kkvant (1083120), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В произвольном квантовом состоянии Ψ измерения могут давать любые возможные значения физической величины, поэтому в общем случаесуперпозиция (5.16) включает все собственные функции ψn . Обобщая приведенные выше соображения, можно сформулировать один из важнейших постулатовквантовой механики1 :• Произвольная волновая функция частицы Ψ(r, t) может быть представленав виде рядаΨ(r, t) =an (t) ψn (r ),(5.17)nгде ψn — собственные функции любой динамической переменной A, а коэффициенты an (t) — комплексные величины, которые могут зависеть от времени.Формула (5.17) выглядит очень привлекательной. В самом деле, решив задачу насобственные функции некоторой физической величины, мы можем описывать изменение любого квантового состояния с помощью функций an (t), зависящих лишьот одной переменной, — времени.
Эта возможность широко используется. Именно благодаря ей решение многих задач в квантовой механике оказывается гораздоболее простым, чем в классической механике. Дело в том, что довольно часто извсего ряда (5.17) можно оставить лишь несколько “главных” членов и пренебречьостальными, вклад которых мал по тем или иным физическим причинам. Тогдаквантовое состояние будет описываться всего несколькими функциями an (t). Вдальнейшем будет показано, как из уравнения Шредингера можно вывести дляэтих функций относительно простую систему линейных уравнений.Предположим, что волновая функция представлена в виде ряда (5.17), и выясним физический смысл коэффициентов разложения an (t).
Вычислим сначалаинтеграл от квадрата модуля |Ψ|2 , используя (5.17) (аргумент t опускаем для краткости):a∗m an ψm |ψn .Ψ|Ψ =mnСогласно (5.10) и (5.15), из этого равенства следует, что|an (t)|2 = 1.(5.18)nЗдесь мы приводим этот постулат в применении к одной частице, однако он справедлив и для квантовых состояний многочастичных систем.148Теперь вычислим среднее значение физической величины A в состоянии (5.17).Поскольку оператор  (как и оператор любой физической величины) линейный и,кроме того, ψn — его собственные функции, находим, чтоÂΨ =an Âψn =an An ψn .nnИспользуя теперь общее правило для вычисления средних значений, запишемa∗m an An ψm |ψn =An |an |2 .A = Ψ∗ ÂΨ dV =mnМы приходим к формуле (восстанавливая аргумент t)At =An |an (t)|2 .(5.19)nЧтобы осмыслить равенства (5.18) и (5.19), предположим сначала, что все собственные значения An не вырождены, и вспомним некоторые сведения из теориивероятностей.
Пусть многократные измерении физической величины A в состоянии Ψ в момент времени t дают значения An с вероятностями wn (t). Сумма этихвероятностей равна единице1 . Кроме того, арифметическое среднее из большогочисла измерений случайной величины равно сумме всех ее возможных значенийна соответствующие вероятности. Поэтомуwn (t) = 1,At =An wn (t).nnСравнивая эти равенства с (5.18) и (5.19), мы видим, что• Квадрат модуля |an (t)|2 коэффициента an (t) в разложении (5.17) волновойфункции по ортонормированной системе собственных функций физическойвеличины A с невырожденными собственными значениями есть вероятностьтого, что измерение этой физической величины в момент t даст значение An .В квантовой механике коэффициенты an (t) обычно называют амплитудами вероятности для состояния Ψ(t).На амплитуды вероятности an (t) можно взглянуть с другой точки зрения:• Квадрат модуля |an (t)|2 коэффициента an (t) в разложении (5.17) волновойфункции по ортонормированной системе собственных функций физическойвеличины A есть вероятность того, что в момент t частица находится в квантовом состоянии ψn .Отметим, что последнее утверждение справедливо и в случае, когда некоторыесобственные значения вырождены (доказательство оставляем читателю).Сумма всех wn есть вероятность достоверного события — получения какого-нибудьзначения физической величины A.149Для того, чтобы использовать разложение волновой функции (5.17) в конкретных задачах, нужно уметь вычислять амплитуды вероятности an (t) для произвольной волновой функции Ψ.
Покажем, что это не сложнее, чем вычислять интегралы.∗Итак, пусть Ψ известна. Умножим слева обе части равенства (5.17) на ψm(m —произвольный фиксированный индекс) и проинтегрируем по всей области движения частицы. Используя обозначение (5.9) для скалярного произведения функций,запишемan ψm |ψn .ψm |Ψ =nТак как система функций {ψn } ортонормирована, то в правой части останетсятолько один член с m = n. Поэтому мы приходим к правилуam (t) = ψm |Ψ(t) ≡∗ψm(r )Ψ(r, t) dV .(5.20)С его помощью разложение (5.17) волновой функции можно записать в таком виде:Ψ(r, t) =ψn (r ) ψn |Ψ(t).(5.21)n5.5.Собственные функции нескольких динамическихпеременныхРассмотрим следующий вопрос: могут ли две динамические переменные иметьобщие собственные функции? На физическом языке вопрос звучит так: существуют ли такие квантовые состояния, в которых динамические переменные A и Bодновременно имеют точные значения? Покажем, что необходимым условием дляэтого является требование, чтобы операторы Â и B̂ коммутировали друг с другом.Итак, пусть ψnk одновременно является собственной функцией динамическихпеременных A и B, т.
е. выполняются равенстваÂψnk = An ψnk ,(5.22)B̂ψnk = Bk ψnk ,(5.23)Подействуем на обе части (5.22) оператором B̂, на обе части (5.23) — операторомÂ, а затем вычтем первое полученное равенство из второго. В результате получимÂB̂ − B̂  ψnk = 0.Отсюда, правда, еще нельзя сделать вывод, что операторы  и B̂ обязаны коммутировать, так как ψnk не является произвольной волновой функцией. Вспомним.однако, что любую волновую функцию можно представить в виде ряда по собственным функциям [формула (5.17)]. В данном случае в качестве системы функцийвозьмем {ψnk }.
ТогдаÂB̂ − B̂ Â Ψ =ank ÂB̂ − B̂  ψnk = 0,n,k50что и требовалось доказать. Итак, если две физические величины имеют общиесобственные функции, то их операторы коммутируют. Можно доказать и обратноеутверждение1 : если операторы физических величин коммутируют, то эти физические величины имеют общую систему собственных функций. Сформулируем итогнаших рассуждений:• Необходимым и достаточным условием того, что две физические величины Aи B имеют общую систему собственных функций, является равенство нулюкоммутатора [Â, B̂].Если мы рассмотрим несколько физических величин A1 , A2 , . . ., то нетрудно сообразить, что они имеют общую систему собственных функций, если для любой парыоператоров [Âi , Âj ] = 0.
Из этого утверждения можно извлечь ряд полезных и важных физических следствий. Вот одно из них. Мы уже отмечали, что собственныефункции гамильтониана Ĥ описывают стационарные состояния частицы. Если вконкретной задаче найдется динамическая переменная A, для которой [Â, Ĥ] = 0,то волновые функции стационарных состояний ψnk можно выбрать такими, чтоони одновременно будут являться и собственными функциями Â.
Итак, если {Ak }— собственные значения динамической переменной A, то выполняются равенстваĤψnk = En ψnk ,Âψnk = Ak ψnk ,(5.24)где En — уровни энергии. Может случиться так, что нескольким различным индексам k 1 , k2 , . . . соответствует одно и то же значение энергии. Тогда уровень энергиибудет вырожденным, поскольку ему соответствуют несколько линейно независимых собственных функций ψnk1 , ψnk2 , . . ., т. е. несколько различных квантовыхсостояний. Между прочим, наличие динамических переменных, операторы которых коммутируют с гамильтонианом, является типичной причиной вырожденияуровней энергии квантовых систем.5.6.Непрерывный спектр значений физических величин.Дельта-функция ДиракаДо сих пор всюду предполагалось, что собственные значения образуют дискретный спектр.
Однако для многих физических величин это не так и их собственныезначения (т. е. возможные результаты измерения) непрерывно заполняют некоторый интервал. Собственные функции ψA (r ) такой величины нумеруются непрерывным индексом A, который совпадает с собственным значением физической величины. Переход во всех соотношениях от дискретного спектра к непрерывномуозначает фактически переход от суммирования по дискретному индексу n, который нумеровал собственные значения An , к интегрированию по непрерывной переменной A. В частности, разложение (5.17) произвольной волновой функции пособственным функциям физической величины принимает такой вид:Ψ(r, t) =1aA (t) ψA (r ) dA.Его доказательство несколько сложнее и мы его опустим.(5.25)51Было бы желательно сохранить вероятностный смысл амплитуд aA (t).
Посколькутеперь A — непрерывная случайная величина, потребуем, чтобы |aA (t)|2 dA имелосмысл вероятности dwA (t) того, что измерение в момент времени t даст значениефизической величины, лежащее в бесконечно малом интервале от A до A + dA.Тогда для амплитуд aA (t) должны выполняться равенства2|aA (t)| dA = 1,tA =A |aA (t)|2 dA.(5.26)Заметим, что при выводе условия (5.6) ортогональности собственных функций,соответствующих различным значениям физической величины, мы нигде не использовали то, что спектр дискретный.
Поэтому и в случае непрерывного спектравыполняется условиеψA∗ ψA dV = 0, если A = A .(5.27)В случае дискретного спектра мы имели также формулу (5.20) для амплитуд вероятности. Естественное обобщение этой формулы на непрерывный спектр гласитaA (t) = ψA |Ψ(t) ≡ψA∗ (r )Ψ(r, t) dV.(5.28)С точки зрения вероятностной интерпретации измерений в квантовой механикеприведенные выше требования выглядят вполне разумными. Здесь, однако, возникает проблема с нормировкой собственных функций.
Покажем, что теперь мыне можем требовать, чтобы интеграл от |ψA |2 по всей области движения частицыбыл равен единице.Подстановка разложения (5.25) в формулу (5.28) дает∗∗aA ψA dA dV = aAψA ψA dV dA .(5.29)aA = ψAВнутренний интеграл по пространству в последнем выражении есть функция отA и A .
Фактически он зависит только от разности A − A, поскольку равен нулю,если A = A [см. (5.27)], и пока неизвестен лишь для A = A . ОбозначимψA∗ ψA dV = δ(A − A).(5.30)Из (5.29) следует, что введенная нами функция δ(A − A ) должна обладать свойством(5.31)aA = aA δ(A − A) dA .Кроме того, согласно (5.27), мы имеем условие δ(A − A) = 0, если A = A . Таккак левая и правая части (5.31) должны совпадать, получается, что δ(A − A)отлична от нуля только при A = A, причем ее интеграл с непрерывной функциейaA “вырезает” значение aA . Ни одна из функций, которые встречаются в обычноманализе, не обладает такими свойствами.52Поль Дирак предложил рассматривать функцию δ(x − x0 ) как предел (приk → ∞) функций δk (x − x0 ), которые отличны от нуля (например, постоянны)в малой окрестности фиксированной точки x0 , причем с ростом k размер этойокрестности стремится к нулю, а значения δk растут так, чтобы площадь под графиком оставалась равной единице (см.
Рис. 5.1.). Тогда, если f (x) является гладкой функцией в окрестности точки x0 , получаем+∞limf (x) δk (x − x0 ) dx = f (x0 ).k→∞−∞Функция δ(x) теперь называетсядельта-функцией Дирака. Она является примером обобщенной функции,которая определяется ее интегралами собычными гладкими функциями. Самизначения обобщенной функции в отдельных точках часто не имеют смысла.Математики долгое время критиковали физиков за то, что они используюттакие “патологические” функции, какдельта-функция. Однако в 1940-е годыЛ.С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
