kkvant (1083120), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Для про r ) и другиестоты в дальнейшем будем считать, что индукция магнитного поля B(поля, которые могут, в принципе, действовать на частицу, не зависят от времени.Предполагается, что влияние всех полей, за исключением магнитного поля, можно учесть, задавая потенциальную энергию частицы U (r ). С магнитным полемдело обстоит сложнее. Из курса общей физики читателю должно быть известно,что магнитное поле не является потенциальным. Иногда для введения магнитногополя в квантовую теорию используют “наводящие соображения” и аналогии, основанные на классической механике, однако все эти соображения требуют знанияклассической механики на уровне, выходящем далеко за рамки законов Ньютона.Поэтому мы просто сформулируем основное уравнение, описывающее движениечастицы в магнитном поле, а потом обсудим некоторые качественные особенностиэтого уравнения.Прежде всего отметим, что движение частицы в магнитном поле должно описываться волновой функцией ψ(r, σ, t), зависящей не только от пространственныхкоординат, но и от спиновой переменной, так как собственный магнитный моментчастицы, связанный со спином, взаимодействует с магнитным полем.Естественно предположить, что в рассматриваемом нерелятивистском пределеволновая функция должна удовлетворять уравнению Шредингераi∂ψ= Ĥψ∂t(11.71)с некоторым гамильтонианом Ĥ, действующим на координаты частицы и на спиновую переменную.
Фактически нам нужно лишь знать, как выглядит гамильтонианВ настоящее время установлено, что протон и нейтрон не являются элементарнымичастицами, как электрон, а состоят из заряженных элементарных частиц — так называемых кварков. Именно поэтому их магнитные свойства столь сильно отличаются отмагнитных свойств электрона.2Для электронов такое описание дает уже упоминавшееся уравнение Дирака.1124частицы в магнитном поле. Приведем выражение для этого гамильтониана (в системе единиц СИ):21 ˆ r ). r ) + U (r ) − µĤ =ˆs · B((11.72)p − q A(2mПоследнее слагаемое явно связано с магнитным полем: оно содержит индукцию В отсутствие магнитного поля первое слагаемое в гамильтомагнитного поля B.
такжениане должно быть оператором кинетической энергии. Поэтому вектор Aдолжен быть как-то связан с магнитным полем. Этот вектор хорошо известен вэлектродинамике и называется векторным потенциалом. Соотношение между и векторным потенциалом имеет видиндукцией B = rot A≡∇ × A,B(11.73)где символ “rot” означает ротор векторного поля. Представление индукции маг возможно потому, что одно из уравненийнитного поля в виде ротора поля A ≡ ∇ ·B всегдаМаксвелла утверждает, что дивергенция магнитного поля divB1равна нулю . Так как дивергенция ротора равна нулю, то уравнение Максвелла B = 0 выполняется автоматически, если B представлено в виде (11.73).
Следует∇·отметить, что выбор векторного потенциала, соответствующего заданному векто неоднозначен. В частности, к A можно прибавить градиент ∇fру индукции B,произвольной функции координат f (r ). Как видно из формулы (11.73), при этом останется таким же, поскольку ротор градиента равен нулю. Можно доказать,Bоднако, что неоднозначность в выборе векторного потенциала не сказывается назначениях наблюдаемых физических величин.Итак, в магнитном поле изменяется вид оператора кинетической энергии частицы [первое слагаемое в гамильтониане (11.72)]. Этим учитывается влияние магнитного поля на движение частицы в пространстве. Рассмотрим теперь последнееслагаемое, куда входит оператор собственного магнитного момента частицы µˆs .Физический смысл этого слагаемого нетрудно понять, обратившись снова к теории электромагнетизма.
Напомним, что во внешнем магнитном поле магнитный сталимомент µ любого тела стремится повернуться так, чтобы векторы µ и Bпараллельны. На этом явлении, как известно, основан принцип действия электромотора и такого устройства, как компас. Вращающий момент можно вычислить, зависящую от угла междуприписав телу механическую энергию Wмаг = −µ · B,магнитным моментом и полем. Из выражения (11.72) видно, что последнее слагаемое в гамильтониане описывает тот же самый эффект — действие магнитногополя на собственный магнитный момент частицы. Как обычно бывает в квантовоймеханике, динамическая переменная µs заменяется соответствующим оператором.Для электрона гамильтониан (11.72) часто записывается в форме, куда явноˆ Это легко сделать, если вспомнить соотношение (11.68)входит оператор спина S.между операторами спина и собственного магнитного момента.
Учитывая также,что для электрона q = −e, получаем21 ˆe ˆ Ĥ =S · B(r ),(11.74)p + eA(r ) + U (r ) +2memeЭто утверждение эквивалентно такому: поток магнитного поля через любую замкну всегда замкнуты.тую поверхность равен нулю, т. е. линии B1125где me — масса электрона.Стационарные состояния электрона и уровни энергии в магнитном поле находятся в результате решения стационарного уравнения Шредингера Ĥψ = Eψ,где гамильтониан имеет вид (11.74). В важном частном случае однородного поля направленного вдоль некоторой оси z, выражение для гамильтониана можноB,упростить. Легко проверить, например, что соотношение (11.73) выполняется, если проекции векторного потенциала выбрать такими:Ax = −By,Ay = Az = 0,(11.75)где B = const — величина индукции магнитного поля.
Тогда выражение (11.74)принимает видĤ =p̂y2p̂ 2eB1(p̂x − eBy)2 ++ z + U (r ) +Ŝ .2me2me 2meme z(11.76)Этот гамильтониан используется, например, при изучении расщепления энергетических уровней и спектральных линий водорода в магнитном поле, когда вкачестве функции U берется потенциальная энергия электрона в кулоновскомполе ядра. Кроме того, нужно учесть и релятивистские эффекты, которыеописываются слагаемыми W (r) и Ŵсп-орб в формуле (11.48).
Другое важноеприменение гамильтониана (11.76) — описание движения электронов проводимости кристалла в присутствии внешнего магнитного поля. В этом случае U —потенциальная энергия электрона в эффективном периодическом поле, котороесоздается атомами, расположенными в узлах кристаллической решетки.Упражнения11.1. Используя соотношения (11.12), проверить, что операторы проекций спина— линейные операторы.11.2.
Проверить равенства (11.14).Указание: Выражение Ŝi Ψ является спинором, который получается из спинораΨ при действии на него оператора Ŝi . Поэтому компоненты Ŝi Ψ совпадают созначениями функции (Ŝi ψ)(σ).11.3. С помощью формул (11.17) доказать, что оператор квадрата спина (11.15)коммутирует с операторами проекций Ŝx , Ŝy , Ŝz .Указание: Удобно воспользоваться тождествами (4.13) и (4.14). Например,[Ŝx , Ŝ 2 ] = [Ŝx , Ŝy2 ] + [Ŝx , Ŝz2 ] = [Ŝx , Ŝy ] Ŝy + Ŝy [Ŝx , Ŝy ] + [Ŝx , Ŝz ] Ŝz + Ŝz [Ŝx , Ŝz ].Теперь коммутаторы можно выразить из равенств (11.17).11.4. Непосредственно перемножая матрицы (11.18), проверить, что в случаеs = 1/2 справедливы следующие соотношения между операторами проекций спина:Ŝx Ŝy =iŜ ,2 zŜx Ŝy + Ŝy Ŝx = 0,Ŝy Ŝz =iŜ ,2 xŜz Ŝx =Ŝy Ŝz + Ŝz Ŝy = 0,iŜ ,2 yŜz Ŝx + Ŝx Ŝz = 0.(11.77)(11.78)126Таким образом, в случае s = 1/2 операторы проекций спина “антикоммутируют”друг с другом.11.5.
Используя формулу (11.31) для средних значений, показать, что в квантовом состоянии частицы с s = 1/2, которое описывается спинором 1Ψ = ψ(r ),1среднее значение Sx равно /2.Указание: При вычислении среднего учесть условие нормировки (11.9).11.6. Доказать коммутационные соотношения (11.56), где гамильтониан имеет вид (11.48), а оператор спин-орбитального взаимодействия дается выражением (11.55).Указание: Учесть, что операторы Jˆ2 , Jˆz действуют на угловые переменные волновой функции электрона ϑ и ϕ и спиновую переменную σ, а оператор L̂2 действуеттолько на угловые переменные.11.7. Подставить волновую функцию (11.57) в стационарное уравнение Шредингера Ĥψ = Eψ с гамильтонианом (11.48) и проверить, что для радиальнойчасти волновой функции получается уравнение2 1 d2 l(l + 1) Zqe22 d−−r++ W (r) + Wсп-орб (r) R(r) = E R(r),2me r2 drdr2me r2r(11.79)где функция Wсп-орб (r) имеет вид (11.61).Указание: Учесть, что волновая функция (11.57) удовлетворяет уравнениям (11.58).11.8.
С помощью выражения (11.65) для уровней энергии водородоподобногоатома, показать, что “полная ширина тонкой структуры” Dn при данном n равнаDn =Z 2 α2 (n − 1) (0)|En |.n2(11.80)Указание: Так как при данном n орбитальное квантовое число принимает значения l = 0, 1, . . . , n − 1, то, как легко проверить, максимальное и минимальноезначения квантового числа j в тонкой структуре равны jmax = n − 1/2, jmin = 1/2.Вычислить D3 и D2 для уровней атома водорода, показанных на Рис. 11.1.(0)(0)Сравнить эти величины с разностью невозмущенных уровней энергии E3 − E2 .Вычислить длины волн дуплета при расщеплении головной линии серии Бальмера.Считать, что наблюдаемые частоты в дуплете Ω и Ω есть средние значения частотωi и ωi (см. Рис. 11.1.).12.Квантовая механика системы частицДо сих пор мы рассматривали только те ситуации, в которых одна частицадвижется в заданном поле.
Однако подавляющее большинство реальных объектовсодержит несколько (а часто — довольно много) микрочастиц, взаимодействующихне только с внешними полями, но и друг с другом. Типичные примеры — атомы (за127исключением простейшего атома водорода), свойства которых зависят от кулоновского взаимодействия между электронами1 , молекулы, кристаллы. Число частицN , образующих систему, может составлять несколько десятков (для атомов и молекул), а для кристаллов N имеет порядок числа Авогадро NA ≈ 6, 02·1023 моль−1 .Таким образом, требуется обобщить законы квантовой механики на системы, состоящие из произвольного числа микрочастиц. К счастью, главные черты теориифактически остаются теми же, что и в случае одной частицы, хотя ее практическоеприменение к реальным физическим системам может оказаться весьма сложным.Как обычно бывает в физике, помогают удачно выбранные упрощенные модели иразумные приближения.12.1.Волновая функция и динамические переменныесистемы частицРассмотрим произвольную систему, состоящую из N частиц.
Будем нумероватьчастицы индексом k, принимающим значения 1, 2, . . . , N . Как и раньше, для каждой частицы введем набор переменных qk = (rk , σk ) ≡ (xk , yk , zk , σk ), включающийкоординаты и спиновую переменную. Спиновая переменная принимает 2sk +1 значение, где sk — спиновое квантовое число k-ой частицы2 . Для упрощения формулвесь набор переменных {qk } будет часто обозначаться одной буквой q.Действуя по аналогии с квантовой механикой одной частицы, введем несколько естественных постулатов.
Во-первых, будем считать, что квантовое состояниесистемы описывается волновой функцией Ψ(q, t) ≡ Ψ(q1 , q2 , . . . , qN , t), которая имеет смысл амплитуды вероятности значений координат всех частиц и проекций ихспинов на ось квантования. Точнее, величинаdw(q1 , q2 , . . . , qN , t) = |Ψ(q1 , q2 , . . . , qN , t)|2 dV1 dV2 · · · dVN ,(12.1)где dVk = dxk dyk dzk , есть вероятность того, что в момент времени t частица 1будет обнаружена в элементе объема dV1 со значением спиновой переменной σ1 ,частица 2 — в элементе объема dV2 со значением спиновой переменной σ2 и т. д.Согласно этому определению волновой функции, она должна удовлетворять условию нормировки2(12.2)|Ψ(q, t)| dq ≡ |Ψ(q1 , q2 , .
. . , qN , t)|2 dq1 dq2 · · · dqN = 1.+Как и в разделе 11.1., символ . . . dqk означает интегрирование по координатамчастицы и суммирование по всем возможным значениям ее спиновой переменной.Физическим величинам, характеризующим систему частиц, соответствуют линейные эрмитовые операторы Â, которые действуют, вообще говоря, на все переменные qk . Их наблюдаемые (средние) значения вычисляются по правилуtA = Ψ∗ ÂΨ dq1 dq2 · · · dqN .(12.3)Как мы увидим дальше, кулоновское отталкивание — самое сильное, но не единственное взаимодействие электронов в атомах.2Напомним, что спиновая переменная σ определяет возможные значения проекцииспина частицы на ось квантования.1128Оно является естественным обобщением правила вычисления средних значений динамических переменных для одной частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
