kkvant (1083120), страница 14

Файл №1083120 kkvant (Учебник - Основы квантовой механики) 14 страницаkkvant (1083120) страница 142018-01-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Пусть спектр некоторой динамической переменной A включает дискретныйнабор собственных значений {An } и участок непрерывного спектра в интервале отA до A . Тогда естественное обобщение разложения волновой функции Ψ(t) пособственным функциям переменной A имеет вид (аргумент r опущен)Ψ(t) =nAan (t) ψn +aA (t) ψA dA.(5.65)AЗаписать условие нормировки волновой функции Ψ(t) и выражение для среднегозначения At через амплитуды вероятности an (t) и aA (t). Предполагается, чтодискретные собственные значения An лежат вне интервала A < A < A .6.Примеры стационарных состояний частицыИзложенный выше аппарат квантовой механики является формальной схемой,которую еще нужно научиться применять в конкретных физических задачах.

Вэтом параграфе мы обсудим стационарные состояния частицы, используя простыемодели для потенциальной энергии U (r ).596.1.Частица в одномерной потенциальной ямеПредположим, что частица может двигаться только вдоль прямой, которуюмы примем за ось x системы координат. Кроме того, будем считать, что движениечастицы ограничено непроницаемыми стенками, расположенными в точках x = 0и x = l. Между стенками частица движется свободно. Потенциальная энергиячастицы записывается как0,если 0 < x < l,U (x) =(6.1)∞,если 0 < x, x > l.Говорят, что описанная модель соответствует движению частицы в одномернойпотенциальной яме.Задача состоит в том, чтобы найти спектр значений энергии частицы E и соответствующие собственные функции ψ(x) гамильтониана.

Будем отсчитыватьэнергию E от “дна” потенциальной ямы. Из физических соображений ясно, чтоE ≥ 0. Действительно, внутри ямы частица движется свободно, поэтому ее энергия (кинетическая) должна быть положительной величиной.Прежде всего сформулируем физические требования к собственным функциямгамильтониана в рассматриваемой задаче.

Ясно, что любая собственная функция должна быть равна нулю при 0 < x и x > l, так как в эти области частицапопасть не может. На границах области движения собственная функция должнабыть непрерывна, поэтому возможны только такие собственные функции, которыеудовлетворяют граничным условиямψ(0) = ψ(l) = 0.(6.2)Отметим, что в данном случае мы не можем требовать непрерывности первойпроизводной ψ(x) в точках x = 0 и x = l, так как вне бесконечно глубокой потенциальной ямы само стационарное уравнение Шредингера теряет смысл1 .Для точек, лежащих внутри ямы, стационарное уравнение Шредингера (3.17)имеет вид2d2 ψ(x) 2mE+ 2 ψ(x) = 0.(6.3)dx2Введем положительный параметр√2mEk ≡ k(E) =.(6.4)Тогда уравнение (6.3) можно записать в видеd2 ψ(x)+ k 2 ψ(x) = 0.dx2(6.5)Общее решение этого линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами должно быть хорошо известно читателю из математики:ψ(x) = A sin kx + B cos kx.(6.6)В случае потенциальной ямы со стенками конечной величины первая производнаяволновой функции должна быть непрерывна на границах ямы.2Для одномерного движения оператор ∇2 сводится ко второй производной по x.160Оно содержит две произвольные постоянные A и B, которые из самого уравненияне определяются.

Вспомним, однако, что функция (6.6) должна удовлетворятьграничным условиям (6.2). Из условия в точке x = 0 следует, что B = 0, а условие вточке x = l дает A sin kl = 0. Так как A = 0 (иначе все функции (6.6) тождественноравны нулю), приходим к выводу, что(6.7)sin kl = 0.Отсюда находим возможные значения параметра k в собственной функции (6.6):k = kn =πn,l(6.8)n = 1, 2, . . .Согласно формуле (6.4), значения энергии частицы или, как часто говорят, уровниэнергии образуют дискретный спектрπ 2 2 2n,2ml2En =n = 1, 2, .

. .(6.9)и нумеруются целым квантовым числом n. Отметим, что квантование энергии частицы возникло благодаря граничным условиям для волновой функции. В дальнейшем мы увидим, что это — общее явление в квантовой механике.Поскольку спектр энергии (6.9) дискретный, собственные функции можно нормировать на единицу. Для краткости функцию, соответствующую энергии En ,обозначим(6.10)ψn (x) = An sin kn x.В принципе, нормировочная постоянная An может зависеть от n, поэтому мы ееснабдили индексом. Вычислим интеграл от |ψn |2 по всей возможной области движения, т.

е. на интервале 0 < x < l. Запишемl|ψn (x)|2 dx = |An |2l001sin2 kn x dx = |An |22l(1 − cos 2kn x) dx.0Легко убедиться, что интеграл от косинуса в последнем выражении равен нулюблагодаря условию (6.8). Поэтомуl|ψn (x)|2 dx =01|An |2 l .2Приравнивая это выражениеединице и выбирая для An действительное значение,находим, что An = 2/l.

Таким образом, постоянная An не зависит от номераn. Окончательно, нормированные на единицу собственные функции энергии водномерной потенциальной яме даются формулойψn (x) = πnx 2sin.ll(6.11)61Функции с разными номерами n и m соответствуют разным собственным значениям энергии, поэтому они ортогональны друг к другу (см. раздел 5.3.). Таккак в данном случае собственные функции действительны и движение частицыодномерное, свойство ортогональности (5.6) записывается в видеlψm (x) ψn (x) dx = 0, если m = n.(6.12)0Это свойство можно проверить и прямым вычислением интеграла, используя явноевыражение (6.11) для собственных функций энергии.Напомним читателю, что собственные функции гамильтониана (6.11) не совпадают с полными волновыми функциями стационарных состояний, которые зависятот времени согласно формуле (3.14). Стационарные состояния частицы в потенциальной яме описываются волновыми функциямиiΨn (x, t) = ψn (x) exp − En t .(6.13)Впрочем, если частица находится в стационарном состоянии с номером n, то длявычисления средних значений физических величин наличие зависящего от временимножителя в (6.13) несущественно, так как он исчезает во всех формулах.

В самомделе, если Â — оператор некоторой физической величины, тоlA =Ψ∗n (x, t)ÂΨn (x, t) dx =0lψn (x)Â ψn (x) dx.(6.14)0Таким образом, роль волновой функции играет собственная функция гамильтониана ψn и все средние не зависят от времени. Роль временно́го множителя в волновыхфункциях (6.13) важна в тех случаях, когда частица находится в нестационарномсостоянии, которое описывается, например, суперпозициейΨ(x, t) =nгдеan Ψn (x, t) =an (t)ψn (x),(6.15)nian (t) = an exp − En t .(6.16)Согласно постулату, приведенному в разделе 5.4., волновую функцию любогосостояния частицы в одномерной потенциальной яме можно представить в видеряда (6.15), так как {ψn (x)} образуют ортонормированную систему собственныхфункций динамической переменной, в данном случае — энергии частицы. Обратимвнимание на то, что при разложении волновой функции в ряд по собственнымфункциям гамильтониана зависимость от времени амплитуд (6.16) очень проста:они периодически изменяются со временем с частотами ωn = En /.62Потенциальная яма, для которой функция U (x) имеет вид (6.1), является “бесконечно глубокой”; при любом значении энергии частица не может оказаться внеямы.

Более реалистичная модель — яма конечной глубины:0,если 0 < x < l,U (x) =(6.17)U0 ,если 0 < x, x > l.Анализ стационарного уравнения Шредингера для этого случая приводится, например, в учебнике [2] (§ 25). Мы перечислим основные результаты этого анализа.Если E > U0 , то спектр энергии непрерывный (т. е. квантование энергии отсутствует). Уровни энергии двукратно вырождены.

Каждому значению энергии соответствуют две волновые функции, которые вдали от ямы имеют видix ψ± (x) ∼ exp ±2m(E − U0 ) .(6.18)Волновая функция ψ+ описывает движение частицы в положительном направлении оси x с импульсом p =2m(E − U0 ), а функция ψ− описывает движениечастицы в противоположном направлении.Если E < U0 , то энергия частицы квантуется, а волновые функции стационарных состояний быстро убывают при удалении от стенок ямы. В отличие отбесконечно глубокой потенциальной ямы, число уровней энергии в яме конечнойглубины всегда конечно1 .6.2.Частица в трехмерной потенциальной ямеСледующая модель иллюстрирует ситуацию, когда частица совершает трехмерное движение в ограниченной области пространства.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,51 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Учебник - Основы квантовой механики
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее