kkvant (1083120), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Пусть спектр некоторой динамической переменной A включает дискретныйнабор собственных значений {An } и участок непрерывного спектра в интервале отA до A . Тогда естественное обобщение разложения волновой функции Ψ(t) пособственным функциям переменной A имеет вид (аргумент r опущен)Ψ(t) =nAan (t) ψn +aA (t) ψA dA.(5.65)AЗаписать условие нормировки волновой функции Ψ(t) и выражение для среднегозначения At через амплитуды вероятности an (t) и aA (t). Предполагается, чтодискретные собственные значения An лежат вне интервала A < A < A .6.Примеры стационарных состояний частицыИзложенный выше аппарат квантовой механики является формальной схемой,которую еще нужно научиться применять в конкретных физических задачах.
Вэтом параграфе мы обсудим стационарные состояния частицы, используя простыемодели для потенциальной энергии U (r ).596.1.Частица в одномерной потенциальной ямеПредположим, что частица может двигаться только вдоль прямой, которуюмы примем за ось x системы координат. Кроме того, будем считать, что движениечастицы ограничено непроницаемыми стенками, расположенными в точках x = 0и x = l. Между стенками частица движется свободно. Потенциальная энергиячастицы записывается как0,если 0 < x < l,U (x) =(6.1)∞,если 0 < x, x > l.Говорят, что описанная модель соответствует движению частицы в одномернойпотенциальной яме.Задача состоит в том, чтобы найти спектр значений энергии частицы E и соответствующие собственные функции ψ(x) гамильтониана.
Будем отсчитыватьэнергию E от “дна” потенциальной ямы. Из физических соображений ясно, чтоE ≥ 0. Действительно, внутри ямы частица движется свободно, поэтому ее энергия (кинетическая) должна быть положительной величиной.Прежде всего сформулируем физические требования к собственным функциямгамильтониана в рассматриваемой задаче.
Ясно, что любая собственная функция должна быть равна нулю при 0 < x и x > l, так как в эти области частицапопасть не может. На границах области движения собственная функция должнабыть непрерывна, поэтому возможны только такие собственные функции, которыеудовлетворяют граничным условиямψ(0) = ψ(l) = 0.(6.2)Отметим, что в данном случае мы не можем требовать непрерывности первойпроизводной ψ(x) в точках x = 0 и x = l, так как вне бесконечно глубокой потенциальной ямы само стационарное уравнение Шредингера теряет смысл1 .Для точек, лежащих внутри ямы, стационарное уравнение Шредингера (3.17)имеет вид2d2 ψ(x) 2mE+ 2 ψ(x) = 0.(6.3)dx2Введем положительный параметр√2mEk ≡ k(E) =.(6.4)Тогда уравнение (6.3) можно записать в видеd2 ψ(x)+ k 2 ψ(x) = 0.dx2(6.5)Общее решение этого линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами должно быть хорошо известно читателю из математики:ψ(x) = A sin kx + B cos kx.(6.6)В случае потенциальной ямы со стенками конечной величины первая производнаяволновой функции должна быть непрерывна на границах ямы.2Для одномерного движения оператор ∇2 сводится ко второй производной по x.160Оно содержит две произвольные постоянные A и B, которые из самого уравненияне определяются.
Вспомним, однако, что функция (6.6) должна удовлетворятьграничным условиям (6.2). Из условия в точке x = 0 следует, что B = 0, а условие вточке x = l дает A sin kl = 0. Так как A = 0 (иначе все функции (6.6) тождественноравны нулю), приходим к выводу, что(6.7)sin kl = 0.Отсюда находим возможные значения параметра k в собственной функции (6.6):k = kn =πn,l(6.8)n = 1, 2, . . .Согласно формуле (6.4), значения энергии частицы или, как часто говорят, уровниэнергии образуют дискретный спектрπ 2 2 2n,2ml2En =n = 1, 2, .
. .(6.9)и нумеруются целым квантовым числом n. Отметим, что квантование энергии частицы возникло благодаря граничным условиям для волновой функции. В дальнейшем мы увидим, что это — общее явление в квантовой механике.Поскольку спектр энергии (6.9) дискретный, собственные функции можно нормировать на единицу. Для краткости функцию, соответствующую энергии En ,обозначим(6.10)ψn (x) = An sin kn x.В принципе, нормировочная постоянная An может зависеть от n, поэтому мы ееснабдили индексом. Вычислим интеграл от |ψn |2 по всей возможной области движения, т.
е. на интервале 0 < x < l. Запишемl|ψn (x)|2 dx = |An |2l001sin2 kn x dx = |An |22l(1 − cos 2kn x) dx.0Легко убедиться, что интеграл от косинуса в последнем выражении равен нулюблагодаря условию (6.8). Поэтомуl|ψn (x)|2 dx =01|An |2 l .2Приравнивая это выражениеединице и выбирая для An действительное значение,находим, что An = 2/l.
Таким образом, постоянная An не зависит от номераn. Окончательно, нормированные на единицу собственные функции энергии водномерной потенциальной яме даются формулойψn (x) = πnx 2sin.ll(6.11)61Функции с разными номерами n и m соответствуют разным собственным значениям энергии, поэтому они ортогональны друг к другу (см. раздел 5.3.). Таккак в данном случае собственные функции действительны и движение частицыодномерное, свойство ортогональности (5.6) записывается в видеlψm (x) ψn (x) dx = 0, если m = n.(6.12)0Это свойство можно проверить и прямым вычислением интеграла, используя явноевыражение (6.11) для собственных функций энергии.Напомним читателю, что собственные функции гамильтониана (6.11) не совпадают с полными волновыми функциями стационарных состояний, которые зависятот времени согласно формуле (3.14). Стационарные состояния частицы в потенциальной яме описываются волновыми функциямиiΨn (x, t) = ψn (x) exp − En t .(6.13)Впрочем, если частица находится в стационарном состоянии с номером n, то длявычисления средних значений физических величин наличие зависящего от временимножителя в (6.13) несущественно, так как он исчезает во всех формулах.
В самомделе, если Â — оператор некоторой физической величины, тоlA =Ψ∗n (x, t)ÂΨn (x, t) dx =0lψn (x)Â ψn (x) dx.(6.14)0Таким образом, роль волновой функции играет собственная функция гамильтониана ψn и все средние не зависят от времени. Роль временно́го множителя в волновыхфункциях (6.13) важна в тех случаях, когда частица находится в нестационарномсостоянии, которое описывается, например, суперпозициейΨ(x, t) =nгдеan Ψn (x, t) =an (t)ψn (x),(6.15)nian (t) = an exp − En t .(6.16)Согласно постулату, приведенному в разделе 5.4., волновую функцию любогосостояния частицы в одномерной потенциальной яме можно представить в видеряда (6.15), так как {ψn (x)} образуют ортонормированную систему собственныхфункций динамической переменной, в данном случае — энергии частицы. Обратимвнимание на то, что при разложении волновой функции в ряд по собственнымфункциям гамильтониана зависимость от времени амплитуд (6.16) очень проста:они периодически изменяются со временем с частотами ωn = En /.62Потенциальная яма, для которой функция U (x) имеет вид (6.1), является “бесконечно глубокой”; при любом значении энергии частица не может оказаться внеямы.
Более реалистичная модель — яма конечной глубины:0,если 0 < x < l,U (x) =(6.17)U0 ,если 0 < x, x > l.Анализ стационарного уравнения Шредингера для этого случая приводится, например, в учебнике [2] (§ 25). Мы перечислим основные результаты этого анализа.Если E > U0 , то спектр энергии непрерывный (т. е. квантование энергии отсутствует). Уровни энергии двукратно вырождены.
Каждому значению энергии соответствуют две волновые функции, которые вдали от ямы имеют видix ψ± (x) ∼ exp ±2m(E − U0 ) .(6.18)Волновая функция ψ+ описывает движение частицы в положительном направлении оси x с импульсом p =2m(E − U0 ), а функция ψ− описывает движениечастицы в противоположном направлении.Если E < U0 , то энергия частицы квантуется, а волновые функции стационарных состояний быстро убывают при удалении от стенок ямы. В отличие отбесконечно глубокой потенциальной ямы, число уровней энергии в яме конечнойглубины всегда конечно1 .6.2.Частица в трехмерной потенциальной ямеСледующая модель иллюстрирует ситуацию, когда частица совершает трехмерное движение в ограниченной области пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
