kkvant (1083120), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Сэтой целью снова обратимся к уравнениям (10.16). Нас интересует уравнение дляam при m = n, поэтому запишем1 (0)(0)(2)En − Em+ En(1) + . . . a(1)m + am + . . . = (1)a+...+W+....= Wmn 1 + a(1)mknk(10.22)k=n(1)Чтобы найти am , достаточно оставить лишь члены первого порядка. Это даетa(1)m =Wmn(0)En(0)− Em(m = n).(10.23)(2)Теперь поправка второго порядка En к уровням энергии [см. (10.19)] записываетсякак W Wnm mn.(10.24)En(2) =(0)(0)E−Enmm=nМатричные элементы оператора возмущения, определяемые формулой (10.15), —(2)комплексные числа. Покажем, однако, что поправка En к уровню энергии — действительная величина.
Для этого придется вспомнить кое-что из теории операторов. Очевидно, что Ŵ — эрмитовый оператор, поскольку он входит в гамильтониан (10.9). Поэтому из равенства Ŵ † = Ŵ и свойства (4.6) эрмитовых операторовследует, что матричные элементы (10.15) удовлетворяют соотношениям∗Wmn = Wnm.(10.25)Напомним, что мы ищем поправки к уровню энергии En , поэтому во всех уравненияхc m = n нужно положить E = En .199Теперь выражение (10.24) можно представить в формеEn(2) =|Wnm |2(0)(0)m=n En − Em(10.26),(2)откуда сразу видно, что En — действительная величина.Можно подвести некоторые итоги.
Во-первых, мы нашли, что собственные значения гамильтониана (10.9) (т.е. спектр энергии) с точностью до второго порядкапо возмущению даются формулойEn = En(0) + Wnn +|Wnm |2(0)(0)m=n En − Em— второе приближение,(10.27)(0)где En — уровни энергии в отсутствие возмущения.Далее, вспоминая разложение (10.12) собственных функций полного гамильтониана Ĥ по собственным функциям невозмущенного гамильтониана Ĥ (0) и результат (10.23) для первой поправки к коэффициентам am , находим, что собственныефункции гамильтониана (10.9) с точностью до членов первого порядка по возмущению имеют вид (0) Wmnψn +ψ (0) .(10.28)ψn = 1 + a(1)n(0)(0) mE−Enmm=n(1)Величина an в первом слагаемом пока остается произвольной.
Естественновыбрать ее так, чтобы волновые функции ψn были нормированы на единицу:ψn |ψn = 1. Составляя скалярное произведение с помощью формулы (10.28) иучитывая условие (10.11) для волновых функций нулевого приближения, получим2 +ψn |ψn = 1 + a(1)nm=n|Wnm |2(0)(0)En − Em2 .(10.29)Сумма в этом выражении имеет второй порядок по возмущению и в первом приближении, которое мы рассматриваем, ею можно пренебречь.
Тогда условие норми(1)ровки для ψn выполняется, если положить an = 0. Итак, в первом приближенииволновые функции стационарных состояний записываются какψn = ψn(0) +Wmn(0)m=n En−(0)Em(0)ψm— первое приближение.(10.30)Выражения (10.27) и (10.30) позволяют сформулировать условие применимоститеории возмущений. Действительно, для того, чтобы поправки к уровням энергиии собственным функциям были малы, должно выполняться неравенство(0) ,|Wnm | En(0) − Em(10.31)100т.
е. матричные элементы оператора возмущения Ŵ должны быть малы по сравнению с разностями невозмущенных уровней энергии.Действуя по той же схеме, можно найти поправки высших порядков к уровням энергии и волновым функциям стационарных состояний. Ясно, что с ростомпорядка приближения математические преобразования и окончательные формулыусложняются. Впрочем, в задачах, где выполняется условие применимости теориивозмущений (10.31), обычно вполне достаточно выражений (10.27) и (10.30).10.3.Теория возмущений для вырожденногоэнергетического уровня(0)Предположим теперь, что невозмущенный уровень энергии En вырожден, т.
е.(0)ему соответствуют несколько линейно независимых собственных функций ψnα . Индекс α принимает значения 1, 2, . . . , s, где s — кратность вырождения уровня. Как(0)уже отмечалось в разделе 5.3., функции ψnα всегда можно выбрать такими, чтобыони были нормированы и ортогональны друг к другу:(0) (0)(0)∗ (0)ψnα dV = δαα .(10.32)ψnα |ψnα ≡ ψnαЯсно, что в случае вырождения невозмущенного уровня формулами (10.27)и (10.30) пользоваться нельзя, так как некоторые из знаменателей обращаютсяв нуль. Вырождение уровней энергии — довольно частое явление в квантовоймеханике1 , поэтому имеет смысл обсудить, как применять теорию возмущений квырожденному уровню.(0)Грубо говоря, идея состоит в том, чтобы перейти от функций ψnα к новымфункциям, для которых уже можно применять обычную теорию возмущений.Каждую из новых функций будем искать в виде разложенияψ=s(0)aα ψnα.(10.33)α=1Коэффициенты aα подберем из условия, чтобы та часть системы уравнений (10.7),(0)которая соответствует вырожденному уровню En , удовлетворялась точно.
Такимобразом, заменяя в (10.7) n → nα, m → nα , приходим к системе уравненийs(Hαα − E δαα ) aα = 0,(α = 1, 2, . . . , s),(10.34)α =1гдеHαα =(0)(0)∗Ĥψnα dVψnα(10.35)— матричные элементы гамильтониана по собственным функциям вырожденного уровня. Система линейных однородных уравнений (10.34) имеет отличные отнуля решения для aα при условии, что определитель матрицы, составленной изВ качестве примера напомним читателю, что все уровни энергии водородоподобногоатома, за исключением основного уровня, вырождены по квантовым числам l и m.1101коэффициентов при неизвестных, обращается в нуль. Таким образом получаемуравнение|Hαα − Eδαα | = 0 ,(10.36)которое называется секулярным уравнением1 . Это алгебраическое уравнениеs-й степени для E. Его s корней Eni , где i = 1, 2, . .
. , s, определяют новые уров(0)ни энергии вместо вырожденного уровня En . Говорят, что возмущение “снимает”вырождение и исходный s -кратно вырожденный уровень, вообще говоря, “расщепляется” на s уровней. Если некоторые из корней уравнения (10.36) совпадают, тоговорят, что вырождение снимается лишь частично. Ясно, что новая кратностьвырождения меньше, чем исходная.
Задача о нахождении уровней энергии причастичном снятии вырождения является более сложной и мы здесь этот случайрассматривать не будем (см., например, книгу [4]).Подставляя каждый из полученных корней уравнения (10.36) в систему уравнений (10.34) и решая ее, можно найти s функций ψni вида (10.33), которые вдальнейшем используются для построения теории возмущений. Эти функции часто называются правильными функциями нулевого приближения.В некоторых задачах оказывается, что недиагональные матричные элементы(0)оператора возмущения по волновым функциям ψnα равны нулю, т.
е. Wαα = 0,если α = α . Очевидно, что в таком случае будут равны нулю недиагональныематричные элементы полного гамильтониана Hαα и, следовательно, секулярноеуравнение (10.36) принимает очень простой вид(H11 − E) (H22 − E) · · · (Hss − E) = 0,(10.37)так как отличны от нуля только элементы определителя, стоящие на главной диагонали. Все s расщепленных уровней энергии легко находятся:(0)(0)|Ŵ |ψnα.Enα = Hαα = En(0) + Wαα ≡ En(0) + ψnα(10.38)(0)В данном случае сами функции ψnα являются правильными волновыми функциями нулевого приближения.10.4.Пример: двукратно вырожденный уровеньЯсно, что в общем случае секулярное уравнение (10.36) может оказаться до(0)вольно сложным, если кратность вырождения уровня En велика. В качестве(0)простого примера рассмотрим ситуацию, когда уровень энергии En для невозмущенного гамильтониана двукратно вырожден, т. е. ему соответствуют две взаимно(0)(0)ортогональные и нормированные на единицу волновые функции ψn1 и ψn2 .
Тогдасекулярное уравнение (10.36) сводится к уравнению второго порядка: H11 − EH12 = (H11 − E) (H22 − E) − |H12 |2 = 0 ,(10.39) HH−E2122В переводе на русский язык “secular equation” буквально означает “вековое уравнение”.Этот термин был заимствован из теории возмущений в небесной механике.1102∗где мы учли, что H21 = H12. Решая уравнение (10.39), находим два корня*1)(H11 + H22 ) + (H11 − H22 )2 + 4|H12 |2 ,En1 =2(10.40)*1)22En2 =(H11 + H22 ) − (H11 − H22 ) + 4|H12 | .2Эти формулы можно записать в другом виде, если вспомнить выражение (10.9)для(0)(0)гамильтониана. Так как обе функции ψn1 и ψn2 являются собственными функци(0)ями Ĥ (0) и соответствуют одному и тому же уровню энергии En , тоH11 = En(0) + W11 ,H22 = En(0) + W22 ,H12 = W12 .(0)(10.41)(0)Последнее равенство следует из того, что функции ψn1 и ψn2 ортогональны другк другу. Подстановка выражений (10.41) в (10.40) дает*1)(0)22=E++W)+(W−W)+4|W|,(W11En1112212n222(10.42)*1)(0)22(W11 + W22 ) − (W11 − W22 ) + 4|W12 | .En2 = En +2Эти формулы упрощаются в двух случаях.
Во-первых, если среднее значение(0)(0)возмущения в каждом из состояний ψn1 и ψn2 равно нулю, т. е. W11 = W22 = 0, тоEn1 = En(0) + |W12 |,En2 = En(0) − |W12 |,(W11 = W22 = 0).(10.43)Во-вторых, может оказаться, что матричный элемент W12 равен нулю. Тогдаиз (10.42) находим, чтоEn1 = En(0) + W11 ,En2 = En(0) + W22 ,(W12 = 0).(10.44)Эти выражения — частный случай общей формулы (10.38) для расщеплениявырожденного уровня, когда равны нулю недиагональные матричные элементыоператора возмущения.Упражнения10.1. Получить выражения (10.19) из уравнений (10.18) и (10.22).10.2. Проверить равенство (10.25).
Доказать, что для любого эрмитового оператора Â справедливо аналогичное равенство Amn = A∗nm , где матричные элементывычисляются по любой системе функций {ϕn }.10.3. Проверить выражения (10.41) для матричных элементов гамильтониана.10.4. Используя выражения (10.43) и (10.44) для корней секулярного уравнения, показать, что правильными волновыми функциями нулевого приближениядля двукратно вырожденного уровня являютсяa) а случае W11 = W22 = 0:1W21 (0)1W21 (0)(0)(0),ψ2 = √ ψn1 −;(10.45)ψ1 = √ ψn1 +ψψ|W12 | n2|W12 | n222103б) в случае W12 = 0:(0)ψ1 = ψn1 ,(0)ψ2 = ψn2 .(10.46)Указание: Из однородных уравнений (10.34) можно найти лишь связь междукоэффициентами a1 и a2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
