landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Симметрия аффективного гамильтоииаиа приводит, конечно, к аиваогичноа симметрии в термодниамических соотношениях. Функции / н ~р в (149,6 — 7), конечно, связаны друг с другом, поскольку — дФ/дй=т))/. Выражения (149,6 — 7) написаны здесь для й) О; ввиду симметрии эффективного гамильтониана по отношению к замене й- — й, т)- — т1, формулы для й < О получаются из написанных этой же заменой').
Произведем дальнейшие рассуждения на основании формулы (149,7). Как уже отмечалось в связи с (148,18), при заданном отличном от нуля й термодинамические функции не имеют особенности по / н потому должны быть разложимы по целым степеням этой переменной. Это значит, что при й~О, / — О функция ф(х) в (149,7) разлагается в ряд по целым степеням малой переменной х=//йп~'с Первые члены этого разложения дают Ф(/, й)саой'"'~1+с,— „, +с, т„+...1, (149,8) $1491 МАСШТАБНАЯ ИНВАГИАНТНОСТЬ нии нулевого значения переменной 6, и потому функция Ф (/, 6) разложима по целым степеням 6.
Это значит, что при 6 — О, 1 ~ О разложение функции ф (х) по малой переменной 1/х=йн!»/1 должно иметь вид ф(х)слзх»и~1+с,х та+с«х з»ш+...1; множитель х»«компенсирует нецелую степень й~в, а переменная разложения х-»жслй. Разложение, однако, различно при Г ) 0 и при 1 ( О. При / ) 0 потенциал Ф (/, 6) содержит только четные степени 6, поскольку производная — дФ/дй=)тт) должна быть (в симметричной фазе) нечетной функцией 6: Фсхзу»х ~1+с« "' + 1 1) 0 6 0 (149 9) При 6 — 0 теплоемкость должна вести себя по закону а параметр порядка — по закону т) = )(6сл6/-» (отвечающим случаю слабого поля); легко убедиться, что получающиеся отсюда соотношения тоже эквивалентны уже известным. Если же температура 1( О, то разложение Ф(1, 6) при 6 — 0 содержит все целые степени 6: Фсл( — 1)»и~1+с, +с, „+ ...~, т <О, 6- 0 й йз О»!н «( 1)«»ш (149, 10) (с другими, конечно, коэффициентами с„с,) '). Легко проверить, что для параметра спонтанного (не зависящего от 6) порядка получается требуемый закон ( — 1)Р.
О преобразовании корреляционного радиуса шла речь выше. Осталось рассмотреть корреляционную функцию флуктуаций параметра т) при 1 — 0 и потребовать масштабной инвариант- ности выражения б (г) = сопз( г-(л-э+11 (1= О). При этом следует считать, что флуктуирующие величины т((г) в разных точках пространства преобразуются независимо таким же образом, как и среднее значение т(в). Тогда корреляционная х) Если (149,10) относится, скажем, к полям й > О, то формула для й ( 0 получается из иее эамеиоа й — ь — й.
Напомним (см. 4 144), что при 1 < 0 состояния в полях различного знака относятся к физически тождественным «фазам», отличающимся знаком параметра порядка (как спонтанного, так и индуцированного полем); при й — «0 эти две фазы находятся в равновесии друг с другом. э) Прн этом существенно, что речь идет о расстояниях г, хотя и малых по сравнению с корреляционным радиусом, но все же больших по сравнению с межатомными расстояниями. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ ВТОРОГО Рода (ГЛ. х!ч функция преобразуется как б — би' ч, и мы получим условие 5+2 — = ~.
(149,11) И это равенство является следствием уже известных. Остановимся в заключение на численных значениях критических показателей. Экспериментальные данные и результаты численных расчетов свидетельствуют о том, что (в трехмерном случае) индексы а и ~ довольно малы: а 0,1, ~-0,05. В первой строке следующей ниже таблицы даны значения остальных индексов, получающиеся, если положить а=~=О (д=З). Во второй строке приведены значения, получающиеся, если принять для а и С их оценку по упомянутому в $ 147 методу Вильсона (для переходов, описывающихся эффективным гамильтонианом (147,5) с одним параметром порядка')): а р у 6 е р 0 173 473 5 О 2!5 273 0 0,06 0,33 1,26 4,8 0,05 0,40 0,64 0,04 $ 150. Изолированные и критические точки непрерывного перехода Разделяя фазы разной симметрии, кривая (на диаграмме Р, Т) фазовых переходов второго рода не может, конечно, просто окончиться в некоторой точке.
Она может, однако, перейти в кривую фазовых переходов первого рода. Точку, в которой одна Я'Р / кривая переходит в другую, можно назвать | критической точкой переходов второго рода; она в известном смысле аналогична обычной критической точке (точка К на рис.
55; на этом и следующих рисунках в этом пара. графе сплошные и пунктирные линии изоРис 66 бРажают кРивые точек фазовых пеРехоДов соответственно первого и второго родов) '). В рамках теории Ландау свойства вещества вблизи такой точки могут быть исследованы тем же развитым в $ 143 методом разложения по степеням параметра порядка (Д. Д.
Ландау, 1935). В разложении (143,3) критическая точка определяется обращением в нуль обоих коэффициентов А (Р, Т) и В(Р, Т) (до тех ') Упомянем, что, согласно оценке по этому методу, индекс а проходит через нуль при двухкомпонентном параметре порядка и становится отрицательным при большем числе компонент (для эффективных гамильтонианов, зависящих только от суммы квадратов Чз=п~+Чз'-~-...). з) В литературе такую точку называют также трикригличыюа.
537 % 1501 ТОЧКИ НЕНРЕРЫВНОГО НЕРЕХОДК причем в критической точке А,р —— О, В„р — — О, В,р ) О. В несимметричной фазе минимизация термодинамического потенциала дает т1в=зв~ В+)Т — ЗАР1. (150,2) Для энтропии В=- — дФ/дТ этой фазы имеем, опуская члены высших степеней по Ч: Я=Я,— аЧ', где а=-дА1дТ. Дифференцируя еще раз, находим теплоемкость С = Гв — ввв ' (150, 3) где выписан лишь член, в котором знаменатель обращается в критической точке в нуль. Введем температуру Т,=Т,(Р), для которой В' — ЗА0=0; очевидно, что при Р = Р„, Т, совпадает с Т„р.
Первый член разложения В' — ЗАВ по степеням Т вЂ” Т,: В' — ЗАВ = — За,О, (Т вЂ” Т,). (150,4) Вблизи критической точки разность Т (Р) — Т, (Р) является малой величиной второго порядка; действительно, при Т= Т,(Р) имеем А=О, и потому разность Вв Т,(Р) — Т, (Р) = — —, ЗоеОе ' т. е. стремится при Р— Р к нулю как Вв. Подставив (150,4) в (150,3), находим С Т-,в 1а~ / ар )Г Те — Т (Твое ) вгв 1 (150,6) (с той же точностью коэффициент в этой формуле может быть взят при Т„р вместо Т,). Таким образом, теплоемкость несимметричной фазы возрастает при приближении к критической точке как (Т,— Т)- 1в.
в) То есть невовможность составления инвариантов пятого порядка ив пара. Метров Ч1, Чв, ° пор, пока А=О, В)0, мы имеем дело с переходом второго рода, так что кривая этих переходов заканчивается лишь там, где В изменит знак). Для устойчивости состояния тела в самой критической точке необходимо тождественное исчезновение члена пятого порядка т) и положительность члена шестого порядка.
Таким образом, исходим из разложения Ф(Р, Т„Ч)=Ф,(Р, Т)+А(Р, Т) т1'+В(Р, Т) Чв-)-П(Р, Т) т1', (150,1) 538 ВАЗОВЫВ ПЕРВ«ОДЫ ВТОРОГО РОДА [гл. х~ч Для состояний на самой кривой переходов второго рода имеем, полагая в (150,3) А=О (илн подставляя (150,5) в (150,6)) получим (150,7) Обращаясь в нуль в критической точке, в ее окрестности величина В пропорциональна Т вЂ” Т„р (или Р— Р„,). Определим теперь теплоемкость несимметричной фазы на линии переходов первого рода, но снова вблизи критической точки.
В точках этой линии находятся в равновесии друг с другом две различные фазы †симметричн и несимметричная. Значение параметра т[ во второй из них определяется условием равновесия Ф (и) = Ф„причем одновременно должно быть дФ7дч = О. Подстановка Ф из (150,1) приводит к уравнениям А+Вт['+От['=О, А+2Вт[«+ЗА)Ч'=О, откуда в т[«вЂ” 20 ' (150,8) С«п ҫР«Р[в[ (150,10) Сравнение с (150,7) показывает, что теплоемкость на линии переходов первого рода вдвое больше теплоемкости на линии переходов второго рода прн том же расстоянии от критической точки. Теплота перехода из несимметричной в симметричную фазу: (150, 11) Покажем (ще, что кривая переходов первого рода смыкается в критической точке с кривой переходов второго рода без излома.
На первой кривой производная Г[Т[Г[Р определяется условием 2ВдА+2А Г[ — ВГ[В= О, получающимся дифференцированием уравнения (150,9). Уравнение же кривой переходов второго рода: А = О, так что дТ(дР определяется условием дА = О. Но в критической точке А = О, а подстановка этого значении снова в уравнение Ф(Г[)= Ф, дает 4АР=В'.
(150,9) Это — уравнение линии переходов первого рода. Теплоемкость несимметричной фазы на этой линии получается просто подстановкой (150,9) в (150,3): $ 1501 539 ТОЧКИ НЕПРЕРЫВНОГО ПЕРЕХОДА В = О и оба условия совпадают, так что Г/Т/Г/Р не имеет скачка. Аналогичным образом можно убедиться в том, что вторая производная Г/'Т/Г/Р' испытывает скачок. Мы знаем уже, что теория Ландау, на которой основаны изложенные здесь выводы, неприменима вблизи линии переходов второго рода. Интересно, однако, что условия применимости этой теории улучшаются по мере приближения к критической точке, что видно уже из неравенства (145,15), в правую часть которого входит как раз В.
Разумеется, обращение В в нуль не означает, что флуктуационные поправки отсутствуют в критической точке вовсе. Оказывается, однако, что оно приводит к исчезновению главных вблизи линии перехода (степенных) поправок. Остающиеся поправки имеют логарифмический / Ю /7 / / / ~/ ии / / / г~~ /// / Рис. 68. Рис. 67.
характер и приводят к тому, что результаты флуктуационной теории отличаются от результатов теории Ландау лишь степенями логарифма расстояния до критической точки. В частности, Г(Т/Г(Р в критической точке по-прежнему непрерывна. Далее остановимся (снова в рамках теории Ландау) на некоторых свойствах точек пересечения линий фазовых переходов первого и второго рода. Симметрия несимметричной фазы при фазовом переходе второго рода определяется (как было показано в $ 145) минимизацией членов четвертого порядка в разложении Ф как функций коэффициентов уГ= тй/Г1. Но эти члены зависят также и от Р и Т, и поэтому может оказаться, что на разных участках линии переходов несимметричная фаза имеет различную симметрию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
