kkvant (1083120), страница 20
Текст из файла (страница 20)
е.85L̂z ψm = m ψm . Покажем, что функции L̂+ ψm и L̂− ψm с точностью до нормировочного множителя совпадают с волновыми функциями состояний, в которыхпроекция Lz равна, соответственно, (m + 1) и (m − 1). Ограничимся доказательством этого утверждения для функции L̂+ ψm . Аналогичное доказательство дляL̂− ψm оставим читателю как упражнение.Докажем, что L̂+ ψm является собственной функцией оператора L̂z . С этойцелью запишемL̂z L̂+ ψm = L̂+ L̂z + [L̂z , L̂+ ] ψm = L̂+ L̂z + L̂+ ψm ,где было использовано первое из коммутационных соотношений (8.33).
Поскольку,по предположению, ψm — собственная функция оператора L̂z , соответствующаясобственному значению m, получаем равенствоL̂z L̂+ ψm = (m + 1) L̂+ ψm ,(8.36)которое показывает, что функции L̂+ ψm и ψm+1 пропорциональны друг другу.Совершенно так же доказывается, что функция L̂− ψm пропорциональна ψm−1 .Обычно говорят, что оператор L̂+ переводит состояние с Lz = m в состояниес Lz = (m + 1), а оператор L̂− переводит состояние с Lz = m в состояние сLz = (m − 1).
Отметим также, что, согласно формулам (8.32), операторы L̂x иL̂y преобразуют волновую функцию ψm в суперпозиции волновых функций ψm+1и ψm−1 .8.4.Орбитальный магнитный момент электронаИз курса электромагнетизма известно, что при движении заряженных частицв пространстве происходит перенос заряда, т. е. идет электрический ток. Есликлассическая заряженная частица массы M с зарядом q движется по замкнутойорбите с постоянной скоростью, то она обладает (как замкнутый круговой ток) формулоймагнитным моментом µ , связанным с ее моментом импульса Lµ=q L.2M(8.37)Отношение µ/L называется гиромагнитным отношением. Для орбитальногодвижения частиц в классической механике оно равно |q|/2M .
Магнитный момент— важная физическая величина, так как она определяет энергию частицы в магнитном поле.ˆВ квантовой механике момент импульса частицы описывается оператором L,поэтому естественно ввести и оператор магнитного момента µˆ. В атомной физикенаибольший интерес представляет магнитный момент электрона (q = −e, M =me ), поэтому мы введем µˆ именно для этого случая.
По аналогии с классическойформулой (8.37), естественно определить оператор орбитального магнитного86момента электрона1 c помощью соотношенияe ˆL.µˆ = −2me(8.38)ˆ совпадают. Собственные значеЯсно, что собственные функции операторов µˆ и Lния квадрата орбитального магнитного момента электрона µ2 и его проекции µzна ось квантования даются формуламиµ2 = µ2B l(l + 1),µz = −µB m ,(8.39)e= 0, 9274 · 10−23 Дж/Тл2me(8.40)где величинаµB =называется магнетоном Бора и является естественной единицей магнитногомомента.
Отметим, что для электрона знаки Lz и µz в одном и том же квантовомсостоянии противоположны, так как заряд электрона имеет отрицательный знак.Упражнения8.1. Вывести выражения (8.4) для операторов L̂x и L̂y в сферических координатах.Указание: Частную производную по x (при фиксированных y и z) можно записать в виде∂∂r ∂∂ϕ ∂∂ϑ ∂=++.∂x∂x ∂r ∂x ∂ϕ ∂x ∂ϑДля ∂/∂y и ∂/∂z справедливы аналогичные выражения.
Частные производныедекартовых координат по сферическим легко вычислить, используя формулыzycos ϑ = ,tg ϕ = ,r = x2 + y 2 + z 2 ,rxкоторые следуют из (8.2). Например,∂rx= = sin ϑ cos ϕ,∂xrxzcos ϑ cos ϕ∂ϑ= 3=,∂xr sin ϑrsin ϕ∂ϕy cos2 ϕ=−=−.2∂xxr sin ϑПосле этого нужно воспользоваться явными выражениями (3.39) для L̂x и L̂y вдекартовых координатах.8.2.
Доказать равенства (8.8).Указание: Использовать соотношения (4.17) и тождество (4.14).Слово “орбитальный” добавлено не случайно. Электрон обладает также собственнымили спиновым магнитным моментом, который не связан с движением в пространстве (см.раздел 11.5.).1878.3.
Проверить условие ортогональности (8.20) для функций (8.19), явно вычислив интеграл.Указание: Удобно записать произведение Φ∗m Φm в виде1 i(m−m )ϕ1=Φ∗m Φm =ecos[(m − m )ϕ] + i sin[(m − m )ϕ] .2π2π8.4. Используя (8.20) и (8.21), проверить условия ортогональности (8.23) длясферических функций.8.5. Проверить правило четности состояний с различными l, используя явныевыражения (8.26) для первых сферических функций.9.Водородоподобные атомыВ первой же работе Э. Шредингера по волновой механике им были найденыволновые функции стационарных состояний атома с одним электроном и был получен энергетический спектр, который в точности совпал с результатом теорииБора.
Это было важным достижением, так как квантование энергии атома естественным образом следовало из общих принципов квантовой механики без введения дополнительного квантового условия, которое в теории Бора используетсявместе с классическим уравнением движения электрона.9.1.Стационарные состояния частицы в центральном полеПрежде чем приступить непосредственно к задаче об атоме водорода, обсудим общие свойства стационарных состояний частицы, находящейся в центральном силовом поле. Напомним читателю, что силовое поле называется центральным,если потенциальная энергия частицы U (r) зависит только от расстоянияr = x2 + y 2 + z 2 до силового центра, который расположен в начале системы ко , действующая на частицу, направлена вдоль прямой,ординат. Сила F = −∇Uсоединяющей частицу с силовым центром.
Нас будут интересовать стационарныесостояния частицы, т. е. состояния с определенной энергией E. Как мы увидимдальше, именно в этой задаче очень удобно использовать сферические координаты.Волновая функция стационарного состояния имеет видΨ(r, ϑ, ϕ, t) = ψ(r, ϑ, ϕ) e−iEt/,(9.1)где ψ является собственной функцией гамильтониана1Ĥ = −2 2∇ + U (r).2µ(9.2)Так как мы собираемся работать в сферической системе координат, то операторЛапласа ∇2 нужно записать в сферических координатах. Из математики известно,что∂21 ∂1∂∂122 ∂∇ = 2.(9.3)r+ 2sin ϑ+ 2 2r ∂r∂rr sin ϑ ∂ϑ∂ϑr sin ϑ ∂ϕ2В этом разделе масса частицы будет обозначаться буквой µ, чтобы избежать путаницы с магнитным квантовым числом, для которого сохраним обозначение m.188Конечно, это выражение выглядит сложнее, чем оператор Лапласа в декартовыхкоординатах, однако оно обладает одним полезным свойством. Сравнивая формулы (9.3) и (8.6), замечаем, что угловая часть оператора Лапласа с точностью домножителя совпадает с оператором квадрата момента импульса частицы.
Поэтому1 ∂∇ = 2r ∂r2∂r∂r2−L̂2.2 r 2(9.4)Подстановка этого выражения в (9.5) позволяет записать гамильтониан частицы ввидеL̂22 1 ∂2 ∂r++ U (r) .(9.5)Ĥ = −2µ r2 ∂r∂r2µr2Отсюда можно извлечь важные выводы. Напомним еще раз, что операторы квадрата момента импульса (8.6) и проекции момента импульса (8.3) на ось квантования (ось z) не содержат производных по радиальной координате r. Кроме того,напомним, что операторы L̂2 и L̂z коммутируют друг с другом. Следовательно,оба эти оператора коммутируют с гамильтонианом (9.5). Итак, для частицы, находящейся в центральном силовом поле, выполняются соотношения[L̂2 , Ĥ] = 0,[L̂z , Ĥ] = 0,[L̂z , L̂2 ] = 0.(9.6)Но, как известно из общей теории операторов, изложенной в параграфе 5, еслиоператоры коммутируют друг с другом, то они имеют общую систему собственных функций. Поэтому волновые функции стационарных состояний частицы вцентральном поле можно выбрать такими, чтобы они одновременно удовлетворяли уравнениямL̂2 ψ = 2 l(l + 1)ψ,Ĥψ = Eψ,L̂z ψ = mψ.(9.7)Собственные значения в двух последних уравнениях, которые уже были исследованы в предыдущем параграфе, мы сразу записали через орбитальное квантовоечисло l и магнитное квантовое число m.Уравнения (9.7) допускают разделение переменных, т.
е. ψ можно искать в видеψ(r, ϑ, ϕ) = R(r) Ylm (ϑ, ϕ),(9.8)где Ylm — сферические функции, удовлетворяющие уравнениям (8.12). Очевидно,что тогда последние два уравнения (9.7) автоматически выполняются.Из стационарного уравнения Шредингера [первое из уравнений (9.7)] следуетуравнение для “радиальной” части волновой функции R(r).
Используя выражение (9.5) для гамильтониана, после простых преобразований имеем (проверьте!)1 dr2 drdRrdr2−2µl(l + 1)R+[E − U (r)] R = 0 .r22(9.9)89Это уравнение можно записать в более простом виде, если сделать подстановкуR(r) =χ(r),r(9.10)где χ(r) — новая неизвестная функция. Подставляя (9.10) в (9.9), приходим куравнению2µl(l + 1)d2 χχ = 0.+ 2 (E − U ) −(9.11)dr2r2По форме оно совпадает со стационарным уравнением Шредингера для одномерного движения частицы с “эффективной потенциальной энергией”Uэфф (r) = U (r) +2 l(l + 1),2µ r2(9.12)вид которой зависит от значения квадрата момента импульса частицы. Это обстоятельство часто оказывается полезным для качественного исследования уравнения (9.11). Сделаем еще одно важное замечание. Уровни энергии частицы должныбыть найдены из уравнения (9.9) [или, что то же самое, из уравнения (9.11)], еслиналожить на “радиальную функцию” R(r) дополнительные условия, вытекающиеиз физической постановки задачи1 .
В принципе, допустимые значения энергиимогут зависеть от азимутального квантового числа l, т. е. от значения квадратамомента импульса, однако они не будут зависеть от квантового числа m, определяющего значение проекции момента импульса на ось квантования, так как вуравнение (9.9) это квантовое число не входит. Таким образом, уровни энергиичастицы в любом центральном силовом поле вырождены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
