kkvant (1083120), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Вдальнейшем мы увидим, что различия в симметрии волновых функций бозонови фермионов кардинально влияют на физические свойства квантовых систем. Внастоящее время все имеющиеся экспериментальные данные подтверждают справедливость постулатов симметризации волновых функций.12.3.Статистика Бозе-ЭйнштейнаПростейшей моделью квантовой системы является модель, в которой взаимодействие между частицами является слабым, так что в нулевом приближении имможно вообще пренебречь.
Часто такую модель называют квантовым газом.Рассмотрим квантовый газ, состоящий из N невзаимодействующих бозонов.Гамильтониан системы можно записать в виде суммы одночастичных гамильтониановNĤ =Ĥk .(12.15)k=1Если, например, магнитное поле отсутствует и каждая из частиц независимо движется в некотором потенциальном поле U (r ), тоĤk =p̂2k2 2+ U (rk ) ≡ −∇ + U (rk ),2m2m k(12.16)где ∇2k — оператор Лапласа, действующий на координаты k-ой частицы.
В общем случае Ĥk может содержать операторы, которые действуют и на спиновуюпеременную.Легко проверить (оставляем это читателю в качестве упражнения), что для системы, состоящей из невзаимодействующих частиц, переменные в уравнении Шредингера (12.4) разделяются, т. е. волновая функция всей системы есть произведение одночастичных волновых функций:Ψ(q1 , . .
. , qN , t) = Ψl1 (q1 , t)Ψl2 (q2 , t) · · · ΨlN (qN , t) ≡N.k=1Ψlk (qk , t),(12.17)где индексы lk характеризуют одночастичные состояния. Каждая из волновыхфункций Ψlk удовлетворяет одному и тому же одночастичному уравнению Шредингера∂Ψlki(12.18)= Ĥk Ψlk .∂tСогласно постулату, введенному в предыдущем разделе, волновая функция системы тождественных бозонов должна быть симметрична относительно перестановок частиц.
Волновая функция (12.17) не обладает этим свойством, если одночастичные функции Ψlk различны. Можно, однако, построить такую суперпозицию133функций (12.17), которая будет симметричной относительно перестановок тождественных частиц1 .Обозначим символом P оператор произвольной перестановки переменных {qk }в волновой функции системы2 .
Нетрудно проверить, что полное число всех такихперестановок равно N ! (см. упражнение 12.1.). Построим теперь функциюΨ(q1 , . . . , qN , t) = APP{Ψl1 (q1 , t)Ψl2 (q2 , t) · · · ΨlN (qN , t)},(12.19)где A — некоторая постоянная и суммирование ведется по всем возможным перестановкам частиц. Заметим, что переставлять можно не аргументы qk , и индексыlk одночастичных волновых функций — результат будет тем же. Ясно, что функция (12.19) будет теперь симметрична относительно перестановок частиц и можетпретендовать на звание волновой функции системы. Зачем нужна постоянная A?Дело в том, что если даже одночастичные волновые функции нормированы наединицу, то Ψ не удовлетворяет условию нормировки.
Постоянная A определяетсяиз этого условия [см. формулу (12.2)].Итак, произвольное квантовое состояние системы, состоящей из N невзаимодействующих бозонов, описывается симметризованными произведениями одночастичных волновых функций вида (12.19). А как строить волновые функции справильной симметрией для системы, в которой частицы взаимодействуют друг сдругом и этим взаимодействием нельзя пренебречь? Покажем, что и в этом случаесимметризованные произведения одночастичных волновых функций оказываютсяочень полезными.Пусть {ϕl (q)} — некоторый набор функций ϕl (q) ≡ ϕl (r, σ), удовлетворяющихусловиямϕl |ϕl ≡ϕ∗l (q)ϕl (q) dq = δll .(12.20)Кроме того, предположим, что этот набор функций является полным в том смысле,что любую одночастичную волновую функцию Ψ(q, t) можно представить в видеряда (суперпозиции)Ψ(q, t) =al (t) ϕl (q),(12.21)lгде al (t) — зависящие от времени комплексные коэффициенты. В дальнейшем будем называть функции ϕl (q) базисными одночастичными волновыми функциями, а квантовые состояния, которым они соответствуют, — базисными одночастичными состояниями3 .
Для базисных одночастичных состояний мы будеминогда использовать общепринятое обозначение | l.Напомним, что благодаря линейности уравнения Шредингера, любая суперпозицияего решений тоже будет решением этого уравнения.2Любую перестановку переменных в волновой функции можно осуществить последовательным применением нескольких операторов Pkk с некоторыми индексами.3Выбор функций ϕl (q) обычно диктуется физическими соображениями.
Например,для описания квантовых газов часто используются функции (11.25). В этом случае индекс l включает импульс частицы p и квантовое число ms , определяющее проекцию спинана ось квантования. Для системы электронов в атоме разумнее взять в качестве базисныходночастичных волновых функций собственные функции момента импульса, и т.д.1134Идея, которую мы теперь изложим, состоит в том, чтобы с помощью одночастичных функций {ϕl (q)} построить набор базисных волновых функций для системы, состоящей из N тождественных бозонов.
В качестве такого набора естественновзять симметризованные произведения одночастичных волновых функций1(s)Φl1 ,..., l (q1 , . . . , qN ) = Al1 ,..., lNNPP{ϕl1 (q1 ) ϕl2 (q2 ) · · · ϕlN (qN )},(12.22)где {l1 , . . . , lN } — произвольный набор индексов одночастичных состояний, Al1 ,..., lN— нормировочная постоянная. Как и в формуле (12.19), переставлять можно либоаргументы одночастичных функций, либо их индексы.Нужно проверить, что набор функций (12.22) удовлетворяет требованиям кбазисному набору волновых функций системы из N тождественных бозонов.
Вопервых, очевидно, что функции Φ(s) симметричны относительно перестановок ча(s)стиц, как и должно быть. Это хорошо. Посмотрим, являются ли функции Φl1 ,..., lN(s)и Φl ,..., l независимыми. Если ни один из индексов li не совпадает ни с одним1Nиз индексов lj , то, очевидно, что эти функции независимы, так как они построены по правилу (12.22) из различных одночастичных функций. Если же в наборе}, то{l1 , .
. . , lN } некоторые индексы совпадают с индексами из набора {l1 , . . . , lNдело обстоит сложнее. В качестве примера рассмотрим систему из N = 3 тожде(s)(s)ственных бозонов и построим две функции вида (12.22): Φl1 l1 l2 и Φl2 l1 l1 . Так каккаждая из функций симметрична относительно перестановки индексов, то фак(s)(s)тически эти функции совпадают! Заметим, однако, что функции Φl1 l2 l2 и Φl2 l1 l1являются независимыми.Таким образом, набор функций (12.22) сам по себе нельзя взять в качестве базисного, так как он содержит много совпадающих функций, которые формальноотличаются лишь перестановкой индексов одночастичных квантовых состояний.Как отобрать действительно различные функции? Поступим следующим образом.
Рассмотрим некоторый фиксированный набор индексов {l1 , . . . , lN }, средикоторых могут быть и одинаковые индексы. Как мы уже видели, порядок расположения индексов не важен, поскольку базисные волновые функции все равносимметричны относительно их перестановок. Поэтому каждый конкретный набориндексов {l1 , . .
. , lN } естественно характеризовать числами nl , где l пробегает всевозможные значения, а nl показывает, сколько раз l встречается в данном наборе. Каждое из чисел nl может принимать значения от 0 до N , но они должныудовлетворять очевидному условиюnl = N,(12.23)все lтак как число частиц в системе равно N .
Будем характеризовать симметризованные базисные волновые функции системы не набором индексов {l1 , . . . , lN }, а(s)набором чисел {nl }. Обозначим эти функции Φ{n } (q1 , . . . , qN ). Если наборы {nl }(s)(s)lllи {nl } различны, то функции Φ{n } и Φ{n } независимы. Кроме того, для них выВерхний индекс (s) волновой функции — первая буква английского слова “symmetric”— “симметричный”.1135полняется условие ортогональности (проверьте!)(s)(s)(s)∗ (s)Φ{n } |Φ{n } ≡ Φ{n } Φ{n } dq1 · · · dqN = 0,llllесли {nl } = {nl }.(12.24)Имеет смысл остановиться на связи между функциями (12.22) и функциями(s)Как уже отмечалось, в наборе {Φl1 ,..., l } много фактически совпадающихNфункций, которые формально отличаются лишь расположением индексов. Если(s)из них выбрать действительно различные функции, то мы получим набор {Φ{n } }.(s)Φ{n } .lКаждую из функций(s)(s)Φ{n }lможно записать в видеΦ{n } (q1 , .
. . , qN ) = A{nl }lPP{ϕl1 (q1 ) ϕl2 (q2 ) · · · ϕlN (qN )},l(12.25)где A{n } — нормировочная постоянная. Как выбрать индексы l1 , . . . , lN в правойlчасти, если задан набор чисел {nl } ? Для ответа на этот вопрос расположим значения индекса l в некотором порядке. Тогда набор {nl } есть последовательностьчисел n1 , n2 , . .
. Среди индексов li в правой части n1 раз должен встречаться индексl = 1, n2 раз — индекс l = 2 и т. д.1Проиллюстрируем это правило на конкретном примере. Чтобы избежать громоздких формул, возьмем случай N = 3. Предположим также, что спин частицравен нулю, и выберем в качестве одночастичных состояний | l состояния |p с(s)различными значениями импульса частицы p. Тогда каждая из функций Φ{n } хаpрактеризуется набором чисел {np }, причем сумма np по всем возможным p равна3. Иначе говоря, каждое из базисных состояний системы характеризуется тем, кактри частицы “распределены” по одночастичным состояниям с различными значениями импульса. Например, возможно такое базисное состояние системы, когдаnp1 = 2, np2 = 1, и np = 0 для всех импульсов, не равных p1 и p2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
