kkvant (1083120), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Все дело вудачном выборе волновых функций нулевого приближения (11.59). Хотя мы незнаем явного вида функций (11.46), но зато мы знаем, что они являются собственными функциями операторов Jˆ2 и L̂2 . Кроме того, оператор Ŝ 2 пропорционаленединичному оператору; для электрона Ŝ 2 = (32 /4) 1̂. Поэтому действие оператора спин-орбитального взаимодействия на волновые функции нулевого приближения (11.59) дает(0)(0)Ŵсп-орб ψnljmj = Wсп-орб (r) ψnljmj ,где введена функция радиальной переменной3Z2 qe2Wсп-орб (r) =j(j + 1) − l(l + 1) −.4m2e c2 r34(11.61)Предполагая, как обычно, что функции, зависящие от ϑ и ϕ, нормированы наединицу при интегрировании по телесному углу, нетрудно проверить, что формула (11.60) принимает видEn(1) =∞2Rnl(r) W (r) + Wсп-орб (r) r2 dr.(11.62)0Радиальные функции водородоподобного атома Rnl (r) хорошо известны, так чтозадача сводится к явному вычислению интегралов по r, которые удается вычислитьДля матричного элемента мы используем обозначение, приведенное в сноске настр.
95.1120точно. Мы не будем этим заниматься, а приведем лишь окончательный результат:1Z 2 α2 (0)3(1)En =En−.(11.63)nj + 1/2 4n(0)Здесь En — значения уровней энергии в нулевом приближении [см. (11.52)], а α— безразмерная постоянная:e21qe2≡≈.α=c4πε0 c137(11.64)Итак, с точностью до первой релятивистской поправки уровни энергии водородоподобного атома даются формулойZ 2 α213(0)Enj = En 1 +−.(11.65)nj + 1/2 4nЭтот результат довольно интересен и его стоит обсудить. Во-первых, видно, что с(0)учетом релятивистских эффектов вырожденный уровень энергии En расщепляется на несколько уровней, так как энергия зависит не только от главного квантового числа n, но и от квантового числа j, определяющего значение квадратаполного момента импульса электрона.
Впрочем, в разделе 10.3. уже отмечалось,что расщепление вырожденного уровня под действием возмущения — типичноеявление в квантовой механике. Несколько неожиданным является тот факт, чтоэнергия стационарного состояния не зависит от орбитального квантового числа l,хотя подынтегральная функция в формуле (11.62) зависит от него1 .
Таким образом, спектр энергии водородоподобного атома остается вырожденным и при учетерелятивистских эффектов. Для электрона квантовое число j принимает значенияj = 1/2 , 3/2 , 5/2, . . ., причем при заданном j орбитальное квантовое число можетиметь одно из двух значений: l = j ±1/2. Оба эти состояния соответствуют вырожденному уровню энергии.
Имеется также вырождение уровней и по квантовомучислу mj , которое определяет значение проекции полного момента электрона наось квантования. Это вырождение, однако, не является “случайным”; оно отражаетсферическую симметрию кулоновского поля ядра.Опишем кратко систему стационарных состояний водородоподобного атома сучетом спина электрона. В атомной физике стационарное состояние любой частицы в центральном поле принято обозначать символом nlj , где вместо n и j указываются конкретные значения этих квантовых чисел, а для орбитального квантовогочисла используются правила (9.13). Как видно из выражения (11.65), энергияуровней по-прежнему зависит в основном от главного квантового числа n; выражение в квадратных скобках близко к единице, так как α2 1. Поэтому состоянияэлектрона располагаются по значениям энергии следующим образом:1s1/2 ;2s1/2 , 2p1/2 , 2p3/2 ;−→ энергия состояний.3s1/2 , 3p1/2 , 3p3/2 , 3d3/2 , 3d5/2 ;...(11.66)Спектр энергии, который получается в результате точного решения релятивистскогоуравнения Дирака, также не зависит от l.1121Подчеркнуты пары состояний с одинаковой энергией.
Совокупность уровней с одинаковым значением главного квантового числа n называется тонкой структурой.Разность значений энергии уровней внутри тонкой структуры мала по сравнению с(0)(0)разностью En −En−1 благодаря малому значению постоянной α [см. (11.64)], которая называется постоянной тонкой структуры.
Тем не менее, наличие тонкойструктуры удается обнаружить с помощью оптических измерений.В качестве примера рассмотрим головную линию серии Бальмера в спектре излучения водорода. Она возникает в результате излучения фотона электроном приего переходе с уровня с n = 3 на уровень с n = 2. Поскольку задание только главного квантового числа еще не определяет полностью квантовое состояние электрона,возникает вопрос: между какими состояниями, показанными на схеме (11.66), возможны переходы? Для ответа на это вопрос необходимо учесть закон сохранениямомента импульса.
Фотон обладает собственным моментом импульса, равным ,поэтому при излучении или поглощении фотона момент импульса атома долженменяться так, чтобы сохранялся полный момент импульса системы “атом+фотон”.В квантовой механике доказывается, что при излучении и поглощении фотонадолжны выполняться так называемые правила отбора для квантовых чисел l иj, связанных с моментом импульса, а именно,∆l = ±1,∆j = 0, ±1 ,(11.67)где ∆l и ∆j — изменение квантовых чисел состояния атома при переходе.Таким образом, головной линии серии Бальмера в спектре излучения водорода соответствуют переходы электрона между следующими состояниями:3p3/2 → 2s1/2 ,3p1/2 → 2s1/2 ,3d3/2 → 2p1/2 ,3s1/2 → 2p1/2 ,3d5/2 → 2p3/2 ,3d3/2 → 2p3/2 ,3s1/2 → 2p3/2 ,Эти переходы схематически показанына Рис. 11.1.
Символами ωi и ωi обозначены частоты излучения при переходах.Из рисунка видно, что, в принциРис. 11.1.пе, вместо одной линии должно наблюдаться пять линий с близкими частотами. Однако оптическими приборами (типа дифракционной решетки) разрешить все пять линий обычно не удается. Реально наблюдается так называемый“дуплет” — две линии с некоторыми “средними” частотами ω и ω . Дело в том, что“полная ширина тонкой структуры” уровня En быстро уменьшается с ростом n (см.упражнение 11.8.), поэтому расщепление спектральных линий в серии Бальмераопределяется в основном тонкой структурой уровня с n = 2.
Две линии с частотами ωi на Рис. 11.1. сливаются в одну линию дуплета, а три линии с частотами122ωi сливаются в другую линию дуплета1 . Ясно, что не только головная линия, нои все другие линии серии Бальмера должны выглядеть как дуплеты с примерноодинаковым расстоянием между линиями в каждом дуплете. Именно это обычнои наблюдается в оптических экспериментах.
Отметим, однако, что в последниедесятилетия достигнутая точность оптических измерений, а также применение радиочастотной техники позволили полностью подтвердить выводы теории о тонкойструктуре уровней энергии атома водорода.11.5.Спиновый магнитный момент электронаВ разделе 8.4. отмечалось, что в квантовых состояниях, в которых отличенот нуля орбитальный момент импульса, электрон обладает магнитным моментом,причем операторы этих двух динамических переменных связаны между собой формулой (8.38).
Оказалось, что спин электрона также создает магнитный момент,который принято называть собственным или спиновым магнитным моментом. Грубо говоря, даже покоящийся электрон напоминает маленькую “магнитную стрелку”, способную реагировать на магнитное поле.Рассуждая по аналогии с орбитальным магнитным моментом, кажется естественным предположить, что оператор собственного магнитного момента электроˆ точно такой же формулой (8.38).на µˆs должен выражаться через оператор спина SОднако эксперименты, проведенные в первой трети XX века2 , показали, что коˆ для электрона вдвое больше, чем вэффициент пропорциональности между µˆs и Sформуле (8.38), т. е.e ˆS.µˆs = −(11.68)meПоскольку квадрат спина электрона в любом квантовом состоянии имеет значениеS 2 = 32 /4, а проекция Sz на ось квантования принимает значения Sz = ms , гдеms = ±1/2 — спиновое магнитное число, из формулы (11.68) следует, чтоµ2s = 3µ2B ,µsz = −2µB ms ,(11.69)где µB — магнетон Бора (8.40).
Таким образом, проекция собственного магнитного момента электрона на любую ось квантования z может принимать значенияµsz = ±µB . Отметим, что знаки проекций Sz и µsz в состоянии с заданным msпротивоположны.Собственным магнитным моментом обладает не только электрон, но и другиечастицы, а также атомы и атомные ядра. Связь между значениями спина тяжелых частиц и их собственным магнитным моментом более сложная, чем междуспином и магнитным моментом электрона.
Магнитный момент тяжелых частицобычно измеряют в единицах так называемого “ядерного магнетона” µN , которыйопределяется какeµµN =(11.70)≈ B ,2mp1836Таким образом, на Рис. 11.1. три верхних уровня энергии следовало расположитьочень близко друг к другу.2Наиболее известны эксперимент Эйнштейна и де Хааса и эксперимент Штерна и Герлаха, с которыми читатель должен быть знаком из курса общей физики.1123где mp — масса протона. По экспериментальным данным собственный магнитныймомент протона составляет 2, 793 µN и направлен вдоль спина. Удивительно, чтонейтрон, будучи электрически нейтральной частицей, тоже обладает собственныммагнитным моментом, равным 1, 913 µN , причем магнитный момент нейтрона направлен противоположно спину1 .11.6.Уравнение Шредингера для частицы в магнитном полеЛюбая частица, обладающая электрическим зарядом и (или) собственным магнитным моментом, взаимодействует с магнитным полем.
Строго говоря, это взаимодействие можно последовательно описать только в рамках релятивистской квантовой механики2 . Мы кратко остановимся на приближенном уравнении, справедливом в случае, когда скорость частицы мала по сравнению со скоростью света.Фактически этого приближения достаточно для исследования магнитных свойстватомов и вещества, так как скорости электронов всегда значительно меньше, чемскорость света c ≈ 3 · 108 м/с.Итак, пусть частица с зарядом q, массой m и собственным магнитным моментом, который описывается оператором µˆs , находится в магнитном поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
