kkvant (1083120), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Иногда силы притяжения между нуклонамиприводят к образованию связанных комплексов, из которых наиболее устойчивымявляется α-частица, состоящая из двух протонов и двух нейтронов. Внутри ядраα-частица движется в потенциальной яме, схематически изображенной на Рис.
7.4.76Там же показан основной уровень энергии α-частицы (E). Начало координат помещено в центре ядра, r0 — радиус ядра, W — высота потенциального барьера, aи b — точки поворота. Координата r отсчитывается вдоль радиуса.Область r > r0 соответствует тому, что α-частица находится вне ядра. Здесь нанее действует только сила кулоновского отталкивания со стороны ядра, поэтомупотенциальная энергия убывает.
Из Рис. 7.4. ясно, что α-частица может совершитьтуннельный переход из области r < a в область r > b и затем, оказавшись с темже значением энергии E вне ядра, может улететь под действием кулоновских сил.В данном случае коэффициент прохождения через барьер весьма мал, так какα-частица — массивное образование и ее длина волны де Бройля значительно меньше ширины барьера l = b−a. Поэтому вероятность туннелирования для α-частицыи, следовательно, вероятность распада ядра урана тоже очень малы. Этим объясняется большое значение периода полураспада урана (примерно 5 · 109 лет). Коэффициент прохождения D очень чувствителен к значению энергии α-частицы вядре. Например, увеличение энергии E в три раза приводит к увеличению D примерно на 16 порядков.
Поэтому встречаются и такие радиоактивные элементы, укоторых период полураспада составляет всего 10−6 с. Заметим, наконец, что туннельный механизм объясняет еще одну интересную особенность радиоактивногораспада ядер. В первых же экспериментальных исследованиях радиоактивностибыло замечено, что значения энергии α-частиц, испускаемых данным радиоактивным веществом, оказываются практически одинаковыми. С точки зрения туннельного механизма радиоактивности это очевидно, так как все α-частицы совершаюттуннельный переход с одного и того основного уровня энергии E.Второе явление, где наблюдается туннельный эффект для микрочастиц, относится к электронике и называется автоэлектронной эмиссией.
Суть явления —выход электронов из металла под действием постоянного электрического поля. Вэтом отличие автоэлектронной эмиссии от фотоэффекта, где электрическое полесветовой волны является переменным.Рис. 7.5. Потенциальная энергия электрона проводимости в металле:а) в отсутствие поля; б) в электрическом поле. Координата x = 0 соответствуетгранице металл-вакуум.Квантовые состояния электронов проводимости в металле можно рассматривать, в первом приближении, как состояния свободных частиц в потенциальнойяме.
Предположим, что электрон проводимости находится в стационарном состоянии с энергией E. Чтобы электрон мог покинуть металл, ему нужно сообщить77энергию W = U0 − E, которую принято называть работой выхода (см. Рис. 7.5.).В принципе, эту энергию электрон может случайно получить за счет энергии теплового движения в металле. Чем выше температура, тем больше вероятность такого события, поэтому катоды электронных ламп специально нагревают, пропуская через них ток накала. Это — хорошо известное явление термоэлектроннойэмиссии.Если катод лампы сильно охладить, то термоэлектронная эмиссия практическипрекращается и ток через лампу идти не должен.
Однако даже при очень низких температурах наблюдается эмиссия электронов с катода (автоэлектроннаяэмиссия), интенсивность которой быстро растет с ростом напряжения, приложенного к лампе1 . Автоэлектронная эмиссия связана с туннелированием электроновчерез потенциальный барьер, который возникает на поверхности катода, если лампу подключить к источнику напряжения.Предположим, что вне катода имеется электрическое поле, вектор напряженности которого E направлен так, как показано на Рис.
7.5. (катод подключен котрицательному полюсу источника). Зависимость потенциала поля от координаты x > 0 имеет вид ϕ(x) = Ex (нуль потенциала выбран на границе катода).Потенциальная энергия электрона в поле (при x > 0) равнаUполе (x) = −eϕ(x) = −e Ex,(7.24)где e > 0 — элементарный заряд. С учетом влияния поля потенциальная энергияэлектрона вне металла уменьшается с ростом x (см.
Рис. 7.5б.). Таким образом,для электронов на поверхности катода возникает потенциальный барьер ширины l.Электрон может совершить туннельный переход, покидая катод и затем двигаясьпод действием поля к положительному полюсу источника напряжения.
Так какширина барьераl = (U0 − E)/eE = W/eE(7.25)уменьшается с ростом напряженности поля, величина коэффициента прохождения барьера D и, следовательно, поток электронов с катода увеличивается сувеличением напряжения на лампе (см. упражнение 7.2.).Упражнения7.1. Найти эффективную глубину xэфф проникновения частиц в область x > 0(Рис. 7.1б.) в случае, когда E < U0 .
Считать, что xэфф есть расстояние от границыстенки до точки, где плотность вероятности нахождения частицы уменьшается в“e” раз (e — основание натуральных логарифмов).7.2. Показать, что коэффициент прохождения барьера для автоэлектроннойэмиссии (см. Рис. 7.5.) зависит от напряженности электрического поля E по закону& √'4 2m W 3/2D = exp −,(7.26)3e Eгде W — работа выхода электрона из металла, m — масса электрона. Вычислитьзначение D, если W = 0, 5 эВ, E = 100 В/см.Автоэлектронную эмиссию часто называют холодной эмиссией, чтобы подчеркнутьее отличие от термоэлектронной эмиссии с нагретого катода.178Указание: Воспользоваться формулой (7.21) для коэффициента прохождения иучесть, что в области x > 0 потенциальная энергия электрона имеет вид U (x) =U0 − eEx.8.Момент импульса микрочастицыВ классической механике момент импульса относится к важнейшим динамическим переменным.
В частности, момент импульса изолированной системы сохраняется со временем. Для одной частицы момент импульса сохраняется и приее движении в центральном силовом поле. Кроме того, момент импульса играетважную роль в динамике твердого тела. В квантовой механике моменту импульса,как и любой другой динамической переменной, соответствует линейный эрмитовый оператор момента импульса. Для одной частицы этот оператор был введен впараграфе 3 [см.
формулу (3.35)]. Теперь мы изучим свойства момента импульса,которые в понадобятся при обсуждении многих вопросов.8.1.Оператор момента импульса в сферическихкоординатахˆ в декартовой систеПроекциями векторного оператора момента импульса Lме координат являются операторы L̂x , L̂y , L̂z . Явный вид этих операторов даетсяформулами (3.39).
Таким образом, в практической работе с оператором моментаимпульса можно использовать выражениеˆ = L̂x ex + L̂y ey + L̂z ez ,L(8.1)где ex ,ey ,ez — орты декартовой системы координат.Представление оператора момента импульса в виде (8.1) удобно, если нас интересует его действие на волновые функции,зависящие от декартовых координат частицы x, y, z. Однако во многих случаях более удобно пользоваться другими системами координат. Например, задача о движении частицы в центральном силовом поле,которая очень важна для описания свойстватомов, гораздо проще решается в сферической системе координат, где положениеточки пространства задается координатамиr, ϑ, ϕ (см.
Рис. 8.1.).Декартовы и сферические координатыРис. 8.1.связаны соотношениямиx = r sin ϑ cos ϕ,y = r sin ϑ sin ϕ,z = r cos ϑ.(8.2)Так как в сферической системе координат волновая функция имеет видΨ(r, ϑ, ϕ, t), то операторы L̂x , L̂y и L̂z нужно записать через частные производные79по сферическим координатам. Начнем с оператора L̂z . Явное выражение для негоможно найти следующим способом. Согласно правилам математики, операторчастной производной по ϕ записывается так:∂∂x ∂∂y ∂∂z ∂=++.∂ϕ∂ϕ ∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂zВычисление частных производных легко проводится с помощью (8.2):∂y∂z∂x= −r sin ϑ sin ϕ = −y,= r sin ϑ cos ϕ = x,= 0.∂ϕ∂ϕ∂ϕТаким образом, получаем∂∂∂=x−y.∂ϕ∂y∂xСравнение этого выражения с последней формулой (3.39) показывает, что в сферических координатахL̂z = −i∂.∂ϕ(8.3)Действуя аналогичным образом, для операторов L̂x и L̂y можно получить выражения (см.
упражнение 8.1.):∂∂L̂x = i sin ϕ+ cos ϕ ctg ϑ,∂ϑ∂ϕ(8.4)∂∂L̂y = −i cos ϕ− sin ϕ ctg ϑ.∂ϑ∂ϕВ дальнейшем нам потребуется также выражение в сферических координатахдля оператора квадрата момента импульсаL̂2 = L̂2x + L̂2y + L̂2z .(8.5)Его можно вывести, используя формулы (8.3) и (8.4) (см. упражнение 8.1.). Опуская математические преобразования, которые читателю полезно провести самостоятельно, приведем окончательный результат:2L̂ = −21 ∂sin ϑ ∂ϑ∂sin ϑ∂ϑ1∂2+sin2 ϑ ∂ϕ2.(8.6)Отметим, что в выражения (8.3), (8.4) и (8.6) входят лишь производные по “угловым” переменным ϑ и ϕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
