kkvant (1083120), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Предлагаем читателю самостоятельно найти Sx в случае, когда ψ1/2 = ψ−1/2 (см. упражнение 11.5.).11211.3.Полный момент импульса частицы со спиномИтак, в квантовой механике имеется два рода момента импульса: орбитальныймомент импульса, связанный с движением частицы в пространстве, и собственныйˆ и S.ˆ Предположим,(спиновый) момент импульса. Им соответствуют операторы Lчто некоторый прибор способен измерять момент импульса частицы, например,значения проекции момента импульса на ось z. Поскольку частица может обладатькак орбитальным, так и спиновым моментом импульса, возникает естественный вопрос: каковы возможные результаты измерения полного момента импульса? Дляответа на этот вопрос нужно решить задачу на собственные функции и собственные значения соответствующего оператора полного момента, который обычноˆ Ясно, что этот оператор должен быть как-то построен из опеобозначается J.ˆ Поскольку все три оператора описывают векторные физическиеˆ и S.раторов Lвеличины, наиболее естественно взять выражениеˆ ˆ ˆ+S.J = L(11.33)Разумеется, это всего лишь предположение, но оказывается, что все следствия изнего согласуются с известными экспериментальными данными.Некоторые свойства оператора полного момента можно выяснить, опираясьтолько на формулу (11.33) и общие сведения из алгебры операторов, изложеннойˆв параграфах 4 и 5.
Прежде всего отметим, что оператор J действует на волновыефункции ψ(r, σ, t), зависящие от координат частицы и от спиновой переменной σ.ˆ и Sˆ действуют на различные переменные волновой функции, то ониТак как Lкоммутируют друг с другом, т. е.[L̂i , Ŝk ] = 0,i = x, y, z,k = x, y, z.(11.34)Вспоминая коммутационные соотношения (4.17) и (11.17) для проекций оператороворбитального и спинового моментов, легко проверить (оставляем это читателю),что коммутационные соотношения для проекций полного момента имеют аналогичный вид:[Jˆx , Jˆy ] = iJˆz ,[Jˆy , Jˆz ] = iJˆx ,[Jˆz , Jˆx ] = iJˆy .(11.35)Обсудим теперь вопрос о собственных значениях и собственных функциях оператора полного момента частицы со спином. Так как операторы Jˆx , Jˆy и Jˆz некоммутируют друг с другом, то в одном квантовом состоянии все три проекциимомента не могут иметь точно определенные значения.
С другой стороны, с помощью формул (11.35) можно убедиться, что оператор квадрата моментаJˆ2 = Jˆx2 + Jˆy2 + Jˆz2(11.36)коммутирует с каждым из операторов Jˆx , Jˆy и Jˆz . Таким образом, общие собственные функции имеет оператор Jˆ2 и оператор одной из проекций, например,113оператор Jˆz , где ось z выбрана в качестве оси квантования полного момента. Читатель заметил, конечно, что здесь ситуация точно такая же, как для орбитальногои спинового моментов. Это не случайно, поскольку все дело в коммутационныхˆ Lˆ и S.ˆсоотношениях, которые одинаковы для операторов J,Итак, волновые функции состояний, в которых квадрат полного момента частицы и его проекция на ось квантования (ось z) имеют точные значения, являютсярешениями уравненийJˆ2 ψ = J 2 ψ,Jˆz ψ = Jz ψ,(11.37)где J 2 и Jz — собственные значения квадрата момента и его проекции.
По аналогиис орбитальным и спиновым моментами, эти собственные значения записываютсячерез квантовые числа j и mj , которые определяются формуламиJ 2 = 2 j(j + 1),Jz = m j .(11.38)Уравнения (11.37) удобно рассматривать в сферической системе координат, таккак операторы Jˆ2 и Jˆz действуют на спиновую переменную σ волновых функцийи на угловые переменные ϑ, ϕ, но не действуют на радиальную переменную r.Поэтому можно считать, что в уравнениях (11.37) ψ = ψ(ϑ, ϕ, σ).Прежде чем продолжить обсуждение уравнений (11.37), отметим одно важноеобстоятельство. С помощью выражения (11.33) оператор квадрата полного момента записывается в таком виде:ˆ ˆˆ .ˆ · SJˆ2 ≡ J · J = L̂2 + Ŝ 2 + 2L(11.39)Отсюда следует, что Jˆ2 коммутирует с оператором L̂2 .
Действительно, L̂2 коммутирует с первыми двумя операторами; это очевидно. Кроме того, мы знаем, чтоL̂2 коммутирует с L̂x , L̂y , L̂z . Поэтому он коммутирует и с последним операторомв (11.39).Заметим также, что [L̂2 , Jˆz ] = 0, поскольку L̂2 коммутирует с каждым слагаемым в выражении Jˆz = L̂z + Ŝz . Таким образом, три оператора Jˆ2 , Jˆz и L̂2 коммутируют друг с другом и, следовательно, они имеют общую систему собственныхфункций.
Иначе говоря, волновые функции ψljmj , которые являются решениямиуравнений (11.37), можно выбрать такими, что будут одновременно выполнятьсясоотношенияL̂2 ψlj mj = 2 l(l + 1)ψlj mj ,Jˆ2 ψlj mj = 2 j(j + 1)ψlj mj ,(11.40)Jˆz ψlj mj = mj ψlj mj ,где собственные значения оператора квадрата орбитального момента импульса выражены через квантовое число l, которое, как известно, может принимать значения 0, 1, 2, .
. .. Физический смысл соотношений (11.40) состоит в том, что существует набор квантовых состояний с волновыми функциями ψlj mj (r, σ), в которыхквадрат орбитального момента импульса частицы, квадрат полного момента и егопроекция на произвольную ось квантования z имеют точные значения. Легко проверить, что Ŝ 2 также коммутирует со всеми тремя операторами Jˆ2 , Jˆz и L̂2 , однако Ŝ 2 пропорционален единичному оператору и поэтому никаких дополнительных114возможных квантовых состояний, отличных от ψlj mj (r, σ), в связи с этим не возникает1 . Что касается операторов проекций спина и орбитального момента, то онине коммутируют с операторами Jˆ2 и Jˆz (проверьте!).Мы не будем останавливаться на математическом исследовании уравнений (11.40), позволяющем найти возможные значения квантовых чисел j и mjи соответствующие волновые функции ψljmj , так как в дальнейшем явный видэтих функций нам не понадобится.
При необходимости их можно найти в книгахпо квантовой механике (см., например, [2, 4]). Приведем лишь значения новыхквантовых чисел j и mj , которые определяют спектр квадрата полного моментаи его проекции на ось z. При заданном l, квантовое число j может приниматьзначенияj = | l − s|, | l − s + 1|, . . . , l + s,(11.41)где s — спиновое квантовое число, которое для одной частицы имеет фиксированное значение (например, для электрона s = 1/2). При каждом заданном j,квантовое число mj может принимать значенияmj = −j, −j + 1 . .
. , j.(11.42)Всего имеется 2j + 1 состояний с различными значениями проекции Jz .В качестве иллюстрации найдем возможные значения квадрата полного момента и его проекции для электрона (s = 1/2). Начнем с состояний с l = 0, вкоторых орбитальный момент импульса равен нулю. В этом случае, согласно формуле (11.41), имеется только одна возможность: j = 1/2.
Квантовое число mjможет принимать два значения −1/2 или 1/2, которые соответствуют двум значениям проекции полного момента электрона: Jz = −/2 и Jz = /2. С физическойточки зрения это означает, что в состоянии с нулевым орбитальным моментомимпульса полный момент электрона совпадает с его спиновым моментом. Для состояний с l ≥ 1 квантовое число j может принимать два значения: j = l ± 1/2.Если, например, l = 1, то возможные значения j таковы: j = 1/2 и j = 3/2.Иногда для наглядности говорят, что в первом состоянии орбитальный и спиновый моменты электрона “направлены в противоположные стороны”, а во второмсостоянии они “параллельны”. Отметим, однако, что к любым подобным аналогиям следует относиться с осторожностью, так как “сложение” квантовых моментовнельзя представлять себе как сложение обычных векторов. Приведем простой пример, показывающий, что в квантовой механике “классическая интуиция” нередкоподводит.
Предположим, что спиновое число частицы s равно единице. Тогда всостоянии с l = 1 квантовое число j может иметь значения j = 0, j = 1, j = 2.Если первое и третье состояния можно представить себе как состояния, в которыхорбитальный и спиновый момент “параллельны” или “антипараллельны”, то длясостояния c j = 1 такой наглядной картины нет.Остановимся теперь на одном вопросе, который часто приводит к недоразумениям при первом знакомстве с правилами сложения моментов в квантовой механике. Заметим, что имеется два различных набора волновых функций, которыеможно использовать для характеристики возможных квантовых состояний частицы со спиновым и орбитальным моментами. Один набор состоит из функций ψlj mj .1Во всех квантовых состояниях квадрат спина частицы S 2 равен 2 s(s + 1).115Они являются собственными функциями операторов L̂2 , Jˆ2 и Jˆz .
Однако мы можем использовать и другой набор волновых функций ψlmms , которые являютсясобственными функциями трех коммутирующих друг с другом операторов: L̂2 ,L̂z и Ŝz . Эти волновые функции описывают квантовые состояния, в которых одновременно имеют точные значения квадрат орбитального момента импульса, егопроекция на ось квантования и проекция спинового момента на ту же ось.
Явноевыражение для функции ψlmms имеет видψlmms (ϑ, ϕ, σ) = Ylm (ϑ, ϕ) χms (σ),(11.43)где Ylm — сферическая функция, аχms (σ) = δσ, ms(11.44)— спиновая “волновая функция” состояния с проекцией спина Sz = ms . В случаеs = 1/2 ее можно также представить в виде одного из спиноров (11.11).Возникает вопрос: какой же из двух наборов волновых функций, {ψlj mj } или{ψlmms }, является “правильным”? Ответ кажется на первый взгляд парадоксальным: оба набора “правильные” в том смысле, что любую волновую функцию частицы можно представить как суперпозицию функций ψlj mj или как суперпозициюфункций ψlmms .
Нетрудно сообразить, что для этого нужно, чтобы функции изобоих наборов были связаны друг с другом линейными соотношениями. Действительно, можно доказать, чтоψlj mj (ϑ, ϕ, σ) =Cjmj ; mms ψlmms (ϑ, ϕ, σ),(11.45)m,msгде Cjmj ; mms — некоторые постоянные коэффициенты1 . Мы видим, что каждое изквантовых состояний ψlj mj с точно определенной проекцией полного момента естьсуперпозиция состояний с различными значениями проекций орбитального и спинового моментов. Хотя в состояниях ψlj mj каждая из динамических переменныхLz и Sz имеет квантовую неопределенность, легко доказать, что три квантовыечисла mj , m и ms всегда связаны соотношением mj = m + ms .
Действительно,подействуем на обе части равенства (11.45) оператором Jˆz . Так как ψlj mj — собственная функция этого оператора, то в левой части получим функцию mj ψljmj .Чтобы найти результат действия оператора Jˆz на функции, стоящие в правой части (11.45), воспользуемся формулой Jˆz = L̂z + Ŝz , которая следует из определения (11.33) оператора полного момента.
Волновые функции ψlmms являютсясобственными функциями L̂z и Ŝz , поэтому (после сокращения на ) приходим кравенствуmj ψljmj (ϑ, ϕ, σ) =(m + ms ) Cjmj ,mms ψlmms (ϑ, ϕ, σ).m,msЗначения этих коэффициентов зависят не только от выписанных индексов, но и отквантовых чисел l и s. Таблицы для Cjm ; mms приводятся в книгах по квантовой мехаjнике (см., например, [2]).1116Сравнивая его с (11.45), видим, что эти два равенства не противоречат друг другу,если коэффициенты Cjmj ; mms отличны от нуля только в случае, когда ms +m = mj .Таким образом, в формуле (11.45) одна из сумм снимается и, с учетом выражения (11.43), получаемψljmj (ϑ, ϕ, σ) =Cj mj ; mj −ms , ms Yl,mj −ms (ϑ, ϕ) χms (σ).(11.46)msДля иллюстрации рассмотрим электрон (s = 1/2, ms = ±1/2), находящийся сp-состоянии (l = 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
