landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Обозначим посредством 7, сумму по всем одиночным петлям длины г (т. е. состоящим из г связей), причем каждая петля входит с множителем е'Рм на каждый узел в ней. Тогда сумма $151) еазовый пкекход в двкмкеной екшкткк 545 по всем парам петель с общим числом связей г будет равна ! 2' о+о=с (множитель 1/21 учитывает, что при перестановке индексов г„ г, получается одна и та же пара петель), и аналогично для троек и т.
д. петель. Таким образом, сумма Я принимает вид Я=~~» ( — 1)' —, ~ х"+" " 1,,., 1,. !=о =! Поскольку в Я входят совокупности петель с любой общей длиной г,+г,+..., то во внутренней сумме числа г„г„ пробегают независимо все значения от 1 до оо '). Поэтому и Я приводится к виду Я=ехр ( — „Я х'1, ~. (151,5) На этом заканчивается первый этап вычисления. Для дальнейшего удобно связать с каждым узлом решетки четыре возможных направления выхода из нее, перенумеровав их специальным индексом э=1, 2, 3, 4, скажем по правилу 2 з- ° д Введем вспомогательную величину йт,(й, 1, т) — сумму по всем возможным переходам с длиной г из некоторого заданного исходного узла Й„1„ч, в узел й, 1, ч (каждая связь входит, как везде, с множителем все~', где р — изменение направления при переходе к следующей связи); прн этом последний шаг, приводящий в узел я, 1, т, не должен происходить со стороны, в которую направлена стрелка ч').
При таком определении )1т„(Й„1„т,) есть сумма по всем петлям, выходящим из точки йч, 1„в направлении ч„и возвращающимся в эту же точку. ') Петли с числом узлов больше д! все равно не дают вклада в сумму, тая как непременно содержат повторяющиеся связи. ') Фактически ))Г (д, 1, т) зависят, конечно, лишь от разностей д — де, ) — )е 546 [гл. х~т елзоаык пег«ходы атогого голл Очевидно, что (151,7) »нв»о Действительно, справа н слева стоит сумма по всем одиночным петлям, но в ч~~~Ф", каждая петля входит 2г раз, поскольку она может проходиться в двух противоположных направлениях н относиться к каждому нз своих г узлов в качестве исходного. Из определения Яг",(я, 1, т) вытекают следующие рекуррентные соотношения: йУ „(ь [ 1) йг,(ь 1 1 1)+е-4 Ю,(К,[ 1,2)+О+ +е ' [1', (л, 1 + 1, 4), йг,~,(lг, [, 2) = е 4 йг„ (й — 1, 1, 1) -[- [р', (л, [†1, 2) + +е ' [«',(1+1, 1, 3)+О, (151,8) Е, 3) =0+« ' Ж'„(А, 1 — 1, 2)+[»',(1+1, 1, 3)+ +е «[Р'„(я,[+1, 4), ь» ~я 1, 4) = е ' %', (я — 1, 1, 1) + О+е «Яг" (я+1, 1, 3) + -[- [Р', (А, 1 + 1, 4).
Способ составления этих соотношений очевиден; так, в точку я, 1, 1 можно попасть, сделав последний (г+1-й) шаг слева, снизу нли сверху, но не справа; коэффициенты прн йг„возннкают от множителей еч» Обозначим посредством Л матрицу коэффициентов системы уравнений (151,8) (со всеми й, 1), написанных в виде [«',+, (й, 1, ч) = ~ Л (Ич [ й'1'т') [[7, (lг', Г, т'), »чы' Способ составления этих уравнений позволяет сопоставить этой матрице наглядный образ точки, «блуждающей» шаг за шагом по решетке с «вероятностью перехода» за один шаг нз одного узла в другой, равной соответствующему элементу матрицы Л; фактически ее элементы отличны от нуля лишь для изменения я илн 1 на О нлн -~1, т. е.
за каждый шаг точка проходят лишь одну связь. Очевидно, что «вероятность перехода» длины г будет определяться матрицей Л'. В частности, диагональные компоненты этой матрицы дают «вероятность» возвращения точки в исходный узел после прохождения петли длины г, 54? з 1511 флзовый переход в лвгмвеной гашетка т. е. совпадают с В',(7е„1„те). Поэтому Ьр Л'= ~ )е,(й„1„те).
«ес ев Сравнивая с (151,7), находим 1 = — 5рЛ = — '~')„', 2с 2с х с с где Лс — собственные значения матрицы Л. Подставив это выражение в (151,6) н меняя порядок суммирования по с и по г, получим е= р — ф~К вЂ” ' ч)-.*р(' ~~ н — *1>)- ! с с с' Ц) 1 — хХс. (151,9) Матрица Л легко диагонализуется относительно индексов сс, 1 путем перехода к другому представлению с помощью преобразования Фурье: е йес Ж',(р, с7, т)= ~~ в ь В',(й,1,т) (15110) е, с=о После перехода в обеих сторонах уравнений (151,8) к компонентам Фурье каждое из них будет содержать вУ,(р, с), т) лишь с одинаковыми индексами р, с7, т. е.
матрица Л диагональна по р, д. Для заданных р, с7 ее элементы равны / е-Р а-'е-е О аее ~ ае-Р е-е а-сер О О ае-е ер а-'ее 1' а"1е-Р О аер ев где а =есеСс, е=е'ессь Для заданных р, с7 простое вычисление дает Р (1 — х)ч) = =1 = Ве1 (б, — хЛ „) = (1+ х')' — 2х (1 — х') ~ соз — + соз — ) . Отсюда, согласно (151,3) и (151,9), находим окончательно статистическую сумму: ь 1 ьн 2=2сс(1 — хе)-~ Ц ~(1+хе)е — 2х(1 — х') (соз — "р+соз — ~)~ р, с=в (151,11) 548 [гл. хгк олзовые пегеходы втогого годл Термодинамический потенциал '): Ф = — Т 1п Е = — й) Т 1п 2+ МТ!и (1 — х')— Š— 2 Т,~„1п )с(1+х')' — 2х(1 — х') ! соз — + сов — )1 ! ч-~ Г 2пр 2нд ~ у.
~,) или, переходя от суммирования к интегрированию Ф = — г!Т!п 2+ ХТ 1п (1 — х')— тн — — э ) ) !п [(1+ха)э — 2х (1 — х ) (соз в, +сов в,)1 г(вг г(ве (! 51,12) ут г о (иапомним, что х=1Ь (Х!Т)). Обратимся к исследованию этого выражения. Функция Ф(Т) имеет особую точку при том значении х, при котором аргумент логарифма под знаком интеграла может обратиться в нуль.
Как функция от в„в, этот аргумент минимален при созв,=сов оээ=1, когда он равен (1+х')' — 4х(1 — х') = (х'+2х — 1)'. Это выражение имеет минимум, в котором оно обращается в нуль лишь при одном (положительном) значении х = х, = р" 2 — 1; э' соответствующая температура Т, (()т †, = х,) и является точкой с фазового перехода. Разложение Ф (г) по степеням г = Т вЂ” Т, вблизи точки перехода содержит наряду с регулярной частью также и особый член.
Нас интересует здесь лишь последний (регулярную же часть заменим просто ее значением при 1=0). Для выяснения его вида разлагаем аргумент логарифма в (151, 12) вблизи его минимума по степеням в„в, и г, после чего интеграл принимает вид 1п (сгуа + сэ (вг + ва)1 г(в~ г(ва~ о где с„с,— постоянные, Произведя интегрирование, найдем окончательно, что вблизи точки перехода термодинамический потенциал имеет вид Ф н" а — 2 о(Т вЂ” Т,)' !п) Т вЂ” Т,), (151,И) а) В рассматриваемой модели температура влияет только на упорядоченность ориентации диполей, но не на расстояния между ними («конффициент теплового расширения» решетки равен нулю). В таком случае беэраэличио, говорить ля о свободной энергия нли о термодинамичееком потенциале.
$ 1521 ван-дев-вллльсовд ткогия кгитичкской точки 549 где а, Ь вЂ сно постоянные (причем Ь > 0). Сам потенциал непрерывен в точке перехода, а теплоемкость обращается в бесконечность по закону С Ь(п(т — т,), (15 1,14) симметричному по обе стороны точки перехода. Роль параметра порядка Ч в рассмотренной модели играет средний дипольный момент в узле (спонтанная полнризацня решетки), отличный от нуля ниже точки перехода и равный нулю выше ее.
Температурная зависимость этой величины тоже может быть определена; вблизи точки перехода параметр порядка стремится к нулю по закону т) = сопз! (Тс — т)"' (151,15) (7.. Опзадег, 1947) '). Корреляционная функция определяется как среднее значение произведения флуктуаций дипольного момента в двух узлах решетки. Корреляционный радиус оказывается стремящимся к бесконечности при Т вЂ” Т, по закону Ц Т вЂ” Т, ~, а в самой точке Т=Т, корреляционная функция убывает с расстоянием по закону 4 гзоазйо„„) с/з((л — гп)*+(! — и)'] Эти результаты, а также результаты решения задачи о свойствах той же модели во внешнем поле показывают, что ее поведение вблизи точки фазового перехода удовлетворяет требованиям гипотезы о масштабной инвариаитности.
При этом критические индексы имеют следующие значения: а = О, р = 1/8, 7 = 7/4, 6 = 15, а = О, )ь = 8115, т = 1, ~ = 1/ 4 (индекс ~ определен согласно (148,7) с И=-2)'). 9 !52. Ван-дер-ваальсова теория критической точки В 9 83 уже было отмечено, что критическая точка фазовых переходов между жидкостью и газом является особой точкой для термодинамических функций вещества.
Физическая природа этой особенности подобна природе особенности в точках фазового перехода второго рода: подобно тому, как в последнем случае она связана с возрастанием флуктуаций параметра по- ') Сравнительно простой способ решения втой задачи дан в статье: Н, В. Вдовиченко, ЖЭТФ 48, бзв (!9бб). *) Напомним (см. стр. 827), что в терминах критических индексов логарифмическому возрастанию отвечает нулевой показатель.
550 ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА .ГЛ. ХГК (152,2) Принимая во внимание (152,1), это равенство можно переписать следующим образом: д (д~6'л+ дЕ 6Ч) дЕ (6 д~1 с (6Т) =Ю. ') Как функции переменных Р, Т термодинамические величины имеют при этом особенность в связи с обрагценнем в нуль якобиана преобразования переменных д(Р, Туд(Р', Т). рядка, так при приближении к критической точке возрастают флуктуации плотности вещества.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
