kkvant (1083120), страница 16

Файл №1083120 kkvant (Учебник - Основы квантовой механики) 16 страницаkkvant (1083120) страница 162018-01-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

.(6.40)Приведем несколько полиномов низших порядков:H0 (ξ) = 1,H1 (ξ) = 2ξ,H2 (ξ) = 4ξ 2 − 2,H3 (ξ) = 8ξ 3 − 12ξ.(6.41)Предлагаем читателю прямой подстановкой убедиться в том, что полиномы Эрмита (6.40) действительно удовлетворяют уравнению (6.37).Можно подвести первые итоги. Во-первых, вспоминая связь параметра n сэнергией [см. формулу (6.34)], находим энергетический спектр гармоническогоосциллятора:1En = ω n +(6.42),n = 0, 1, 2, . . .2Собственные функции гамильтониана, т.

е. координатные части волновых функций стационарных состояний Ψn (x, t) = ψn (x) exp {−iEn t/}, имеют видψn (x) = An e−x2 /2x20Hnxx0,(6.43)где An — постоянная, которую нужно выбрать так, чтобы выполнялось условиенормировки+∞ψn2 (x) dx = 1.(6.44)−∞Постоянную An можно найти, используя выражение (6.43) для собственной функции и свойства полиномов Эрмита, которые помогают вычислить интеграл. Мыприведем лишь окончательный результат:An =1√n2 n! π x01/2.(6.45)Вычисляя скалярное произведение собственных функции (6.43), соответствующихразличным уровням энергии осциллятора, можно убедиться, что они ортогональныдруг к другу:+∞ψn (x)ψn (x) dx = 0,n = n.(6.46)−∞68Таким образом, {ψn (x)} — ортонормированная система функций1 .Выражение (6.42), полученное в результате решения стационарного уравнения Шредингера, подтверждает догадку Планка, что энергия гармоническогоосциллятора может изменяться только на величину, кратную кванту энергии ω.Отметим также, что даже в основном состоянии энергия осциллятора не равнанулю, а составляет ω/2.

Это согласуется с соотношением неопределенностейдля координаты и импульса. В классической механике минимальное значениеэнергии осциллятора равно нулю, что соответствует состоянию покоя в положенииравновесия (px = 0, x = 0). Однако, согласно основным принципам квантовоймеханики, частица не может одновременно иметь точные значения координатыи импульса, поэтому энергия осциллятора ни в одном из возможных квантовыхсостояний не может обратиться в нуль. Говорят, что даже в основном состоянииквантовый осциллятор совершает нулевые колебания.

Интересно, что нулевыеколебания атомов в узлах кристаллической решетки были обнаружены экспериментально при охлаждении кристаллов до температур близких к абсолютномунулю, когда любая система приходит в состояние с минимальной энергией. Наличие нулевых колебаний атомов проявляется в том, что кристаллы рассеиваютсвет даже при T = 0, хотя по классическим представлениям рассеяние должноотсутствовать, поскольку при абсолютном нуле температур должно прекратитьсявсякое движение атомов.Упражнения6.1.

Проверить свойство ортогональности (6.12) для волновых функций (6.11)прямым вычислением интеграла.6.2. Вычислить средние значения p̂x и p̂x2 в стационарном состоянии (6.13).6.3. Частица находится в одномерной потенциальной яме в основном состоянии(n = 1). Вычислить вероятность обнаружения частицы на отрезке l/3 < x < 2l/3.6.4.

Показать, что величину энергии основного состояния частицыEmin = 3π 2 2 /2ml2 в симметричной трехмерной яме (l1 = l2 = l3 ≡ l) можно оценить с помощью соотношения неопределенностей для координаты иимпульса.Указание: Неопределенность координаты по порядку величины равна линейномуразмеру ямы l; неопределенность импульса имеет порядок величины ∆p ≈2p , так как у частицы в яме p = 0.6.5. Найти кратность вырождения уровня энергии E = 3π 2 2 /ml2 в симметричной трехмерной яме.

Записать явные выражения для независимых волновыхфункций, которые соответствуют этому уровню энергии.6.6. Преобразовать уравнение Шредингера (6.31) к виду (6.35) и затем, используя подстановку (6.36), вывести уравнение (6.37) для f (ξ).6.7. Используя табличный интеграл+∞√2e−x dx = π,(6.47)−∞Так как уровни энергии осциллятора не вырождены, то ортогональность волновыхфункций (6.43) c различными значениями квантового числа n следует и из общей теории,изложенной в разделе 5.3.169проверить, что волновая функция основного состояния осциллятора ψ0 (x) удовлетворяет условию нормировки (6.44).6.8. Найти энергетический спектр и собственные функции гамильтониана дляизотропного трехмерного осциллятора, потенциальная энергия которого имеетвидkr2U (x, y, z) =(6.48),r = x2 + y 2 + z 2 .2Указание: В данном случае стационарное уравнение Шредингера допускает разделение переменных, т.

е. его решение можно искать в виде произведения ψ(x, y, z) =φ1 (x)φ2 (y)φ3 (z). Показать, что нахождение функций φi сводится к решению уравнения Шредингера для одномерного гармонического осциллятора.7.Движение частиц через потенциальный барьерКвантование энергии — не единственное удивительное явление, которое отличает поведение микрочастиц от поведения макроскопических тел. Мы обсудимтеперь еще один чисто квантовый эффект, играющий важную роль в ядерной физике, в физике твердого тела и электронике.7.1.Потенциальная стенкаРассмотрим одномерное движение микрочастиц в потенциальном поле U (x),которое изображено на Рис. 7.1.Рис. 7.1. Потенциальная стенка: а) реальная; б) стенка с бесконечно узкойпереходной областью.Поле такого вида обычно называется “потенциальной стенкой”.

Потенциальная энергия возрастает от U = 0 при x → −∞ до U = U0 при x → +∞. Длязаряженных микрочастиц потенциальная стенка возникает в случае, когда вдольоси x приложено электрическое напряжение. Для упрощения математики мы вдальнейшем будем использовать модель потенциальной стенки с бесконечно узкойпереходной областью (Рис.

7.1б.).Предположим, что частица движется к потенциальной стенке слева направо.В классической механике поведение частицы легко предсказать. Если ее начальная энергия E меньше высоты стенки U0 , то частица упруго отразится от стенки70и затем будет двигаться в обратном направлении со той же скоростью. Если жеE > U0 , то частица будет двигаться в прежнем направлении, но скорость ее станет меньше. Рассмотрим, что произойдет с частицей, если движение описываетсяквантовыми законами.Сначала сформулируем задачу, исходя из физических соображений.

Предположим, что слева на стенку падает стационарный поток частиц с плотностью jпад .Эта величина может быть экспериментально измерена: она равно числу частиц,проходящих за 1 секунду через площадку единичной площади в направлении стенки. Состояние частицы, движущейся к стенке, описывается волновой функциейΨ1 (x, t) = A1 eikx e−iEt/,k=1√2mE,(7.1)где A1 — постоянная амплитуда, E — энергия частицы. Как уже неоднократнообсуждалось, величина |Ψ1 |2 = |A1 |2 равна плотности вероятности обнаружитьчастицу в точке x.

В данном случае частицы, движущиеся к стенке, свободны,поэтому |Ψ1 |2 не зависит от x. Если на стенку непрерывно падает пучок частиц,то, согласно общим принципам теории вероятностей, величина |Ψ1 |2 пропорциональна концентрации частиц nпад в пучке. Выберем коэффициент A1 так, чтобывыполнялось равенство |A1 |2 = nпад . Плотность потока частиц равна произведению скорости частиц v = p/m = k/m на их концентрацию. Поэтомуjпад =k|A1 |2 .m(7.2)Кроме частиц, движущихся к потенциальной стенке, в области x < 0 могут бытьзарегистрированы частицы, отраженные стенкой. Состояние отраженной частицыописывается волновой функциейΨ2 (x, t) = A2 e−ikx e−iEt/.(7.3)Плотность потока отраженных частиц равнаjотр =k|A |2 .m 2(7.4)Согласно принципу суперпозиции квантовых состояний, до регистрации частица вобласти x < 0 имеет волновую функцию, равную сумме функций (7.1) и (7.3), т.

е.Ψ(x, t) = e−iEt/ A1 eikx + A2 e−ikx ,x < 0.(7.5)Величиной, которую можно измерить экспериментально, является коэффициентотраженияR=jотр|A |2= 22,jпад|A1 |(7.6)который равен доле числа частиц, отраженных стенкой. По отношению к однойчастице R есть вероятность того, что частица отразится от стенки. Из определениякоэффициента отражения ясно, что 0 ≤ R ≤ 1.71Перейдем теперь к области x > 0. Энергия частицы по-прежнему равна E,поэтому волновая функция должна иметь видΨ(x, t) = e−iEt/ ψ(x),x > 0.(7.7)Так как в области x > 0 частица находится в поле U (x) = U0 , то ψ(x) удовлетворяетстационарному уравнению Шредингера2md2ψ(x) + 2 (E − U0 ) ψ(x) = 0.2dx(7.8)Как уже отмечалось, в квантовой механике волновая функция и ее первая производная должны быть непрерывны в любой точке.

В рассматриваемой задаче вобластях x < 0 и x > 0 частица описывается разными волновыми функциями: (7.5)и (7.7). Поэтому мы должны потребовать, чтобы в точке x = 0 совпадали значения этих функций и значения их первых производных. Мы приходим к граничнымусловиямik (A1 − A2 ) = ψ (0),(7.9)A1 + A2 = ψ(0),где ψ (x) — первая производная производная ψ по x. Итак, для полного описания процесса прохождения частиц через потенциальную стенку нужно найти такоерешение уравнения Шредингера (7.8), которое удовлетворяет граничным условиям (7.9).Случай E > U0 . Если энергия частицы превышает высоту потенциальной стенки, то (E − U0 ) — положительная величина и, следовательно, решение уравнения (7.8) имеет вид волны де Бройля, бегущей в направлении оси x:ψ(x) = B eik x ,k =12m(E − U0 ) .(7.10)Вообще говоря, уравнение (7.8) имеет еще одно решение вида exp(−ik x), однакооно не имеет физического смысла (пусть читатель сам сообразит, почему).Волновая функция (7.10) описывает частицу, движущуюся со скоростью v =k /m.

Таким образом, плотность потока частиц, прошедших через стенку, равнаjпрk =|B |2 .m(7.11)Измеряемой величиной является коэффициент прохождения, который естественно определить какjпрk |B|2D==.jпадk|A1 |2(7.12)Для вычисления коэффициентов отражения и прохождения нужно выразить амплитуды A2 и B через амплитуду A1 .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,51 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Учебник - Основы квантовой механики
Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее