kkvant (1083120), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Если выразить, например, a2 через a1 , то коэффициент a1находится затем из условия, чтобы каждая из функций ψ1 и ψ2 была нормированана единицу.11.Спин микрочастицВ 1920-30 годы было экспериментально установлено, что электрон, протон инейтрон обладают моментом импульса, не связанным с их движением в пространстве. Этот момент импульса называется собственным моментом импульса илиспином1 . Гипотеза о существовании у электрона собственного момента импульсабыла высказана английскими физиками Д. Уленбеком и С. Гаудсмитом в 1925 годудля объяснения расщепления энергетических уровней атомов в магнитном поле.В дальнейшем, по мере открытия новых микрочастиц, выяснилось, что большинство из них также обладают спином.
Спин — явление чисто квантовое2 , поэтомунаглядные классические модели типа “вращающегося” электрона к спину неприменимы. Спин следует рассматривать как фундаментальное свойство микрочастицы,данное ей “от рождения” подобно массе или электрическому заряду.11.1.Спиновые состояния электронаНаличие спина у микрочастиц, прежде всего у электрона, определяет многиеважные свойства атомов и молекул и, в конечном счете, многие свойства вещества.Чтобы применить квантовую механику в изучению этих свойств, нужно иметь математическое описание квантовых состояний, связанных со спином, и, кроме того,нужно построить оператор спина. Эта задача облегчается тем, что некоторые формальные свойства спина аналогичны свойствам орбитального момента импульса,хотя между этими динамическими переменными имеются и важные различия.
спин — векторная динамическая переКак и орбитальный момент импульса L, Напомним, что собственные знаменная; обычно спин обозначается символом S.чения квадрата орбитального момента импульса и его проекции на произвольнуюось квантования (ось z) даются формулами (8.9).
Спин квантуется аналогичнымобразом, т. е. его квадрат S 2 и проекция Sz могут принимать значенияS 2 = 2 s(s + 1),Sz = m s ,(11.1)где s — спиновое квантовое число, а ms — спиновое магнитное квантовоечисло. В отличие от азимутального квантового числа l, которое определяет L2 ,квантовое число s для данной частицы во всех состояниях имеет одно и тожеТермин “спин” происходит от английского слова “spin”, которое означает “веретено”или “вращение”.2Когда в 1928 году английскому физику Полю Дираку удалось обобщить квантовуюмеханику на релятивистский случай, оказалось, что наличие спина у микрочастиц неизбежно следует из принципов квантовой теории и теории относительности.1104значение. В частности, для электрона, протона и нейтрона s = 1/2.
Есть частицы,у которых s = 0; они называются бесспиновыми. Спином обладают не толькоэлементарные частицы, но и составные частицы, например, атомы или их ядра.У составных частиц спиновое число s может быть как целым, так и полуцелым(скажем, s = 1 или s = 3/2 ). Обычно, когда говорят, что частица обладает спиномs, имеют в виду значение спинового квантового числа. По этой терминологииэлектрон имеет спин 1/2.Спиновое магнитное квантовое число ms может принимать значенияms = −s, −s + 1, . .
. , s − 1, s ,(11.2)т. е. всего 2s + 1 значений. В частности, для частиц со спином 1/2 проекцияспина на ось квантования может принимать только два значения: Sz = /2 илиSz = −/2. В дальнейшем нас прежде всего будет интересовать спин электрона,однако все сказанное относится к любой частице со спином 1/2.Раньше мы считали, что квантовое состояние электрона можно описать волновой функцией ψ(r, t), зависящей от координат и времени1 . Ясно, что с учетомспина такое описание является неполным, так как нужно еще указать, в какомспиновом состоянии находится электрон. Если зафиксирована некоторая ось квантования (ось z), то электрон может быть обнаружен в одном из двух независимыхспиновых состояниях, которые характеризуются значениями магнитного спинового числа ms = 1/2 или ms = −1/2.
Таким образом, в общем случае для полногоописания состояния электрона требуется задать две волновые функции ψ1/2 (r, t) иψ−1/2 (r, t). Нижний индекс указывает на значение квантового числа ms . В первомслучае ms = 1/2, а во втором ms = −1/2. Иногда для наглядности используютиндексы ↑ и ↓ и говорят, что ψ1/2 ≡ ψ↑ — волновая функция электрона со спином,направленным вдоль оси z, а ψ−1/2 ≡ ψ↓ — волновая функция электрона со спином,направленным противоположно оси z.Величина |ψ1/2 (r, t)|2 dV есть вероятность того, что электрон в момент времени tнаходится в объеме dV с проекцией спина Sz = /2, а |ψ−1/2 (r, t)|2 dV — вероятностьобнаружить электрон в объеме dV с проекцией спина Sz = −/2. Таким образом,должно выполняться соотношение(11.3)|ψ1/2 (r, t)|2 + |ψ−1/2 (r, t)|2 dV = 1,которое играет роль условия нормировки с учетом двух возможных спиновых состояний электрона.Вместо того, чтобы каждый раз упоминать о двух независимых волновых функциях ψ1/2 и ψ−1/2 , описывающих квантовое состояние электрона и других частицсо спином s = 1/2, удобно объединить эти волновые функции в один математический объект.
Это можно сделать, например, если считать, что волновая функцияэлектрона ψ(r, σ, t) зависит не только от непрерывных переменных — координатx, y, z, но и от дискретной (спиновой) переменной σ, которая принимает всего дваВ этом параграфе все “обычные” волновые функции мы обозначаем строчной буквойψ. Заглавная буква Ψ будет использована для нового математического объекта, которыйвскоре появится.1105значения, например, σ = 1/2 и σ = −1/2, причемψ(r, σ = 1/2, t) = ψ1/2 (r, t),ψ(r, σ = −1/2, t) = ψ−1/2 (r, t).(11.4)В новых обозначениях условие нормировки (11.3) запишется так:1/2 dV |ψ(r, σ, t)|2 = 1.(11.5)σ=−1/2При обсуждении общих вопросов теории часто используют еще более сокращенныеобозначения. Введем набор переменных q = (x, y, z, σ), включающий координатыэлектрона и спиновую переменную. Координаты являются непрерывными переменными, а спиновая — дискретной переменной, принимающей всего два значения.
Квантовое состояние электрона будет описываться волновой функциейψ(q, t).+Договоримся также, что для функций, зависящих от q, символ . . . dq означаетинтегрирование по непрерывным переменным (координатам) и суммирование подискретной спиновой переменной. Тогда формулу (11.5) можно записать в оченькомпактном виде(11.6)|ψ(q, t)|2 dq = 1.Все сказанное выше легко переносится на частицы со спином s = 1/2.
В общемслучае спиновая переменная σ пробегает 2s + 1 значений. При этом все формулыбудут выглядеть совершенно одинаково для частиц с любым значением спина.Приведем еще одно популярное обозначение для волновой функции электрона(и других частиц со спином s = 1/2). Объединим функции ψ1/2 (r, t) и ψ−1/2 (r, t) вматрицу, имеющую две строки и один столбец:ψ1/2 (r, t).(11.7)Ψ(r, t) =ψ−1/2 (r, t)В квантовой механике такая двухкомпонентная волновая функция называетсяспинором. Введем также сопряженный спинор Ψ† (r, t) — матрицу с однойстрокой и двумя столбцами: ∗∗.(11.8)Ψ† = ψ1/2ψ−1/2Умножая Ψ† слева Ψ по правилу умножения матриц, получим1Ψ† Ψ = |ψ1/2 |2 + |ψ−1/2 |2 .Вспоминая соотношение (11.3), видим, что условие нормировки для спинора (11.7)выглядит какΨ† Ψ dV = 1.(11.9)В результате такого умножения получается матрица с одной строкой и одним столбцом, т.
е. всего с одним элементом. Матрицу (a), где a — единственный элемент, принятосчитать числом a.1106Заметим, что спинор (11.7) можно записать в виде суммы двух спиноров 10Ψ(r, t) = ψ1/2 (r, t)+ ψ−1/2 (r, t).(11.10)01Это позволяет рассматривать спиноры 1χ1/2 ≡ χ↑ =,0χ−1/2 ≡ χ↓ =01(11.11)как спиновые “волновые функции”, соответствующие двум возможным значениям проекции спина электрона на ось квантования z.Следует иметь в виду, что цель введения перечисленных выше обозначенийсостоит лишь в упрощении формул.
В конкретных расчетах все выражения приходится записывать, в конце концов, через волновые функции ψ1/2 и ψ−1/2 .11.2.Операторы спинаСогласно общим принципам квантовой механики, спину, как динамической пеˆ с проременной, должен соответствовать некоторый векторный оператор спина Sекциями Ŝx , Ŝy , Ŝz .
Главное отличие оператора спина от операторов других динамических переменных, с которыми мы имели дело раньше, состоит в том, чтоон действует на волновые функции ψ(r, σ, t), зависящие от дискретной спиновойпеременной σ. Зависимость волновой функции от координат оператор спина неменяет. В связи с этим обстоятельством мы будем часто опускать аргумент r изаписывать волновую функцию просто как ψ(σ).С математической точки зрения каждый из операторов Ŝx , Ŝy и Ŝz преобразуетлюбую функцию Φ(σ) дискретной переменной σ в некоторую новую функцию. Например, оператор Ŝx , действуя на Φ(σ) преобразует ее в Φ (σ) ≡ (Ŝx Φ)(σ), причемкаждое значение новой функции Φ (σ) может зависеть от значений Φ(σ ) при всехσ . Как уже не раз отмечалось, в квантовой механике оператор любой динамической переменной должен быть линейным (см.
раздел 4.1.). В данном случаеоператоры проекций спина действуют на функции дискретной переменной, поэтому правила преобразования должны иметь вид(Sx )σσ Φ(σ ),(Ŝx Φ)(σ) =(Ŝy Φ)(σ) =σσ(Ŝz Φ)(σ) =(Sy )σσ Φ(σ ),(11.12)(Sz )σσ Φ(σ ),σгде (Sx )σσ , (Sx )σσ , (Sx )σσ — числовые коэффициенты, которые не зависят от видафункции Φ. Оставляем читателю в качестве упражнения проверку того, что операторы проекций спина, действие которых определено формулами (11.12), действительно являются линейными операторами, т.
е. выполняются соотношения (4.2).Формулы (11.12) справедливы для произвольного значения спина частицы s. Вдальнейшем мы ограничимся случаем s = 1/2, поскольку в практических приложениях квантовой механики особую роль играет спин электрона. В этом случае107каждый из операторов Ŝx , Ŝy , Ŝz характеризуется четырьмя коэффициентами, которые можно записать в виде матриц операторов спина(Sk ) 1 , − 1(Sk ) 1 , 12 222,k = x, y, z.(11.13)(Sk ) =(Sk )− 1 , 1 (Sk )− 1 , − 12222По существу, эти матрицы полностью определяют действие операторов Ŝx , Ŝy Ŝzна произвольную волновую функцию частицы, поэтому для краткости они самичасто называются операторами спина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
