kkvant (1083120), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Поскольку каждомузначению l соответствует 2l + 1 различных значений m, кратность вырожденияуровня энергии при фиксированном квадрате момента импульса равна 2l + 1, т. е.ему соответствуют 2l + 1 возможных состояний частицы, отличающихся значениемпроекции момента импульса на ось квантования. Это вырождение уровней энергиисвязано со сферической симметрией центрального поля.Подведем основные итоги нашего обсуждения.• При движении в произвольном центральном силовом поле частица, находясьв стационарном состоянии, имеет определенные значения энергии, квадратамомента импульса и его проекции на ось квантования.• Уровни энергии частицы в любом центральном поле вырождены по магнитному квантовому числу m. При фиксированном l кратность вырожденияуровня энергии равна 2l + 1.• Угловая часть волновой функции стационарного состояния совпадает с собственной функцией Ylm (ϑ, ϕ) квадрата момента импульса и его проекции наось квантования, а радиальная часть R(r) удовлетворяет уравнению (9.9).В частности, всегда требуется, чтобы решение уравнения (9.9) было конечной и однозначной функцией.190По историческим причинам сложилась традиция обозначать состояния с различными значениями орбитального квантового числа l буквами латинского алфавита.Правила соответствия такие:l= 0s1p2d3f4g5h6i......(9.13)Состояние частицы с l = 0 называют s-состоянием, состояние с l = 1 называетсяp-состоянием и т.
д.9.2.Спектр энергии водородоподобного атомаПрименим теперь результаты исследования стационарных состояний частицыв центральном силовом поле к частному, но важному случаю движения электронав кулоновском поле атомного ядра. Напомним, что атомы с одним электрономназываются водородоподобными атомами.
К ним относится непосредственноатом водорода, ядро которого имеет заряд q = e, а также ионы более тяжелых атомов: однократно ионизованный атом гелия He+ (q = 2e), двукратно ионизованныйатом лития Li++ (q = 3e) и т. д. В общем случае мы должны рассмотреть движение электрона в кулоновском поле точечного положительного заряда q = Ze, гдеZ — порядковый номер элемента в таблице Менделеева. Потенциальная энергияэлектрона в таком поле имеет вид (в системе единиц СИ)Ze2U (r) = −.4πε0 r(9.14)Для упрощения формул введем обозначениеqe2 =e2.4πε0(9.15)Тогда выражение (9.14) для потенциальной энергии запишется так:U (r) = −Zqe2.r(9.16)Мы уже выяснили, что уровни энергии электрона находятся из уравнения (9.9)для радиальной части волновой функции.
В данном случае оно имеет вид1 dr2 drdRrdr22ml(l + 1)R + 2e−2rZq 2E+ erR = 0,(9.17)где, как обычно, me — масса электрона. Нас интересуют не произвольные решения уравнения (9.17), а только те, которые имеют физический смысл. Во-первых,функция R(r) должна быть однозначна, непрерывна и должна принимать конечные значения при любых значениях аргумента r. Далее, если волновая функция (9.8) описывает связанное состояние электрона в атоме, то R(r) должна стремиться к нулю при r → ∞.Как и предыдущем параграфе, где речь шла о произвольном центральном поле, для исследования уравнения (9.17) удобно сделать подстановку (9.10). Тогда,91учитывая явное выражение для потенциальной энергии электрона в кулоновскомполе ядра, приходим к уравнениюd2 χZqe22mel(l + 1)E+χ = 0.(9.18)+−dr22rr2Математическое исследование этого уравнения проводится примерно так же, какэто делалось в разделе 6.3.
при решении задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Мы опустим детали этого исследования1 и перечислим основные выводы.• Решения R(r) = χ(r)/r, которые описывают связанные состояния электронав атоме, то есть удовлетворяют условию R(r) → 0 при r → ∞, существуюттолько при значениях энергии E = En , которые нумеруются целым числомn ≥ (l + 1) и даются формулойme qe4 1En = −Z.22 n22(9.19)Целое число n называется главным квантовым числом. Так как азимутальное квантовое число l принимает значения 0, 1, 2, . .
., то возможныезначения главного квантового числа равныn = 1, 2, 3, . . .(9.20)Вспоминая выражение (9.15), видим, что в случае атома водорода (Z = 1)уровни энергии (9.19) точно совпадают с результатом (2.9) теории Бора2 .Все уровни энергии (9.19) отрицательны. Это легко понять, если вспомнить,что речь идет о связанных состояниях электрона в атоме. В самом деле, использование формулы (9.14) для потенциальной энергии соответствует тому, что нулевойпотенциальной энергией обладает свободный электрон, находящийся на бесконечном расстоянии от ядра.• Однозначные, конечные и непрерывные решения уравнения (9.17) существуют при любом значении E > 0, т.
е. в этом случае спектр энергии непрерывный. Квантовые состояния с E ≥ 0 соответствуют электрону, пролетающемуоколо ядра и снова уходящему на бесконечность.9.3.Стационарные состояния водородоподобного атомаИтак, для энергий стационарных состояний электрона в водородоподобных атомах квантовая механика дает тот же результат, что и теория Бора. Это ужехорошо, поскольку из формулы (9.19) следует предсказание спектра излучения,который прекрасно согласуется с экспериментальными данными.
Однако, в отличие от теории Бора, квантовая механика дает гораздо больше информации остационарных состояниях водородоподобного атома. Прежде всего напомним, чтоРешение уравнения (9.18) подробно рассмотрено, например, в учебниках [2, 4].Впрочем, очевидно, что результаты для уровней энергии в квантовой механике и втеории Бора совпадают для любого водородоподобного атома.1292координатная часть волновой функции (9.1) стационарного состояния характеризуется тремя квантовыми числами n, l, m и имеет видψnlm (r, ϑ, ϕ) = Rnl (r)Ylm (ϑ, ϕ) ,(9.21)где квантовые числа принимают значенияn = 1, 2, . . . ,l = 0, 1, . .
. , n − 1,m = −l, −l + 1, . . . , l .(9.22)Таким образом, в каждом стационарном состоянии имеют точные значения энергия электрона, квадрат момента импульса и его проекция на ось квантования.Функции Ylm (сферические функции), входящие в выражение (9.21), уже были рассмотрены в предыдущем параграфе. Мы не будем приводить громоздкого общеговыражения для радиальных функций Rnl (r). Представление о них дает следующаяформула:Rnl (r) = rl e−r/nrB · {полином от r степени (n − l − 1)},(9.23)где величинаrB =21 4πε0 20, 529 · 10−10 м≡=Zme qe2Z me e2Z(9.24)есть боровский радиус для водородоподобного атома.
Мы уже приводили егозначение для атома водорода (Z = 1) [см. (2.13)].Формула (9.19) говорит о том, что энергия электрона в водородоподобном атомеопределяется только значением главного квантового числа n. Таким образом,• Уровни энергии водородоподобного атома вырождены не только по магнитному квантовому числу m (как в любом центральном силовом поле), но и поорбитальному квантовому числу l.Вырождение уровней энергии по l характерно только для кулоновского поля.Кратность вырождения n-го уровня энергии энергии водородоподобного атомаравна (см. упражнение 9.3.):n−1(2l + 1) = n2 .(9.25)l=0Не вырожден только основной уровень энергии, т. е.
уровень с минимальнойэнергией, которому соответствуют значения квантовых чисел n = 1, l = 0, m = 0.Остановимся кратко на вопросе о нормировке волновых функций водородоподобного атома. Для того, чтобы квадрат модуля |ψnlm |2 имел смысл плотностивероятности, волновая функция (9.21) должна быть нормирована на единицу. Всферических координатах, где элемент объема имеет вид (8.24), условие нормировки гласит:∞22 2|ψnlm | dV = r Rnl (r) dr |Ylm |2 dΩ = 1.(9.26)0Ω93Вспоминая условие (8.23) для сферических функций, получаем условие нормировки для радиальных функций:∞2r2 Rnl(r) dr = 1 .(9.27)0Приведем выражения для нескольких нормированных радиальных функций:r2 e−r/rBe−r/2rBr e−r/2rBR10 =1−,R,R==(9.28)√√ 5/2 ,20213/23/22rBrB2 rB2 6 rBгде rB — боровский радиус (9.24).
Напомним, что R10 (r) соответствует основномусостоянию водородоподобного атома. Поэтому нормированная волновая функцияосновного состояния имеет видψ100 (r, ϑ, ϕ) = R10 (r)Y00 (ϑ, ϕ) = 13πrBe−r/rB .(9.29)Интегрируя плотность вероятности|ψnlm |2 по бесконечно тонкому шаровомуслою δVr радиуса r и толщины dr, получимвероятность dw(r) нахождения электронав этом слое, т. е. вероятность того, чторасстояние от электрона до ядра заключено в интервале от r до r + dr. Так какинтегрирование по слою δVr фактическисводится к интегрированию по полномутелесному углу Ω, то с учетом условиянормировки для сферических функций [см.формулу (8.23)], находим, что2(r) dr.dw(r) = r2 Rnl(9.30)2Рис. 9.1.(r) есть плотТаким образом, (r) = r2 Rnlность вероятности нахождения электрона на расстоянии r от ядра.
В частности, для основного состояния плотность вероятности имеет вид2(r) =(r) = r2 R104r2 −2r/rBe.3rB(9.31)Она показана на Рис. 9.1. Плотность вероятности имеет максимум при r = rB , т. е.боровский радиус совпадает с наиболее вероятным расстоянием электрона до ядра.Легко, однако, проверить прямым вычислением, что среднее расстояние междуэлектроном и ядром r отличается от боровского радиуса (см. упражнение 9.6.).94Упражнения9.1.
Вывести уравнение (9.9) для “радиальной волновой функции” R(r) стационарного состояния частицы в центральном силовом поле.9.2. Используя выражение (9.16) для потенциальной энергии в кулоновскомполе, построить примерные графики “эффективной потенциальной энергии” (9.12)для электрона в водородоподобном атоме в состояниях с l = 0 и l = 0.9.3. Прямым вычислением суммы проверить формулу (9.25) для кратности вырождения уровней водородоподобного атома.(l воспользоваться форУказание: Разбить сумму на две и при вычислениимулой для суммы арифметической прогрессии.9.4. Проверить, что волновая функция основного состояния водородоподобногоатома (9.29) удовлетворяет условию нормировки (9.26).9.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
