kkvant (1083120), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Поэтому в стационарном внешнем поле энергия частицы есть интеграл движения. Этот вывод,который является прямым следствием уравнения Шредингера, аналогичен утверждению, хорошо известному из классической механики: при движении в стационарном потенциальном поле сохраняется механическая энергия частицы, равнаясумме кинетической и потенциальной энергий.
Подчеркнем, однако, что для произвольного квантового состояния, даже в стационарном поле, сохраняется лишьсредняя энергия частицы 1 .Энергия частицы имеет точное значение только в стационарном состоянии. Еслисостояние есть суперпозиция стационарных состояний с различными энергиями [см, например, (3.18)], то энергия имеет квантовую неопределенность ∆E.139Рассмотрим теперь одномерное движение частицы вдоль оси x и применим соотношение (4.31) к операторам координаты x̂ и импульса p̂x . Так как оба этиоператора не зависят явно от времени, то для нихdx̂1=[x̂, Ĥ],dtidp̂x1=[p̂ , Ĥ].dti x(4.33)Записывая гамильтониан частицы в видеĤ =p̂2x+ U (x)2m(4.34)и вычисляя коммутаторы (оставляем это читателю в качестве упражнения), находим, чтоdx̂p̂dp̂x∂U= x,=−.(4.35)dtmdt∂xЗаметим, что F̂x ≡ Fx = −∂U/∂x есть оператор силы, действующей на частицу,поэтому операторные равенства (4.35) напоминают уравнения движения частицыв классической механикеdxpdpx(4.36)= x,= Fx .dtmdtЗамеченная аналогия не случайна.
Покажем, что классические уравнения движения получаются из законов квантовой механики как некоторое приближение.Из формул (4.31) и (4.35) следует, чтоp dx= x ,dtmdpx = Fx .dt(4.37)Эти равенства называются теоремами Эренфеста в честь швейцарского физикаПауля Эренфеста, который вывел их в 1927 году. Мы получили теоремы Эренфеста для одномерного движения, однако их легко обобщить на случай трехмерногодвижения. Оставляем это читателю в качестве упражнения.Приближенное описание движения частицы уравнениями классической механики оказывается возможным, если волновая функция Ψ(x, t) отлична от нулялишь вблизи среднего значения координаты x̄ = xt .
Действительно, тогда привычислении средней силы можно записать Fx (x) = Fx (x̄ + δx), где δx = x − x̄, ивоспользоваться разложением в ряд Тейлора около значения x̄:Fx (x̄ + δx) = Fx (x̄) +dFx (x̄)1 d2 Fx (x̄)(δx)2 + . . .δx +dx̄2 dx̄2Подставляя это разложение в (4.37) и учитывая, что δx = 0, получимdx̄p̄= x,dtm1 d2 Fx (x̄)dp̄x(∆x)2 + . . . ,= Fx (x̄) +dt2 dx̄2(4.38)где p̄x = px , а величина (∆x)2 = (δx)2 ≡ (x − x̄)2 есть не что иное как квадратквантовой неопределенности координаты частицы.
Если выполняется условие 2 d Fx (x̄) (∆x)2 ,| Fx (x̄) | (4.39)dx̄2 40то уравнения (4.38) практически совпадают с уравнениями движения в классической механике, причем роль классических значений координаты и импульса играют средние значения x̄ и p̄x .Условие (4.39) выполняется тем лучше, чем меньше квантовая неопределенность координаты частицы и чем более плавно изменяется в пространстве сила,действующая на частицу. Заметим, однако, что условия (4.39) еще недостаточно для того, чтобы можно было пользоваться классическим описанием движения.Дело в том, что, согласно соотношению неопределенностей ∆px ∆x ≥ /2, приочень малых значениях ∆x возникает очень большая квантовая неопределенностьимпульса, т. е.
теряет смысл понятие траектории движения частицы. Поэтомунеобходимо также потребовать, чтобы выполнялось условие | p̄x | ∆px или, чтото же самое,| p̄x | .(4.40)∆xУсловия (4.39) и (4.40) выполняются при движении частиц с достаточно большими импульсами в плавно меняющихся внешних полях. В таких случаяхдля описания движения можно пользоваться законами классической механики.Неравенства (4.39) и (4.40) можно рассматривать как уточненные условия применимости квазиклассического приближения.
Полученная нами ранее оценка (4.29)фактически эквивалентна неравенству (4.40).Упражнения4.1. Проверить, что операторы импульса (3.29), радиуса-вектора (3.33), моментаимпульса (3.35) и гамильтониан (3.36) являются линейными операторами.4.2. Определить, какие из операторов, введенных в параграфе 3, являются действительными.4.3. Проверить следующие соотношения:x̂ = x̂, p̂x = −p̂x ,L̂x = −L̂x , Ĥ = Ĥ.(4.41)4.4. Доказать равенство (4.6).ˆ Ĥ являются эрмитовыми.4.5.
Проверить, что операторы rˆ, pˆ, L,4.6. Оператор момента импульса частицы (3.35) — векторное произведение операторов rˆ и pˆ. Как известно из математики, для векторного произведения обычных×B = −(B ×A ). Проверить, можно ли записать оператор моментавекторов Aˆ = −( pˆ × rˆ ).импульса в виде L4.7. Доказать операторное равенство (4.9).Указание: Из (4.6) следует, чтоΨ∗2 (ÂB̂)† Ψ1dV ≡Ψ∗1 ÂB̂Ψ2∗dV=Ψ1 Â∗ B̂ ∗ Ψ∗2 dV.Используя (4.4), можно “перебросить” действие операторов в последнем интегралена функцию Ψ1 и убедиться в справедливости равенства (4.9).4.8. Проверить равенства (4.17).41Указание: Для упрощения математических преобразований удобно записать,например, L̂x = ŷ p̂z − ẑ p̂y , L̂y = ẑ p̂x − x̂p̂z .
Тогда, согласно тождеству (4.13),[L̂x , L̂y ] = [(ŷ p̂z − ẑ p̂y ), (ẑ p̂x − x̂p̂z )] = [ŷ p̂z , ẑ p̂x ] − [ŷ p̂z , x̂p̂z ] −− [ẑ p̂y , ẑ p̂x ] + [ẑ p̂y , x̂p̂z ].Теперь можно воспользоваться тождеством (4.14) и формулами (4.15), (4.16).4.9. Вывести уравнения движения (4.35), используя выражение (4.34) для гамильтониана частицы.5.Собственные функции и собственные значенияфизических величинВ этом параграфе мы продолжим изучение физических величин в квантовоймеханике.5.1.Спектр значений физической величиныПусть A — некоторая физическая величина, характеризующая микрочастицу1 .Как уже отмечалось, многократные измерения этой физической величины в произвольном квантовом состоянии будут давать, вообще говоря, различные значения.
В квантовой механике возможные значения физической величины принятоназывать ее собственными значениями. Вся совокупность собственных значений называется спектром значений физической величины. Если собственные значения образуют дискретный набор, то говорят, что физическая величинаимеет дискретный спектр значений (или, для краткости, просто “дискретныйспектр”). В этом случае разность любых двух собственных значений имеет конечную величину. Если же собственные значения непрерывно заполняют некоторыйинтервал, то спектр физической величины называется непрерывным. Простейшим примером непрерывного спектра является спектр значений любой координатычастицы (скажем, координаты x). Наконец, встречаются ситуации, когда физическая величина обладает в одной области своих значений дискретным спектром, ав другой — непрерывным.Результатами измерения физической величины являются ее собственные значения.
Поэтому одна из основных задач квантовой механики состоит в нахожденииспектра значений любой физической величины.5.2.Уравнение для собственных функцийРассмотрим некоторую физическую величину (или, что то же самое, динамическую переменную) A, которой соответствует эрмитовый оператор Â. Будем считать, что спектр ее собственных значений — дискретный. Пусть An — собственныеНапомним читателю, что пока речь идет о квантовых состояниях и физических величинах, характеризующих одну микрочастицу.
Однако все основные выводы переносятсяна системы, состоящие из произвольного числа микрочастиц.142значения данной физической величины. Согласно постулату об измерении динамических переменных (см. стр. 26), в произвольном квантовом состоянии измерениябудут давать значения An с некоторыми вероятностями. Поставим следующие вопросы:1) Существует ли такое квантовое состояние, в котором многократные измерения данной физической величины дают одно и то же собственное значение An ?2) Если такое квантовое состояние существует, то как найти соответствующуюволновую функцию?3) Как найти вероятности появлений собственных значений данной физическойвеличины при ее многократном измерении в произвольном квантовом состоянии?Квантовое состояние, в котором многократные измерения физической величины A всегда дают значение An , называется собственным состоянием, отвечающим этому значению, а соответствующая волновая функция ψn (r) называется собственной волновой функцией (или просто собственной функцией).Cобственные функции физических величин будем обозначать строчной буквой ψ,чтобы подчеркнуть, что эти функции зависят от координат частицы, но не зависятот времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
