теории Ландау должны совпадать буквально. При этом, однако, флуктуационные поправки приведут к некоторому сдвигу значения температуры перехода Т, по сравнению со значением Т,'", фигурирующим в (147,6) в разности 1= Т вЂ” Т,'т'.
Интеграл (147,5) берется по бесконечному множеству переменных т1ь (после того, как эффективный гамильтониан подстановкой т! (г) из (147,4) выражен через эти переменные). Если бы этот (как говорят, континуальньтй) интеграл мог быть вычислен, тем самым был бы выяснен характер особенности функции Я (р, Т) вблизи точки перехода. Это, однако, оказывается невозможным. В формировании особенности играют роль флуктуации с волновыми векторами й 1/г,. При 1 — 0 радиус корреляции г; ОО, так что существенны сколь угодно малые значения й.
Поэтому представляется весьма вероятным, что характер особенности не зависит от выбора величины параметра обрезания й,. Если счи- $ 147) эФФективиый Глмильтоиихн 523 Щ', = 1l ~я~~ (Щ + фаз) ) тр, )з' э <эе (147,7) ои распадается на сумму членов, каждый из которых зависит только от одного из з)ь, статистический интеграл при этом тать, что эта особенность состоит в появлении в термодинамическом потенциале членов с нецелыми степенями температуры 1 и поля й, то сделанное утверждение означает независимость от й, показателей этих степеней (так назьгваемых критических индексов). Отсюда в свою очередь должна следовать независимость этих показателей от конкретных значений коэффициентов Ь и д в эффективном гамильтониане (а тем самым †р или Р, функциями которого они являются).
Действительно, изменение й, — й,/Л эквивалентно изменению масштаба измерения координат (г- Лг), и потому последнее не должно менять критических индексов. С другой стороны, преобразование г- Лг меняет коэффициент и в эффективном гамильтониане, не меняя коэффициента Ь; поэтому критические индексы не должны зависеть от и. Аналогичным образом, заменив одновременно с преобразованием г — Лг также и переменную континуального интегрирования ~) — Лть мы изменим Ь, не изменив д, а потому критические индексы не зависят и от Ь (изменение же коэффициента а вообще несущественно, так как устраняется соответствующим изменением масштаба 1, заведомо не отражающимся на показателе степени).
Таким образом, следует ожидать, что критические индексы будут одинаковы для всех систем с эффективным гамильтонианом вида (147,6). Они, однако, могут быть другими, если симметрия системы такова, что (по-прежнему при одном параметре порядка) квадратичный по производным член в эффективном гамильтониане имеет более общий вид (146,4). Продолжая эту линию рассуждений, можно ожидать, что и в более общих случаях, когда изменение симметрии при переходе описывается несколькими параметрами порядка, критические индексы зависят только от структуры эффективного гамильтониана, но не от конкретных значений коэффициентов в нем.
При этом в понятие структуры гамильтониана входит число и вид инвариантов четвертого порядка (а также знаки и соотношения типа неравенств между коэффициентами при них), и вид членов, квадратичных по производным от параметров порядка. Возникающие в связи с этим вопросы, однако, в настоящее время еще почти вовсе не исследованы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
