kkvant (1083120), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Используя явный вид волновой функции (7.10) в области x > 0, из граничных условий (7.9) получаем уравнения дляамплитуд:A1 + A2 = B,(7.13)k(A1 − A2 ) = k B.72Решая их относительно A2 и B (оставляем это читателю в качестве упражнения),а затем вычисляя коэффициенты отражения и прохождения по формулам (7.6)и (7.12), получаем2k − k4kk R=,D=.(7.14)k + k(k + k )2Легко проверить, что R + D = 1, как и должно быть по смыслу этих коэффициентов.Взглянем на результаты (7.14) с физической точки зрения. Наиболее интересното, что коэффициент отражения частиц не равен нулю! Напомним, что в классической механике все частицы с энергией, превышающей высоту стенки, проходятв область x > 0.
Поучительно также посмотреть, что дают формулы (7.14) в классическом пределе. Переход к классическому пределу означает, что длина волны деБройля падающих частиц стремится к нулю. Так как λ = 2π/k, то предел λ → 0соответствует пределу k → ∞. Волновое число k для прошедших частиц такжестремится к бесконечности, причем отношение k/k стремится к единице1 . Учитывая сказанное, из (7.14) находим, что в классическом пределе R → 0 и D → 1, каки должно быть.
Еще раз мы видим, что там, где работает классическая механика,ее выводы практически совпадают с выводами квантовой механики.Случай E < U0 . В этом случае классическая механика утверждает, что частицы не могут проникнуть в область x > 0. Посмотрим, что следует из уравненияШредингера (7.8). Теперь разность (E − U0 ) отрицательна, поэтому решениямиявляются действительные экспоненты:ψ(x) = B e−βx + B eβx ,β=12m(U0 − E) > 0.(7.15)Решение с растущей экспонентой следует, очевидно, отбросить как нефизическое2 ,поэтому в (7.15) B = 0. Для определения коэффициента B снова воспользуемсяграничными условиями (7.9), которые приводят к уравнениямA1 + A2 = B,(7.16)ik(A1 − A2 ) = −βB.Решая эти уравнения относительно A2 и B, находимA2 = −β + ikA,β − ik 1B=−2ikA.β − ik 1(7.17)Вычисление |A2 |2 ≡ A∗2 A2 дает |A2 |2 = |A1 |2 , поэтому R = 1.
Таким образом,все частицы отражаются, если их энергия меньше высоты потенциальной стенки. В этом отношении квантовая механика приводит к тому же результату, что иклассическая механика. Заметим, однако, что в области x > 0 волновая функциячастицы не равна нулю, так как в (7.15) B = 0. Для плотности вероятности |ψ(x)|2получаемx > 0.(7.18)|ψ(x)|2 = |B|2 e−2βx ≡ |ψ(0)|2 e−2βx ,√Поскольку k = 2mE/, то предел k → ∞ можно рассматривать как предел E → ∞.Тогда из (7.10) следует, что при фиксированной высоте стенки k /k → 1.2Плотность вероятности |ψ(x)|2 не может расти при x → ∞.173Итак, микрочастица может быть обнаружена там, куда по классическим законам она попасть не может. По классическим представлениям в области x > 0 приE < U0 частица имела бы отрицательную кинетическую энергию, что невозможно.Хотелось бы понять, почему в квантовой механике проникновение за потенциальную стенку становится возможным.Дело в том, что в случае E < U0 в области x > 0 у частицы нет точно определенного импульса и, следовательно, нет точно определенной кинетической энергии.Действительно, волновая функция ψ(x) = B exp(−βx) не является собственнойфункцией импульса.
Согласно соотношению неопределенностей Гайзенберга, у частицы должна быть и квантовая неопределенность координаты x, т. е. должнабыть отлична от нуля вероятность обнаружить частицу в области стенки. Как мывидим, уравнение Шредингера дает результаты, которые не противоречат соотношениям неопределенностей.7.2.Туннельный эффектРассмотрим теперь одномерное движениечастицы в поле с потенциальной энергией, показанной на Рис. 7.2. Такой вид потенциальной энергии принято называть потенциальным барьером.Предположим, что энергия частицы Eменьше высоты потенциального барьера U0 .Тогда, по классическим законам, частицане может пройти через барьер, посколькуэто противоречило бы закону сохраненияэнергии.Однако формула (7.18) подсказывает, что и для ситуации, показанной наРис. 7.2., волновая функция не будет равнанулю в области барьера.Следовательно,Рис.
7.2.будет отлична от нуля вероятность того, чточастица окажется за барьером, хотя для этогоей не хватает энергии!Прохождение частиц через потенциальный барьер, высота которого больше,чем энергия частицы, называется туннельным эффектом. Это название подчеркивает некоторую аналогию с ситуацией, когда энергии тела не хватает на то,чтобы преодолеть барьер, поднимаясь на его вершину, но имеется туннель, черезкоторый тело может оказаться по другую сторону барьера без затраты энергии наподъем. Следует, впрочем, иметь в виду, что туннельный эффект связан с наличием у микрочастиц волновых свойств, поэтому никакие классические аналогии немогут дать правильного объяснения этого удивительного явления в микромире.Мы не будем заново решать уравнение Шредингера для прямоугольного барьера, чтобы вычислить коэффициент прохождения D, хотя это сделать не намногосложнее, чем решить задачу о потенциальной стенке.
Оценим значение D дляширокого барьера, когда можно пренебречь влиянием граничных условий в точкеx = l и считать, что волновая функция в области барьера изменяется примерно также, как и в области потенциальной стенки из предыдущего примера. Подробныйанализ показывает, что это можно сделать, когда длина волны де Бройля частицыλ = 2π/k значительно меньше ширины барьера l. С физической точки зрения этот74случай соответствует почти классическому движению или, как принято говорить,квазиклассическому приближению.Таким образом, плотность потока частиц, прошедших через широкий барьер,оценивается какkjпр ≈(7.19)|ψ(l)|2 ,mгде |ψ(l)|2 находится из формулы (7.18) для потенциальной стенки.
Так как D =jпр /jпад , а плотность потока падающих частиц дается выражением (7.2), то длякоэффициента прохождения широкого прямоугольного барьера получаем оценку2−2βlD≈e= exp −2m(U0 − E) l .(7.20)Обратим внимание на то, что D → 0, если → 0.
Иначе говоря, в классическомпределе туннельный эффект исчезает.Коэффициент прохождения быстро уменьшается при увеличении массы частицы m, ширины барьера l и разности между высотой барьера U0 и энергией частицы E. Для макроскопических тел туннельный эффект наблюдать невозможно. Даже при сравнении D дляэлектронов и протонов, у которых отношениемасс примерно равно mp /me ≈ 2000, из (7.20)следует, что коэффициент прохождения дляпротонов меньше в 1019 раз.До сих пор наши рассуждения относилиськ потенциальному барьеру простейшей прямоугольной формы.
Ясно, однако, что качественные выводы справедливы и для барьераРис. 7.3.произвольной формы (см. Рис. 7.3.). В квазиклассическом приближении удается получитьуниверсальную формулу для коэффициента прохождения при известной координатной зависимости потенциальной энергии частицы U (x).
Эта формула имеетдовольно простой видx2 2D ≈ exp −2m (U (x) − E) dx . (7.21)x1Точки x1 и x2 показаны на Рис. 7.3. Они определяются из условия обращения вноль классического импульса частицы:U (x1 ) = U (x2 ) = E.(7.22)Точки x1 и x2 называются “классическими” точками поворота. Предлагаем читателю проверить, что в частном случае прямоугольного барьера формула (7.21) даетдля коэффициента прохождения результат (7.20).757.3.Примеры туннельного эффектаПриведем два примера явлений, где квантовый туннельный эффект играетключевую роль.Первый пример взят из ядерной физики. Многие тяжелые элементы обладают свойством естественной радиоактивности.
Состоит оно в том, что ядро атомарадиоактивного вещества случайным образом может испустить частицу и превратиться в другое ядро. Обычно при распаде ядра испускаются α-частицы (ядрагелия 2 He4 ) или β-частицы (электроны и их античастицы — позитроны). Дляопределенности мы будем говорить об α-распаде ядер урана, в результате чегообразуется ядро атома тория:23892 U→ 90 Th234 + 2 He4 .(7.23)Для того, чтобы этот распад был возможен, необходимо, чтобы энергия покоя ядраурана Eнач = MU c2 была больше, чем сумма энергий покоя продуктов распадаEкон = MTh c2 + mα c2 , где mα — масса α-частицы.
Тогда разность энергий покоя∆E = Eнач − Eкон выделится в виде кинетической энергии продуктов. Явныевычисления показывают, что ∆E > 0, то есть распад действительно возможен.Однако с точки зрения классическойфизики и “здравого смысла” некоторыеэкспериментальные факты кажутсявесьма странными.
В самом деле, еслиядро урана неустойчиво и способнораспадаться по схеме (7.23), то этодолжно произойти сразу и со всемиядрами.Между тем уран широкораспространен в земной коре, т. е.многие ядра урана просуществовали безраспада миллиарды лет. Распад ядрапроисходит случайно и очень редко. Впринципе, можно предположить, чтоядро становится неустойчивым лишьв результате некоторого воздействия.Приведем простой пример. Тело лежитРис.
7.4.внутри кратера вулкана и его состояниеявляется устойчивым. Если, однако,поднять тело на край кратера, увеличив тем самым его потенциальную энергию,то его состояние станет неустойчивым и тело скатится по склону вниз. Нопредположение о том, что радиоактивность вызвана внешними воздействиями,также противоречит экспериментальным фактам: ядра урана распадаются безвсякого воздействия, способного изменить состояние ядра.Объяснение загадок радиоактивного распада дала квантовая механика. Какизвестно, между нуклонами (протонами и нейтронами) действуют мощные силы притяжения, которые не дают ядру развалиться под действием кулоновскихсил отталкивания между протонами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
