kkvant (1083120), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Предположим, что частицасвободно движется внутри параллелепипеда со сторонами l1 , l2 , l3 . Удобно выбратьсистему координат так, чтобы стороны параллелепипеда были направлены вдольосей x, y, z. Если стенки непроницаемы, то частица находится в “бесконечно глубокой” трехмерной потенциальной яме. Потенциальная энергия U (x, y, z) равна нулюпри 0 < x < l1 , 0 < y < l2 , 0 < z < l3 и равна бесконечности вне параллелепипеда.Найдем собственные функции и собственные значения гамильтониана (т.
е.спектр энергии частицы) в “бесконечно глубокой” трехмерной потенциальной яме.Стационарное уравнение Шредингера (3.17) внутри ямы записывается в виде 2∂2m∂2∂2+ 2 + 2 ψ(x, y, z) + 2 E ψ(x, y, z) = 0.(6.19)2∂x∂y∂zЭто уравнение допускает разделение переменных. Предположим, что собственнаяфункция ψ может быть записана как произведениеψ(x, y, z) = φ1 (x)φ2 (y)φ3 (z).(6.20)Подставив это выражение в (6.19) и затем поделив уравнение на ψ, получаем1 d2 φ2 (y)1 d2 φ3 (z) 2m1 d2 φ1 (x)+++ 2 E = 0.φ1 (x) dx2φ2 (y) dy 2φ3 (z) dz 2(6.21)Можно доказать, что в любой одномерной потенциальной яме имеется, по крайнеймере, один уровень энергии.163Это уравнение будет справедливо при любых x, y, z, только если каждый из первыхтрех членов будет равен некоторой постоянной1 .
Таким образом, (6.21) разбиваетсяна три независимых уравненияd2 φ1 (x) 2m (1)+ 2 E φ1 (x) = 0,dx2d2 φ2 (y) 2m (2)+ 2 E φ2 (y) = 0,dy 2(6.22)d2 φ3 (z) 2m (3)+ 2 E φ3 (z) = 0,dz 2причем постоянные E1 , E2 , E3 связаны с E следующим соотношением:E = E (1) + E (2) + E (3) .(6.23)Так как функция (6.20) должна обращаться в нуль на стенках ямы, то функцииφi должны удовлетворять граничным условиямφi (0) = φi (li ) = 0,(6.24)i = 1, 2, 3.Заметим, что каждое из уравнений (6.22) совпадает с уравнением Шредингера для одномерной потенциальной ямы.
Поэтому можно сразу записать уровниэнергии и соответствующие собственные функции в трехмерном случае. Из (6.9)и (6.23) следует, что уровни энергии имеют вид суммEn1 n2 n3π 2 2=2mn21 n22 n23+ 2 + 2l12l2l3,(6.25)n1 , n2 , n3 = 1, 2, 3, . . . ,а собственные функции (6.20) — произведения функций типа (6.11):ψn1 n2 n3 (x, y, z) =8sinl1 l2 l3πn1 xl1· sinπn2 yl2· sinπn3 zl3.(6.26)Cобственные функции гамильтониана нумеруются тремя индексами (квантовымичислами) n1 , n2 , n3 .
Эти же квантовые числа определяют и уровни энергии. Некоторые из уровней могут быть вырождены. Это случится, если для разных наборовквантовых чисел в формуле (6.25) сумма в скобках будет иметь одинаковое значение.Действительно, первый член в левой части (6.21) зависит только от переменной x,второй — только от y, третий — только от z. Каждая из переменных меняется независимоот остальных, поэтому сумма этих членов постоянна лишь в том случае, когда каждыйчлен — постоянная величина.1646.3.Квантовый гармонический осцилляторВесьма распространенным типом движения в квантовых системах являютсямалые колебания около положения равновесия. Например, в молекулах и в кристаллах происходят колебания атомов. Простейшей моделью колебаний служитодномерный гармонический осциллятор — частица массы m, совершающаямалые колебания вдоль некоторой оси x.
Потенциальная энергия гармоническогоосциллятора имеет видkx2U (x) =,(6.27)2где k — постоянная, которая обычно называется коэффициентом жесткости. Вклассической механике свободные колебания осциллятора описываются хорошо известным законом движенияx(t) = A sin(ωt + α),где A — амплитуда, α — начальная фаза иω=km(6.28)(6.29)— частота колебаний. В классической механике амплитуда и, следовательно, энергия колебаний могут иметь любые значения1 . Нашей задачей будет найти энергетический спектр квантового гармонического осциллятора.
Вид потенциальнойэнергии (6.27) показывает, что частица находится в “потенциальной яме” с минимумом в точке x = 0. Опыт решения задачи о движении в яме с жесткими стенкамиподсказывает, что энергия осциллятора должна квантоваться.Гамильтониан осциллятора можно записать в видеp̂x2p̂x2mω 2 x2Ĥ =+ U (x) =+.2m2m2(6.30)При записи потенциальной энергии мы выразили коэффициент жесткости k черезчастоту с помощью (6.29). Для определения спектра энергии осциллятора нужнорешить уравнение для собственных функций гамильтониана: Ĥψ = Eψ. Это уравнение, как известно, совпадает со стационарным уравнением Шредингера (3.17),которое в данном случае имеет видmω 2 x2d2 ψ 2m+ 2 E−ψ = 0.(6.31)dx22Нас интересуют только решения, имеющие физический смысл.
Так как потенциальная энергия осциллятора стремится к бесконечности при |x| → ∞, то в этомпределе плотность вероятности |ψ(x)|2 обнаружить частицу в точке с координатойx должна стремиться к нулю. Поэтому нужно найти решения уравнения (6.31),которые удовлетворяют граничным условиямψ(x) → 0 при x → ±∞.1(6.32)Разумеется, в пределах применимости самой модели гармонического осциллятора.65Только такие собственные функции имеют физический смысл и описывают стационарные состояния осциллятора.
Значения E, при которых существуют решения,удовлетворяющие граничным условиям (6.32), определяют спектр энергии осциллятора.Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора хорошо изучено, поэтому применим стандартный способ его решения. Для исследования уравнения (6.31) удобно перейти к безразмерной переменной ξ:xξ= ,x0x0 =.mω(6.33)Введем также безразмерный параметр n c помощью соотношенияn=E1− .ω 2Тогда уравнение (6.31) преобразуется кd2 ψ+2 n+dξ 2виду (проверьте!)1ψ − ξ 2 ψ = 0.2(6.34)(6.35)Выясним сначала, как ведет себя ψ, если |ξ| → ∞. При больших значениях ξ 2можно, в главном приближении, отбросить второй член в уравнении (6.35), такчтоd2 ψ≈ ξ 2 ψ,|ξ| → ∞.dξ 2Покажем, что при больших ξ 2 примерно так ведут себя функции exp {ξ 2 /2} иexp {−ξ 2 /2}.
Действительно,d d2 ±ξ2 /2222± ξ 2 /2e== ξ 2 e± ξ /2 ± e± ξ /2 ≈ ξ 2 e± ξ /2 .±ξe2dξdξЯсно, что решение exp {ξ 2 /2} нефизическое (плотность вероятности неограниченнорастет при удалении от положения равновесия осциллятора), поэтому его нужноотбросить.Чтобы явно выделить в ψ ее главную зависимость от ξ при |ξ| → ∞, сделаем вуравнении (6.35) подстановкуψ(ξ) = e−ξ2 /2f (ξ) ,(6.36)где f (ξ) — новая неизвестная функция. Подставляя (6.36) в (6.35), после простыхвычислений производных получаем уравнениеf − 2ξf + 2nf = 0.(6.37)Штрихом обозначено дифференцирование по ξ.
В принципе, функция f (ξ) можетстремиться к бесконечности при |ξ| → ∞, но не быстрее, чем экспонента, чтобы ψстремилась к нулю [см. формулу (6.36)].66Уравнение (6.37) было известно и подробно изучено математиками еще в XIXвеке. Стандартный путь исследования этого уравнения таков. Будем искать функцию f (ξ) в виде ряда Тейлора по степеням ξ:f (ξ) =∞ak ξ k .(6.38)k=0Подстановка этого выражения в (6.37) дает∞k(k − 1) ak ξ k−2 − 2k=2∞k ak ξ k + 2nk=0∞ak ξ k = 0.k=0В первой сумме зануляются слагаемые с k = 0 и k = 1, поэтому, не меняя суммы,можно сделать сдвиг индекса суммирования k → k + 2. Тогда все три суммыобъединяются в одну и мы приходим к уравнению∞(k + 2)(k + 1) ak+2 − 2(k − n) ak ξ k = 0.k=0Приравнивая нулю выражение в квадратных скобках при каждом k, получаем такназываемое рекуррентное соотношение между коэффициентами ak :ak+2 =2(k − n)a .(k + 2)(k + 1) k(6.39)Из этого соотношения видно, что существуют два независимых решения.
Однодается рядом (6.38) с четными степенями k, а другое — таким же рядом, но снечетными k. Коэффициенты a0 и a1 могут быть выбраны произвольно1 . Если параметр n в формуле (6.39) — произвольное действительное число, то ряд (6.38) содержит бесконечное число членов. С помощью рекуррентного соотношения (6.39)можно оценить (оставляем это читателю в качестве упражнения), что при больших k = 2m или k = 2m + 1 коэффициенты ak примерно равны 1/m!.
Такимобразом, при больших значениях |ξ| формула (6.38) практически совпадает с рядом Тейлора для функции exp(ξ 2 ). Это означает, что оба независимых решенияуравнения (6.37) при |ξ| → ∞ ведут себя как exp(ξ 2 ) и, следовательно, сама волновая функция (6.36) стремится не к нулю, а к бесконечности. Иначе говоря, припроизвольном значении параметра n мы получаем нефизические решения стационарного уравнения Шредингера.Заметим, однако, что если параметр n равен нулю или целому положительному числу, то ряд (6.38) обрывается при k = n и функция f (ξ) в выражении (6.36)представляет собой полином степени n.
Тогда волновая функция ψ(ξ) стремитсяк нулю при |ξ| → ∞. Итак, мы приходим к заключению, что решения уравнения (6.37), обладающие нужным поведением на бесконечности, существуют лишьпри целых неотрицательных значениях параметра n (включая нулевое значение)Уравнение (6.37) — однородное, поэтому его решение определяется с точностью допроизвольного множителя. Роль этого множителя играет коэффициент a0 или коэффициент a1 .167и представляют собой полиномы n-го порядка Hn (ξ), которые в математике называются полиномами Эрмита. Явный вид полиномов Эрмита можно найтинепосредственно из рекуррентного соотношения (6.39), полагая a0 = 0, a1 = 0 илиa0 = 0, a1 = 0. Выбор значений ненулевых коэффициентов — вопрос удобства.Математики получили общую формулу для этих полиномов:Hn (ξ) = (−1)n eξ2dn −ξ2e ,dξ nn = 0, 1, 2, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
