kkvant (1083120), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Заглавной буквой Ψ будут обозначаться волновые функции частицы,зависящие от времени и удовлетворяющие уравнению Шредингера (3.3).• Покажем, что собственные функции любой физической величины находятсякак решения уравненияÂψ = Aψ ,(5.1)где A — постоянная. Собственные значения An физической величины естьте значения постоянной A, при которых уравнение (5.1) имеет решения ψn ,удовлетворяющие требуемым условиям1 .Предположим, что ψn = ψn (r ) является решением уравнения (5.1), т. е.Âψn = An ψn .(5.2)Предположим также, что ψn нормирована на единицу [см. (2.25)]. Вычислим среднее значение физической величины в этом состоянии:∗A = ψn  ψn dV = An ψn∗ ψn dV = An .Мы видим, что A = An .
Это, однако, еще не означает, что в состоянии ψn многократные измерения будут всегда давать значение An . Нужно также убедиться, чтоквантовая неопределенность данной физической величины в состоянии ψn равнанулю. Вспоминая формулу (4.21), запишем2∗ 222(∆A) = ψn  ψn dV − A = An |ψn |2 dV − A2n = 0.Собственные функции должны быть непрерывными и однозначными.
Для некоторых динамических переменных собственные функции должны быть периодическими. Вдругих случаях необходимо потребовать, чтобы любая собственная функция стремиласьк нулю на бесконечности. Подчеркнем, что дополнительные условия, которым должны удовлетворять собственные функции, формулируются, исходя из физического смысладинамической переменной.143Мы доказали, что если волновая функция ψn удовлетворяет уравнению (5.2), то вэтом состоянии физическая величина A имеет определенное значение An . Можнодоказать и обратное утверждение: если физическая величина в состоянии с волновой функцией ψn имеет определенное значение An , то эта волновая функцияудовлетворяет уравнению (5.2). Предлагаем читателю попытаться самостоятельнопостроить соответствующее доказательство.Итак, спектр любой динамической переменной Â и собственные волновые функции можно найти, решив уравнение (5.1), которое, таким образом, играет исключительно важную роль в квантовой механике.Из приведенных выше рассуждений следуют важные выводы, относящиеся кстационарным состояниям частицы и уравнению Шредингера (3.15) для этих состояний:• В стационарном состоянии энергия имеет точное значение E.• Собственные значения гамильтониана Ĥ образуют спектр значений энергиичастицы в заданном внешнем поле U (r ).В самом деле, стационарное уравнение Шредингера (3.15) есть частный случайобщего уравнения (5.1) для собственных функций.
Роль оператора Â играет гамильтониан Ĥ — оператор энергии.5.3.Свойства собственных функций и собственных значенийСобственные функции и собственные значения физических величин обладаютрядом свойств, которые необходимо учитывать при использовании аппарата квантовой механики в конкретных задачах. Начнем с почти очевидного, но важногосвойства собственных значений:• Все собственные значения физических величин — действительные числа.Это свойство непосредственно следует из доказанного нами утверждения, что всостоянии ψn среднее значение физической величины равно An . Действительно,на стр. 31 мы показали, что среднее значение A всегда является действительнымчислом, если оператор Â эрмитовый, а все операторы физических величин обязаныбыть эрмитовыми.Предположим теперь, что собственные волновые функции ψm и ψn физическойвеличины A соответствуют двум различным собственным значениям Am и An .
Этиволновые функции удовлетворяют уравнениям ψm = Am ψm , ψn = An ψn .(5.3)∗Умножим первое уравнение слева на ψn∗ , а второе — на ψm. После этого проинтегрируем оба уравнения по всей области V , где может быть обнаружена частица.В результате получим∗ψn  ψm dV = Am ψn∗ ψm dV,(5.4)∗ ψnψmdV = An∗ψn dV.ψm(5.5)44В обеих частях последнего равенства заменим i на −i, т. е. перейдем к комплексносопряженному равенству. Учтем при этом, что An — действительное число, ивоспользуемся равенством (4.6). Поскольку оператор  эрмитовый (напомним, чтоон соответствует физической величине), т. е.
† = Â, то после всех преобразованийравенство (5.5) превращается в∗ψn  ψm dV = An ψn∗ ψm dV.Наконец, вычитая это равенство из (5.4), находим, что(Am − An ) ψn∗ ψm dV = 0.Мы предположили, что Am = An , следовательноψn∗ ψm dV = 0,если Am = An .(5.6)Это свойство собственных функций физических величин играет важную роль вквантовой механике, поэтому обсудим его подробнее. В математике интеграл видаF1∗ F2 dV(5.7)называется скалярным произведением функций F1 и F2 .
На первый взглядтакое название кажется несколько странным1 , однако оно вводится не случайно.Дело в том, что в некотором смысле множество функций F (x, y, z) можно рассматривать как бесконечномерное векторное пространство. Значение функции в каждой точке является аналогом проекции вектора. Подобно тому, как сумма обычных B имеет проекции, равные сумме проекций слагаемых, элемент функвекторов A+ционального пространства F1 + F2 является функцией, значение которой в каждойточке равно сумме значений F1 и F2 .
Интересно, что для функций выполняются всеаксиомы векторной алгебры, если подходящим образом определить понятия, введенные для обычных векторов. В частности, выражение (5.7) является естествен ·B = Ax Bx + Ay By + Az Bz .ным обобщением скалярного произведения векторов AТо, что в скалярном произведении функций (5.7) одна из них берется комплексносопряженной, необходимо для того, чтобы величина∗F = F F dV = |F |2 dV,(5.8)которая называется нормой функции и является аналогом квадрата модуля вектора, была действительной и положительной. В квантовой механике для описаниясостояний используется векторное пространство волновых функций, норма которых равна единице [см.
(2.25)].В элементарной математике скалярное произведение вводится для векторов в обычном пространстве. Там оно имеет простой геометрический смысл.145В дальнейшем будет удобно использовать принятое в квантовой механике сокращенное обозначение для скалярного произведения функций:F1 |F2 ≡F1∗ F2 dV .(5.9)В новых обозначениях условие нормировки волновой функции имеет видΨ|Ψ = 1 .(5.10)Приведем также простые, но важные свойства скалярного произведения функций, проверку которых оставляем читателю:F1 |F2 ∗ = F2 |F1 ,(5.11)c1 F1 + c2 F2 |F = c∗1 F1 |F + c∗2 F2 |F ,(5.12)F |c1 F1 + c2 F2 = c1 F |F1 + c2 F |F2 .(5.13)Здесь c1 и c2 — произвольные комплексные числа.Аналогия между векторами и квантовыми состояниями оказалась весьма плодотворной. На ее основе Поль Дирак в 1930 году построил наиболее красивый имощный математический аппарат квантовой механики.
В дальнейшем некоторыеосновные элементы этого аппарата нам придется использовать, так как квантовыесостояния не всегда можно задать волновыми функциями1 , в то время как методДирака работает при любом описании квантовых состояний.Вернемся к свойству (5.6) собственных функций любой физической величины.В векторной алгебре равенство нулю скалярного произведения векторов означает,что эти векторы ортогональны друг к другу.
Следуя аналогии между пространством обычных векторов и пространством волновых функций, результат (5.6) можно сформулировать так:• Собственные функции, которые относятся к различным собственным значениям физической величины, ортогональны друг к другу.Уравнение (5.1) для собственных функций некоторой физической величины может иметь несколько независимых решений для одного и того же собственногозначения. В таких случаях говорят, что собственное значение вырождено.• Число линейно независимых собственных функций, соответствующих одномуи тому же собственному значению, называется кратностью вырожденияэтого собственного значения.Если собственное значение вырождено, то соответствующие ему линейно независимые собственные функции, которые находятся при явном решении уравнения (5.1),не обязательно ортогональны друг к другу.
Однако всегда можно составить такиелинейные комбинации этих функций, которые уже будут взаимно ортогональны.Например, квантовое состояние фотона невозможно описать с помощью волновойфункции.146Пусть, например, собственному значению An соответствуют K линейно независимых нормированных (но не обязательно взаимно ортогональных) собственныхфункций ϕnα , α = 1, 2, . . . , K.
Покажем, как можно построить из них K взаимноортогональных функций ψnα . Рассмотрим две функцииψn1 = ϕn1 ,ψn2 = C (ϕn2 − a ψn1 ) ,(5.14)где C и a — пока неизвестные комплексные числа. Потребуем, чтобы выполнялосьравенство ψn1 |ψn2 = 0. Пишемψn1 |ψn2 = Cϕn1 |ϕn2 − a ϕn1 = C ϕn1 |ϕn2 − a = 0 .Отсюда находимa = ϕn1 |ϕn2 .При таком выборе a волновые функции (5.14) ортогональны друг к другу. Постоянную C найдем из условия, чтобы волновая функция ψn2 была нормирована наединицу. Вычисляя ψn2 |ψn2 с учетом свойств (5.11) – (5.13) скалярного произведения, получим1.C=1 − |a|2Теперь идея построения следующей волновой функции ψn3 понятна. Ищем ее ввидеψn3 = C (ϕn3 − a1 ψn1 − a2 ψn2 ) .Коэффициенты a1 и a2 находятся из условий, чтобы ψn3 была ортогональна ψn1и ψn2 , а постоянная C находится из условия нормировки.
Процедура “ортогонализации” продолжается до тех пор, пока не получится набор ортонормированныхфункций {ψnα }.В дальнейшем мы часто будем предполагать, что такая операция проведена длякаждого вырожденного собственного значения и, следовательно, все собственныефункции физической величины ортогональны друг к другу1 .5.4.Разложение волновых функций по собственнымфункциям динамических переменныхРассмотрим еще одно важное свойство собственных функций физических величин.
Пусть {ψn } — совокупность всех собственных функций некоторой физической величины A. Как и раньше, будем предполагать, что собственные значенияэтой величины An образует дискретный спектр. Мы можем также считать, чтофункции {ψn } образуют ортонормированную систему функций:ψm |ψn = δmnортонормированная система функций.(5.15)Здесь δmn — так называемый символ Кронекера: δmn = 1, если m = n, и δmn = 0,если m = n.Отметим, что выбор взаимно ортогональных волновых функций, относящихся к вырожденному собственному значению, неоднозначен (см.
упражнение 5.2.).147Как известно, в собственном состоянии ψn физическая величина имеет точноопределенное значение An . Если же состояние частицы описывается линейнойкомбинацией (суперпозицией) состоянийΨ = a1 ψ1 + a2 ψ2 + . . . + aj ψj + . . . ,(5.16)то многократные измерения физической величины A будут давать различные собственные значения An с некоторыми вероятностями, причем будут появлятьсятолько те значения, которые соответствуют волновым функциям ψn , входящимв выражение (5.16).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
