kkvant (1083120), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Как мы уже выяснили, квантовое число j может при этомпринимать значения j = 1/2 и j = 3/2. Ограничимся состояниями с j = 1/2, длякоторых mj = ±1/2. Тогда из формулы (11.46) находим, чтоψ1 1 1 (ϑ, ϕ, σ) = C 112 22 2;012Y10 χ 1 + C 1212 2; 1, − 12Y11 χ− 1 ,2(11.47)ψ1 1 , − 1 (ϑ, ϕ, σ) = C 1 , − 1 ; −1, 1 Y1,−1 χ 1 + C 1 , − 1 ; 0, − 1 Y10 χ− 1 .2222222222Ради краткости мы не выписали аргументы сферических функций Ylm (ϑ, ϕ) и спиновых функций χms (σ). В качестве упражнения предлагаем читателю записатьаналогичные формулы для волновых функций ψ1 3 m (ϑ, ϕ, σ).211.4.jСтационарные состояния водородоподобного атомас учетом спина электронаПри изучении стационарных состояний водородоподобного атома в разделе 9.2.не учитывался спин электрона. Интересно выяснить, как влияет наличие спинау электрона на значения уровней энергии (9.19).
Мы уже отмечали, что спин —явление релятивистское, поэтому последовательная квантовая теория водородоподобного атома должна быть основана на релятивистском обобщении уравненияШредингера. Такое обобщение было получено Полем Дираком в 1928 году. Уравнение Дирака гораздо сложнее, чем уравнение Шредингера и его исследованиевыходит за рамки излагаемого здесь элементарного курса. Поэтому мы ограничимся некоторыми основными результатами этого исследования, которые важныдля качественного понимания строения атома и его свойств.Хотя полное уравнение Дирака является весьма сложным, применение его ктеории атома облегчается тем обстоятельством, что средняя скорость движенияэлектрона v мала по сравнению со скоростью света c и, следовательно, релятивистские поправки к спектру энергии (9.19) малы.
Это позволяет учесть их методамитеории возмущений, изложенной в параграфе 10. Предварительно нужно, конечно,построить гамильтониан электрона, пригодный для применения теории возмущений. Анализ уравнения Дирака показывает, что с точностью до членов порядка(v/c)2 гамильтониан электрона в водородоподобном атоме есть сумма операторовĤ = Ĥ (0) + W (r) + Ŵсп-орб ,гдеĤ (0) =p̂ 2Zq 2− e2mer(11.48)(11.49)117— гамильтониан без учета релятивистских эффектов1 .
Только эта часть гамильтониана и использовалась в разделе 9.2. Функция W (r), явный вид которой мыне будем приводить, представляет собой поправку к кулоновскому полю ядра икачественно не меняет структуру уровней. Более интересен последний оператор вгамильтониане (11.48). Он называется оператором спин-орбитального взаимодействия и дается формулойZqe2 ˆ ˆŴсп-орб =S·L .(11.50)2m2e c2 r3Видно, этот оператор изменяет спиновое состояние электрона.Приведенных сведений достаточно, чтобы понять основные свойства стационарных состояний водородоподобного атома, который описывается гамильтонианом (11.48).
Читатель уже должен знать, что при изучении стационарных состояний важно выяснить, операторы каких динамических переменных коммутируют сгамильтонианом, так как в стационарном состоянии эти динамические переменныеимеют определенные значения одновременно с энергией. Невозмущенный гамильтониан (11.49) описывает движение электрона в центральном кулоновском полеядра. Как мы выяснили в параграфе 9, его удобно записывать в сферическойсистеме координат. Согласно формуле (9.5), имеем2 1 ∂Zqe2L̂2(0)2 ∂−r+.(11.51)Ĥ = −2me r2 ∂r∂r2me r2rНапомним, что Ĥ (0) коммутирует с операторами L̂2 и L̂z , поэтому волновые функции невозмущенных стационарных состояний характеризуются квантовыми числами l и m, определяющими значения квадрата орбитального момента импульсаэлектрона и его проекции на ось квантования z.
При решении уравнения для радиальной части волновой функции возникает еще одно (главное) квантовое числоn, определяющее значения энергии атома [см. формулу (9.19)]. Поскольку мысобираемся применять теорию возмущений, эти собственные значения оператораĤ (0) обозначим стандартным образом:En(0) = −Z 2me qe4 1,22 n2n = 1, 2, . . .(11.52)Волновые функции невозмущенных стационарных состояний даются формулой (9.21). В рассматриваемом случае мы учитываем еще одну степень свободыэлектрона — спин. Очевидно, что операторы Ŝ 2 и Ŝz коммутируют с гамильтонианом Ĥ (0) , поэтому невозмущенные стационарные состояния электронадолжны характеризоваться также соответствующими квантовыми числами s иms .
Для электрона во всех состояниях s = 1/2, так что нужно лишь указатьзначение магнитного спинового числа ms , которое определяет проекцию спинана ось z. Итак, волновые функции невозмущенных стационарных состоянийводородоподобного атома с учетом спина электрона имеют вид(0)ψnlmms (r, ϑ, ϕ, σ) = Rnl (r) Ylm (ϑ, ϕ) χms (σ).(11.53)В формуле (11.49) me — масса электрона, а при записи потенциальной энергии вкулоновском поле ядра использовано сокращенное обозначение (9.15).1118Напомним, что невозмущенные уровни (11.52), за исключением основного уровняс n = 1, вырождены по квантовым числам l и m; кратность вырождения равнаn2 .
С учетом спина электрона кратность вырождения равна 2n2 , так как спиновоемагнитное число может принимать два значения ms = ±1/2. Заметим, что иосновной уровень двукратно вырожден по значению проекции спина электрона.В принципе, теперь для расчета спектра энергии атома можно применить теорию возмущений по операторам W и Ŵсп-орб в гамильтониане (11.48). Посколькуневозмущенные уровни энергии вырождены, нужно воспользоваться методом, изложенным в разделе 10.3. Этот путь, однако, является очень сложным из-за большой кратности вырождения уровней (11.52), особенно при больших n. Поэтомумы кратко изложим другой, значительно более простой, способ приближенноговычисления спектра энергии.
Он основан на некоторых особенностях гамильтониана (11.48), позволяющих “угадать” структуру его собственных функций.Попробуем выяснить, какими квантовыми числами будут характеризоватьсясобственные функции гамильтониана (11.48). Основная проблема связана с оператором спин-орбитального взаимодействия (11.50), поскольку W (r), как уже говорилось, дает поправку в потенциальную энергию электрона, которая по-прежнемузависит лишь от радиальной переменной r, т.
е. поле, в котором движется электрон, остается центральным. Итак, займемся оператором спин-орбитального взаимодействия. Из формулы (11.39) находим, чтоˆ ˆ 1 ˆ222(11.54)J − L̂ − Ŝ .L·S =2Подставляя это выражение в (11.50), получаемZqe2 ˆ222−L̂−ŜJ.(11.55)Ŵсп-орб =4m2e c2 r3Такая запись позволяет доказать важные свойства гамильтониана (11.48) (см.упражнение 11.6.):[Jˆ2 , Ĥ] = 0,[Jˆz , Ĥ] = 0,[L̂2 , Ĥ] = 0.(11.56)Отсюда следует, что в стационарных состояниях одновременно с энергией атомаимеют точные значения квадрат полного момента импульса электрона, его проекция на ось квантования z и квадрат орбитального момента импульса.
Иначеговоря, собственные функции гамильтониана (11.48) будут также собственнымифункциями Jˆ2 , Jˆz и L̂2 . Поэтому решение стационарного уравнения ШредингераĤψ = Eψ можно искать в видеψ(r, ϑ, ϕ, σ) = R(r) ψlj mj (ϑ, ϕ, σ),(11.57)где функции ψlj mj (ϑ, ϕ, σ) даются формулой (11.46). Заметим, что тогда уравненияJˆ2 ψ = 2 j(j + 1) ψ,Jˆz ψ = mj ψ,L̂2 ψ = 2 l(l + 1) ψ(11.58)удовлетворяются точно, и теорию возмущений нужно применять лишь при решении уравнения для радиальной части волновой функции1 . Если пренебречь W иМы оставляем читателю проверку того, что при подстановке функции (11.57) в стационарное уравнение Шредингера переменные разделяются и для радиальной части волновой функции R(r) получается замкнутое уравнение (см. упражнение 11.7.).1119Ŵсп-орб в гамильтониане (11.48), то в качестве нулевого приближения для возможных радиальных функций мы получим функции Rnl (r), которые рассматривалисьв разделе 9.3., а для уровней энергии — нулевое приближение (11.52).
Таким образом, для вычисления поправки к уровням энергии в качестве волновых функцийнулевого приближения разумно использовать не набор (11.53), а функции(0)ψnlj mj (r, ϑ, ϕ, σ) = Rnl (r) ψlj mj (ϑ, ϕ, σ).(11.59)Эти функции нормированы на единицу и ортогональны друг к другу, если у нихотличается хотя бы один из индексов. Кроме того, они являются собственными функциями гамильтониана Ĥ (0) . Наконец, легко проверить, что недиагональные матричные элементы операторов W и Ŵсп-орб по этим функциям равны нулю(оставляем проверку читателю).
Тогда, как было показано в разделе 10.3., перваяпоправка к уровням энергии равна диагональному матричному элементу оператора возмущения по волновым функциям нулевого приближения, т. е. в данномслучае имеем1(0)(0)En(1) = ψnljmj |(W + Ŵсп-орб )|ψnljmj .(11.60)Можно ли реально вычислить эту поправку? На первый взгляд кажется, что эточрезвычайно трудная задача, так как требуется вычислить тройной интеграл попеременным r, ϑ и ϕ, а также сложные суммы по спиновым переменным, которыевозникают при действии оператора спин-орбитального взаимодействия (11.55) наволновые функции (11.46). Покажем, однако, что вычисление матричного элемента (11.60) сводится к относительно простым одномерным интегралам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
