kkvant (1083120), страница 16
Текст из файла (страница 16)
.(6.40)Приведем несколько полиномов низших порядков:H0 (ξ) = 1,H1 (ξ) = 2ξ,H2 (ξ) = 4ξ 2 − 2,H3 (ξ) = 8ξ 3 − 12ξ.(6.41)Предлагаем читателю прямой подстановкой убедиться в том, что полиномы Эрмита (6.40) действительно удовлетворяют уравнению (6.37).Можно подвести первые итоги. Во-первых, вспоминая связь параметра n сэнергией [см. формулу (6.34)], находим энергетический спектр гармоническогоосциллятора:1En = ω n +(6.42),n = 0, 1, 2, . . .2Собственные функции гамильтониана, т.
е. координатные части волновых функций стационарных состояний Ψn (x, t) = ψn (x) exp {−iEn t/}, имеют видψn (x) = An e−x2 /2x20Hnxx0,(6.43)где An — постоянная, которую нужно выбрать так, чтобы выполнялось условиенормировки+∞ψn2 (x) dx = 1.(6.44)−∞Постоянную An можно найти, используя выражение (6.43) для собственной функции и свойства полиномов Эрмита, которые помогают вычислить интеграл. Мыприведем лишь окончательный результат:An =1√n2 n! π x01/2.(6.45)Вычисляя скалярное произведение собственных функции (6.43), соответствующихразличным уровням энергии осциллятора, можно убедиться, что они ортогональныдруг к другу:+∞ψn (x)ψn (x) dx = 0,n = n.(6.46)−∞68Таким образом, {ψn (x)} — ортонормированная система функций1 .Выражение (6.42), полученное в результате решения стационарного уравнения Шредингера, подтверждает догадку Планка, что энергия гармоническогоосциллятора может изменяться только на величину, кратную кванту энергии ω.Отметим также, что даже в основном состоянии энергия осциллятора не равнанулю, а составляет ω/2.
Это согласуется с соотношением неопределенностейдля координаты и импульса. В классической механике минимальное значениеэнергии осциллятора равно нулю, что соответствует состоянию покоя в положенииравновесия (px = 0, x = 0). Однако, согласно основным принципам квантовоймеханики, частица не может одновременно иметь точные значения координатыи импульса, поэтому энергия осциллятора ни в одном из возможных квантовыхсостояний не может обратиться в нуль. Говорят, что даже в основном состоянииквантовый осциллятор совершает нулевые колебания.
Интересно, что нулевыеколебания атомов в узлах кристаллической решетки были обнаружены экспериментально при охлаждении кристаллов до температур близких к абсолютномунулю, когда любая система приходит в состояние с минимальной энергией. Наличие нулевых колебаний атомов проявляется в том, что кристаллы рассеиваютсвет даже при T = 0, хотя по классическим представлениям рассеяние должноотсутствовать, поскольку при абсолютном нуле температур должно прекратитьсявсякое движение атомов.Упражнения6.1.
Проверить свойство ортогональности (6.12) для волновых функций (6.11)прямым вычислением интеграла.6.2. Вычислить средние значения p̂x и p̂x2 в стационарном состоянии (6.13).6.3. Частица находится в одномерной потенциальной яме в основном состоянии(n = 1). Вычислить вероятность обнаружения частицы на отрезке l/3 < x < 2l/3.6.4.
Показать, что величину энергии основного состояния частицыEmin = 3π 2 2 /2ml2 в симметричной трехмерной яме (l1 = l2 = l3 ≡ l) можно оценить с помощью соотношения неопределенностей для координаты иимпульса.Указание: Неопределенность координаты по порядку величины равна линейномуразмеру ямы l; неопределенность импульса имеет порядок величины ∆p ≈2p , так как у частицы в яме p = 0.6.5. Найти кратность вырождения уровня энергии E = 3π 2 2 /ml2 в симметричной трехмерной яме.
Записать явные выражения для независимых волновыхфункций, которые соответствуют этому уровню энергии.6.6. Преобразовать уравнение Шредингера (6.31) к виду (6.35) и затем, используя подстановку (6.36), вывести уравнение (6.37) для f (ξ).6.7. Используя табличный интеграл+∞√2e−x dx = π,(6.47)−∞Так как уровни энергии осциллятора не вырождены, то ортогональность волновыхфункций (6.43) c различными значениями квантового числа n следует и из общей теории,изложенной в разделе 5.3.169проверить, что волновая функция основного состояния осциллятора ψ0 (x) удовлетворяет условию нормировки (6.44).6.8. Найти энергетический спектр и собственные функции гамильтониана дляизотропного трехмерного осциллятора, потенциальная энергия которого имеетвидkr2U (x, y, z) =(6.48),r = x2 + y 2 + z 2 .2Указание: В данном случае стационарное уравнение Шредингера допускает разделение переменных, т.
е. его решение можно искать в виде произведения ψ(x, y, z) =φ1 (x)φ2 (y)φ3 (z). Показать, что нахождение функций φi сводится к решению уравнения Шредингера для одномерного гармонического осциллятора.7.Движение частиц через потенциальный барьерКвантование энергии — не единственное удивительное явление, которое отличает поведение микрочастиц от поведения макроскопических тел. Мы обсудимтеперь еще один чисто квантовый эффект, играющий важную роль в ядерной физике, в физике твердого тела и электронике.7.1.Потенциальная стенкаРассмотрим одномерное движение микрочастиц в потенциальном поле U (x),которое изображено на Рис. 7.1.Рис. 7.1. Потенциальная стенка: а) реальная; б) стенка с бесконечно узкойпереходной областью.Поле такого вида обычно называется “потенциальной стенкой”.
Потенциальная энергия возрастает от U = 0 при x → −∞ до U = U0 при x → +∞. Длязаряженных микрочастиц потенциальная стенка возникает в случае, когда вдольоси x приложено электрическое напряжение. Для упрощения математики мы вдальнейшем будем использовать модель потенциальной стенки с бесконечно узкойпереходной областью (Рис.
7.1б.).Предположим, что частица движется к потенциальной стенке слева направо.В классической механике поведение частицы легко предсказать. Если ее начальная энергия E меньше высоты стенки U0 , то частица упруго отразится от стенки70и затем будет двигаться в обратном направлении со той же скоростью. Если жеE > U0 , то частица будет двигаться в прежнем направлении, но скорость ее станет меньше. Рассмотрим, что произойдет с частицей, если движение описываетсяквантовыми законами.Сначала сформулируем задачу, исходя из физических соображений.
Предположим, что слева на стенку падает стационарный поток частиц с плотностью jпад .Эта величина может быть экспериментально измерена: она равно числу частиц,проходящих за 1 секунду через площадку единичной площади в направлении стенки. Состояние частицы, движущейся к стенке, описывается волновой функциейΨ1 (x, t) = A1 eikx e−iEt/,k=1√2mE,(7.1)где A1 — постоянная амплитуда, E — энергия частицы. Как уже неоднократнообсуждалось, величина |Ψ1 |2 = |A1 |2 равна плотности вероятности обнаружитьчастицу в точке x.
В данном случае частицы, движущиеся к стенке, свободны,поэтому |Ψ1 |2 не зависит от x. Если на стенку непрерывно падает пучок частиц,то, согласно общим принципам теории вероятностей, величина |Ψ1 |2 пропорциональна концентрации частиц nпад в пучке. Выберем коэффициент A1 так, чтобывыполнялось равенство |A1 |2 = nпад . Плотность потока частиц равна произведению скорости частиц v = p/m = k/m на их концентрацию. Поэтомуjпад =k|A1 |2 .m(7.2)Кроме частиц, движущихся к потенциальной стенке, в области x < 0 могут бытьзарегистрированы частицы, отраженные стенкой. Состояние отраженной частицыописывается волновой функциейΨ2 (x, t) = A2 e−ikx e−iEt/.(7.3)Плотность потока отраженных частиц равнаjотр =k|A |2 .m 2(7.4)Согласно принципу суперпозиции квантовых состояний, до регистрации частица вобласти x < 0 имеет волновую функцию, равную сумме функций (7.1) и (7.3), т.
е.Ψ(x, t) = e−iEt/ A1 eikx + A2 e−ikx ,x < 0.(7.5)Величиной, которую можно измерить экспериментально, является коэффициентотраженияR=jотр|A |2= 22,jпад|A1 |(7.6)который равен доле числа частиц, отраженных стенкой. По отношению к однойчастице R есть вероятность того, что частица отразится от стенки. Из определениякоэффициента отражения ясно, что 0 ≤ R ≤ 1.71Перейдем теперь к области x > 0. Энергия частицы по-прежнему равна E,поэтому волновая функция должна иметь видΨ(x, t) = e−iEt/ ψ(x),x > 0.(7.7)Так как в области x > 0 частица находится в поле U (x) = U0 , то ψ(x) удовлетворяетстационарному уравнению Шредингера2md2ψ(x) + 2 (E − U0 ) ψ(x) = 0.2dx(7.8)Как уже отмечалось, в квантовой механике волновая функция и ее первая производная должны быть непрерывны в любой точке.
В рассматриваемой задаче вобластях x < 0 и x > 0 частица описывается разными волновыми функциями: (7.5)и (7.7). Поэтому мы должны потребовать, чтобы в точке x = 0 совпадали значения этих функций и значения их первых производных. Мы приходим к граничнымусловиямik (A1 − A2 ) = ψ (0),(7.9)A1 + A2 = ψ(0),где ψ (x) — первая производная производная ψ по x. Итак, для полного описания процесса прохождения частиц через потенциальную стенку нужно найти такоерешение уравнения Шредингера (7.8), которое удовлетворяет граничным условиям (7.9).Случай E > U0 . Если энергия частицы превышает высоту потенциальной стенки, то (E − U0 ) — положительная величина и, следовательно, решение уравнения (7.8) имеет вид волны де Бройля, бегущей в направлении оси x:ψ(x) = B eik x ,k =12m(E − U0 ) .(7.10)Вообще говоря, уравнение (7.8) имеет еще одно решение вида exp(−ik x), однакооно не имеет физического смысла (пусть читатель сам сообразит, почему).Волновая функция (7.10) описывает частицу, движущуюся со скоростью v =k /m.
Таким образом, плотность потока частиц, прошедших через стенку, равнаjпрk =|B |2 .m(7.11)Измеряемой величиной является коэффициент прохождения, который естественно определить какjпрk |B|2D==.jпадk|A1 |2(7.12)Для вычисления коэффициентов отражения и прохождения нужно выразить амплитуды A2 и B через амплитуду A1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
