landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Наконец, скажем несколько слов о вычислении последовательных членов разложения статистической суммы (147,5 — 6) по степеням Ь. Пусть А= О, г > О, так что Ч= О; при Ь= О эффективный гамильтониан 524 [гл. х~ч елзовык пнгнходы втогого года легко вычисляется (см. задачу). Дальнейшие члены разложения (отвечающие уже учету «взаимодействия» между флуктуациями с различными [с) представляют собой произведения различных т)и, усредненные по гауссовому распределению [ ч» ехр ( — Оф~(Т,Я.
Для таких интегралов справедлива теорема, согласно которой среднее значение от произведения нескольких т)ь равно сумме произведений попарных средних значений от множителей„выбранных из числа имеющихся всеми возможными способами. Каждое такое среднее есть корреляционная функция флуктуапий (в [с-представлении), и, таким образом, вычисление последовательных членов разложения по [) сводится к вычислению некоторых интегралов от произведений корреляционных функций '). По мере приближения к точке перехода эти интегралы расходятся, но оказывается невозможным выделить среди них какую-либо совокупность «наиболее сильно» расходящихся, которую можно было бы просуммировать').
В описанной постановке задачи подразумевается, что характер особенности не зависит от наличия членов более высоких порядков в разложении эффективного гамильтониана по степеням т). Есть веские основания полагать, что это действительно так, поскольку такие члены приводят к интегралам, расходящимся слабее, чем интегралы, возникающие от члена Задача Найти первую флуктуапионную поправку к теплаемкости в области применимости теории Ландау (А.
П. Лнюкюк, 19бз). Р ею е н не. Произведем вычисления для симметричной фазы в отсутствие поля. В первом приближении эффективный гамильтониан дается выражением (147,7). Вычисление статистического интеграла па формуле (147,5) дает »» ч 1 лт Г У Г У(и(+ай') 2ч~'а~ »= «г и У(мс+йй»)кк «т и ну (йп)з а «а» (интегрирование производится по половине й-пространства, поскольку Чи и Ч не независимы).
Представляя собой малую поправку в потенциале (), зто выражение дает поправку также и к потенциалу Ф. Двуиратиое дифференцирование ») Указанная теорема играет здесь раль, аналогичную рапи теоремы Вика в квантовой элеитродинамике, а отдельные члены ряда могут быть изображены графиками, аналогичными диаграммам Фейнмана. Изложение построен. най таким образом «диаграммной техники» вычисления статистической суммы можно найти в книге: А. 3. Питашииский, В. Л.
Пакравашй, Флуктуацианная теория фазовых переходов, «Наука», 1975. ») Такое выделение оказывается возможным в формальной задаче о фазовом переходе в пространстве четырех измерений (интегралы в этом случае расходятся при ( О лагарифмически). На этом обстоятельстве основан предложенный нильсонам (К. 6. ФЧЬал, 1971) способ оценки критических инденсов: они вычисляются для случая пространства «4 — з измерений» (с малым в), после чего результат экстрапалкруется к а= 1.
4 1481 критические индексы эгаго выражения по 1 дает поправку к теплоемкости Тг)ггвэ йэдй Т,Усгз'э 1 С,— Π— '( 4лэ,) (нт+ййв(э !бпдэГэ )г 1 е Обратим внимание на большой численный коэффициент в знаменателе выражения в правой стороне неравенства. 8 148, Критические индексы Существующая теория фазовых переходов второго рода основана на некоторых хотя и не доказанных строго, но вполне правда- подобных предположениях. Она опирается, конечно, и на подтверждение этих предположений эмпирическими данными, а также результатами численных расчетов на определенных простых моделях. Эти данные дают основание считать, что при Т вЂ” Т, всегда обращается в бесконечность производная дСр/дТ, а во многих случаях †сама теплоемкость Ср.
Уже отсюда можно сделать ряд заключений о поведении некоторых других термодинамических величин. Сделаем это в предположении обращения в бесконечность самой теплоемкости (А. В. Р(ррагс(, 1956). Обращение Ср-- Т (дВ(дТ)р в бесконечность означает, что энтропия тела может быть представлена в виде В=-В(Т, Р— Р,(Т)), (где Р = Р,(Т) †уравнен кривой точек фазового перехода в плоскости Р, Т), причем производная этой функции по ее второму аргументу стремится при Р— Рв О к бесконечности. Обозначив дифференцирование по этому аргументу штрихом и оставляя только расходящиеся члены, имеем откуда С =Т вЂ” '( — ) при Т Т г(го, Г дУ'г Р г(т ( дт) сг (148,1) т.
е. коэффициент теплового расширения обращается в беско- нечность по тому же закону, что и С . Потребовав маяоста этой поправки по сравнению со скачком теплоемкостн (143,В), мы снова придем к условию применимости теории Ландау (146,1б) в виде т,й 526 ФХЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА (гл. х!ч Как легко заметить, произведенный вывод состоит в приравнивании нулю расходящейся части производной от 5 вдоль кривой точек перехода. Естественно поэтому, что формула (148,1) совпадает по форме с равенством (143,10) (полученным путем дифференцирования вдоль той же кривой равенства ЛЯ = О), отличаясь от него лишь отсутствием знака Л. Поэтому еще одно соотношение можно сразу написать по аналогии с (143,9): т.
е. изотермическая сжимаемость тоже обращается в бесконечность (адиабатическая же сжимаеъюсть в силу (16,14) Остается конечной). Что касается теплоемкостн С„то она остается конечной, причем из (143,14) видно, что в точке перехода она не имеет также и скачка: поскольку правая сторона равенства (143,14) равна нулю в виду бесконечности (д)//дР)г, то н /!С, = = 0'). То же самое относится и к производной (дР/дТ)Р, причем подстановка (148,2) в (16,10) показывает, что на,пинии перехода (148,3) Подчеркнем, что изложенные результаты существенно связаны с тем, что точки фазового перехода второго рода заполняют целую линию на плоскости Р, Т (причем наклон этой линии конечен).
Представим температурную зависимость теплоемкости во флуктуацнонной области в виде С счз ((1-" (148,4) (где снова (= Т вЂ” Т,). Мы увидим ниже в этом параграфе, что существуют основания считать значения показателя а одинаковыми по обе стороны точки перехода (и то же самое относится к другим введенным ниже показателям). Коэффициенты же пропорциональности в законе (148,4) с двух сторон, конечно, различны '). х) Невозможность обращения С„в бесконечность на линии перехода очевидна из того, что зто привело бы к равенству С„=Т(б(г,/ПТ)з(дР/д(г)г (ср. (143,14)), заведомо невозможному ввиду положительности С и отрицательности (дР/ог)г. Теплоемкость С„имеет, однако, бесконечную производную на ливии перехода (см.
задачу). з) Поскольку количество тепла ~ Срг(Т во всяком случае должно быть конечным, то заведомо а < 1. Если стремится к бесконечности не сама теплоемкость, в лишь дСР/гуг, то — 1 < сх < О; выражение (!48,4) определяет тогда лишь сингулярную часть теплоемкости: Ср —— Сле+Срх(1(-о. $ 148) 527 ититнчаскиа индкксы Закон стремления к нулю равновесного значения параметра порядка в несимметричной фазе запишем как ) -( — ()Р, 1>0 (148,5) По самому своему определению показатель )) относится только к несимметричной фазе '), Для описания же свойств самих флуктуаций параметра ч) вводятся показатель т, определяющий температурную зависимость корреляционного радиуса: г,счз)1)-ч, т>0 (148,6) и показатель ь, определяющий закон убывании корреляционной функпии с расстоянием при 1=0: 6 (г) счз г-М-з+П, (148,7) где д — размерность пространства (с( = 3 для обычных тел).
Запись (148,7) в таком виде имеет целью дать определение, удобное также и для фазовых переходов второго рода в двумерных системах (0=2). Закон (148,7) относится и к отличным от нуля значениям )11(<Т„но лишь для расстояний г(<г,. Показатели степеней в законах (148,4 — 7) называют криглическими индексами. Следует подчеркнуть, что степень точности, с которой связан дальнейший вывод соотношений между критическими индексами, не позволил бы различать логарифмические множители на фоне степенных.
В этом смысле, например, нулевой показатель может отвечать как стремлению величины к постоянному пределу, так и ее логарифмическому возрастанию. Еще ряд индексов вводится для описания свойств тела во флуктуационной области при наличии внешнего поля )т. При этом следует различать области полей, являющихся «слабымиз или «сильными» в смысле, указанном в конце 8 144: )з(<)з, или )з))йо где Ь,— значение поля, при котором индуцированный полем параметр т)„„, )(й становится того же порядка, что и характерная величина параметра спонтанного порядка Чса(г).
К области слабых полей относится индекс у, определяющий закон изменения восприимчивости: Хс (1! т, у>0. (148,8) 1( этой же области можно отнести и введенные выше индексы: законы (148,4 — 6), определенные для нулевого поля, относятся, конечно, и к предельному случаю слабых полей. Для обратного же случая сильных полей введем критические индексы, определяющие зависимость термодинамических ') Для определенности будем считать здесь и везде ниже, что несиммет.
ричной фазе отвечают температуры 1 < О. 528 1гл. хш ФАЗОВЫК ПВРЯХОДЫ ВТОРОГО РОДА величин и корреляционного радиуса от поля: (148,9) (148,10) (148, 11) й-, т) ь~ Ьые а+2~+у=2 (148,13) (1. )Р'. Еззапт, М. Е, Г~эйег, 1963). Далее воспользуемся очевидным обстоятельством, что на краю области размытости перехода (т. е.
при условии (148,12)) можно с равным правом выражать каждую термодинамическую величину через температуру 1 или через поле Ь. Поэтому, ') Теории Ландау отвечают стедуювтне значения критических нндексов: сс = О, р = !/2, т = 1, 6 = 3, е О, р = 1/3, ч= 1/2, Ь = О. (5>0), г, счз й-в (р > О) (для определенности полагаем, что Ь > О) '). Универсальность предельных законов поведения вещества во флуктуационной области вблизи точки фазового перехода второго рода в том смысле, о котором шла речь в предыдущем параграфе, означает такую же универсальность критических индексов.
Так, следует ожидать, что их значения одинаковы для всех переходов с изменением симметрии, описывающимся всего одним параметром порядка. Критические индексы связаны друг с другом рядом точных соотношений. Часть из них является почти прямым следствием определений различных индексов; с вывода этих соотношений мы и начнем. В 2 144 было указано, что включение внешнего поля й размывает фазовый переход по некоторому температурному интервалу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
