kkvant (1083120), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Соответствующаябазисная волновая функция имеет видΦ(s) (r1 , r2 , r3 ) = APP{ϕp1 (r1 ) ϕp1 (r2 ) ϕp2 (r3 )},(12.26)где1ϕp (r) = √ ei p·r/(12.27)V— нормированная на единицу волновая функция свободной бесспиновой частицыв объеме V . В правой части (12.26) стоит сумма 3! = 6 функций, в которых аргументы rk расставлены всеми возможными способами2 . Ясно, что три частицыможно распределить по одночастичным состояниям |p бесконечным числом спо(s)собов, поэтому базисный набор волновых функций системы {Φ{n } } невозможноpвыписать полностью.Так как число частиц N конечно, а возможных одночастичных состояний |l, какправило, бесконечно много, то последовательность n1 , n2 , .
. . содержит конечное числоненулевых членов и бесконечно много нулей.2Рекомендуем читателю выписать все эти функции в явном виде и убедиться, чтонекоторые из них совпадают друг с другом из-за того, что индекс p1 входит дважды.1136Вернемся к выражению (12.25) для базисных волновых функций системы бозонов. В него входит постоянная A{n } , которую нужно подобрать так, чтобы волlновая функция была нормирована на единицу.
Идея проста: нужно вычислить(s)(s)скалярное произведение Φ{n } | Φ{n } и потребовать, чтобы оно было равно едиllнице. Вычисление сводится к исследованию большого количества многомерныхинтегралов от произведений одночастичных функций, каждый из которых, однако, оказывается равен нулю или единице в силу условия (12.20). Мы не будемприводить детали всей этой процедуры и сразу выпишем результат для нормировочной постоянной:1A{nl } = (12.28)1/2 ..nl !N!все lПри записи этого выражения предполагается, что 0! = 1.
Появление множителяN ! связано с суммированием по перестановкам P частиц в симметризованных волновых функциях, в появление факториалов nl ! связано с тем обстоятельством, чтов случае nl ≥ 1 все перестановки одночастичных волновых функций с одинаковым(s)(s)индексом l дают одинаковый вклад в скалярное произведение Φ{n } | Φ{n } .llПодведем итоги. Мы выяснили, что в качестве базисных волновых функцийсистемы, состоящей из N тождественных бозонов, можно выбрать симметризованные произведения (12.25) любых функций ϕl (q), которые образуют полную и ортонормированную систему одночастичных волновых функций. Тогда произвольноеквантовое состояние системы бозонов описывается суперпозициейΨ(q1 , .
. . , qN , t) =(s)C ({nl }, t) Φ{n } (q1 , . . . , qN ),l{nl }(12.29)где суммирование ведется по всем наборам чисел nl , удовлетворяющим условию (12.23), а C ({nl }, t) — некоторые комплексные коэффициенты. Предлагаемчитателю самостоятельно доказать, что коэффициенты в разложении волновойфункции системы вычисляются по формуле (см. также упражнение 12.4.)(s)C ({nl }, t) = Φ{n } |Ψ(t)lи удовлетворяют условию|C ({nl }, t)|2 = 1,(12.30)(12.31){nl }которое следует из условия нормировки для функции Ψ(t).(s)Как уже отмечалось, явно выписать все базисные волновые функции Φ{n }lневозможно, однако формула (12.29) замечательна тем, что она дает нагляднуюкартину “строения” квантовых состояний системы, состоящей из тождественныхбозонов. В самом деле, из (12.29) видно, что произвольное квантовое состояние(s)системы есть суперпозиция состояний Φ{n } , в каждом из которых частицы какlто распределены по одночастичным состояниям | l.
Величины nl принято назы-137вать числами заполнения одночастичных состояний1 . Для незанятых состоянийnl = 0, а для занятых nl может принимать любое значение от 1 до N . В принципе,все N бозонов могут быть обнаружены в одном и том же одночастичном состоянии| l0 . Для такой базисной волновой функции nl0 = N и nl = 0, если l = l0 .Коэффициенты C ({nl }, t) в формуле (12.29) имеют смысл амплитуд вероятностей различных распределений частиц по состояниям | l, а |C ({nl }, t)|2 — вероятности этих распределений.
Заметим, что при этом тождественные частицыостаются “обезличенными” или “неразличимыми”, так как не указывается, какаяименно частица находится в данном одночастичном состоянии | l.Принято говорить, что частицы, для которых числа заполнения nl одночастичных квантовых состояний могут принимать все возможные значения от 0 до N ,подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна2 .
С этим связано и происхождениетермина “бозоны”.12.4.Статистика Ферми-ДиракаРассмотрим теперь квантовые системы, состоящие из тождественных частицс полуцелым спином, и попытаемся построить для них базисный набор волновыхфункций, аналогичный набору функций (12.25).Ясно, что в данном случае симметризованные произведения одночастичныхволновых функций не годятся, так как волновая функция системы фермионовдолжна быть антисимметричной, т. е. должна менять знак при перестановкелюбых двух частиц. Заметим, однако, что любая перестановка в наборе индексов{l1 , .
. . , lN } сводится к четному или нечетному числу перестановок пар частиц.Введем для каждой перестановки множитель (−1)P , который равен +1 или −1в зависимости от того, сводится данная перестановка к четному или нечетномучислу перестановок пар частиц. Тогда в качестве полностью антисимметричныхбазисных волновых функций системы можно взять функции3(a)Φ{n } (q1 , . . . , qN ) = A{nl }lP(−1)P P{ϕl1 (q1 ) ϕl2 (q2 ) · · · ϕlN (qN )}.(12.32)Рекомендуем читателю самостоятельно проверить, что эти функции удовлетворяют условию ортогональности(a)(a)(a)∗ (a)Φ{n } | Φ{n } ≡ Φ{n } Φ{n } dq1 · · · dqN = 0, если {nl } = {nl } ,(12.33)llllкоторое аналогично условию (12.24) для симметричных базисных волновых функций.Во избежании недоразумений подчеркнем, что не следует путать два понятия: “квантовое состояние системы” и “одночастичные состояния” | l, по которым распределяютсячастицы.2Индийский физик Бозе первым предложил описание квантовых состояний системыфотонов с помощью чисел заполнения.
Эйнштейн обобщил это описание на произвольныесистемы частиц с нулевым и целым спином.3Верхний индекс (a) у волновой функции — первая буква английского слова“antisymmetric” — “антисимметричный”.1138Как и в предыдущем разделе, набор чисел заполнения одночастичных состояний {nl } должен удовлетворять условию (12.23). Однако между функциями (12.32)и базисными волновыми функциями для системы бозонов имеется важное разли(a)чие: волновая функция Φ{n } равна нулю, если хотя бы для одного одночастичногоlсостояния | l соответствующее число заполнения превышает единицу, или, что тоже самое, если среди индексов l1 , . .
. , lN есть хотя бы два одинаковых. Пусть,например, l1 = l2 , т. е. одночастичное квантовое состояние | l1 заполнено двумяфермионами. При перестановке этих индексов происходит замена Φ(a) → −Φ(a) .Но, с другой стороны, индексы одинаковы, поэтому их перестановка не меняетфункцию Φ(a) . Это может быть только в случае, когда Φ(a) ≡ 0.Таким образом, любой набор чисел заполнения одночастичных квантовых состояний в базисных волновых функциях системы фермионов (12.32) всегда представляет собой последовательность нулей и единиц. Для свободных одночастичных состояний nl = 0, а для занятых nl = 1. Принято говорить, что частицы, длякоторых числа заполнения nl одночастичных квантовых состояний могут принимать лишь значения 0 и 1, подчиняются статистике Ферми-Дирака1 . Отсюдаи название таких частиц — “фермионы”.Вычисление нормировочной постоянной в формуле (12.32) производится также, как и в случае бозонов.
Результат, однако, проще (см. упражнение 12.5.):1A{nl } = √ ,N!(12.34)т. е. нормировочная постоянная для всех наборов чисел заполнения одна и та же.Для базисных волновых функций (12.32) существует компактная форма записи, которая удобна при небольшом числе частиц N в рассматриваемой системе.Предположим, что в базисном состоянии системы заполнены одночастичные состояния с индексами l1 , l2 , .
. . , lN . Тогда соответствующую волновую функцию (12.32)можно записать в виде так называемого детерминанта Слэтера ϕl (q1 ) ϕl (q2 ) 11 ϕ (q ) ϕ (q )l2 21 l2 1(a)Φ{n } (q1 , . . . , qN ) = √ lN! · · ···· ϕl (q1 ) ϕl (q2 )NN· · · ϕl1 (qN ) · · · ϕl2 (qN ) .······· · · ϕl (qN ) (12.35)NПри перестановке в детерминанте переменных любых двух частиц знак функции(a)Φ{n } изменяется, поскольку мы переставляем два столбца детерминанта. Кромеlтого, если среди индексов занятых одночастичных состояний есть хотя бы два(a)одинаковых, то Φ{n } = 0, поскольку детерминант тождественно обращается в нуль.lЛюбая волновая функция системы, состоящая из N тождественных фермионов,Название дано в честь итальянского физика Энрико Ферми и английского физикаПоля Дирака, которые независимо предложили изложенное здесь описание квантовыхсостояний систем частиц с полуцелым спином и выяснили ограничения на числа заполнения nl .1139может быть записана в виде ряда по базисным функциям (12.32):Ψ(q1 , .
. . , qN , t) =(a)C ({nl }, t) Φ{n } (q1 , . . . , qN ).{nl }l(12.36)В отличие от формулы (12.29), суммирование здесь ведется только по наборамчисел заполнения, состоящих из нулей и единиц. Коэффициенты C ({nl }, t) пред(a)ставляют собой амплитуды вероятности обнаружить систему в состояниях Φ{n }lс различными распределениями частиц по одночастичным состояниям | l. Этикоэффициенты удовлетворяют соотношению (12.31), которое обеспечивает нормировку волновой функции Ψ(t) на единицу.Очень часто ограничение на числа заполнения nl в базисных волновых функциях (12.32) формулируется в виде так называемого принципа запрета Паули:две тождественные частицы с полуцелым спином не могут находиться в одноми том же одночастичном квантовом состоянии | l.
В общем-то формула (12.36)говорит то же самое, так как ни в одной возможной волновой функции системыиз N фермионов не будет “примеси” такого базисного состояния Φ(a) , в которомnl ≥ 2 хотя бы для одного одночастичного состояния | l.Принцип запрета Паули справедлив для электронов, протонов и нейтронов, таккак все эти частицы обладают спином s = 1/2. Как мы увидим дальше, принципПаули играет важную роль в строении атомов и молекул.12.5.Волновые функции двух фермионовВ качестве иллюстрации общей теории рассмотрим простой пример: квантовуюсистему, состоящую из двух одинаковых фермионов со спином s = 1/2 (скажем,систему из двух электронов).
Предположим, что магнитное поле отсутствует, ипренебрежем спин-орбитальным взаимодействием. Тогда гамильтониан системызапишется в виде [ср. с (12.10)]Ĥ =1 2p̂ 1 + p̂ 22 + U (r1 ) + U (r2 ) + V (r1 , r2 ).2m(12.37)В данном случае гамильтониан не содержит операторов спина частиц. Поэтому,как легко проверить, координатные и спиновые переменные в уравнении Шредингера (12.4) разделяются, т. е. волновая функция системы может быть записана какпроизведение(12.38)Ψ(r1 σ1 , r2 σ2 , t) = Φ(r1 , r2 , t) χ(σ1 , σ2 ),где χ — произвольная, не зависящая от времени спиновая волновая функция1 , акоординатная волновая функция Φ удовлетворяет уравнению Шредингераi∂Φ= ĤΦ.∂t(12.39)Для частиц со спином s = 1/2 волновая функция (12.38) должна быть антисимметрична относительно перестановки переменных (r1 , σ1 ) ↔ (r2 , σ2 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
