kkvant (1083120), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Предположим, что физической величине соответствует эрмитовый оператор Â. Введемтакже оператор∆ =  − Â.(4.19)Его можно считать оператором отклонения физической величины от ее среднего значения. Очевидно, что этот оператор эрмитовый, если  сам является эрмитовым оператором. Квантовой неопределенностью динамической переменной A в состоянии Ψ назовем среднее квадратичное отклонение ∆A, которое35вычисляется по формуле∆A = (∆Â)2 ≡ Ψ∗2(∆Â) Ψ dV.(4.20)Подставляя в нее выражение (4.19), получаем следующую формулу для квантовойнеопределенности:∆A = Â2 − Â2 .(4.21)Она аналогична хорошо известной формуле для средней квадратичной погрешности измерений. По существу, квантовая неопределенность физической величиныесть средняя квадратичная погрешность при многократном измерении этой величины “идеальным” прибором, который не вносит дополнительной погрешности,связанной с неточностью реальных измерений.4.5.Соотношение неопределенностейТеперь мы докажем одну важную теорему о квантовых неопределенностях физических величин.
Предположим, что частица находится в некотором квантовомсостоянии Ψ и рассмотрим две произвольные динамические переменные, которымсоответствуют эрмитовые операторы  и B̂. В общем случае коммутатор этихоператоров можно записать в виде[Â, B̂] = iĈ,(4.22)где Ĉ — новый (эрмитовый) оператор1 . В самом деле, вычисляя [Â, B̂]† и учитывая,что операторы  и B̂ эрмитовые, получаем†[Â, B̂]† ≡ ÂB̂ − B̂  = B̂  − ÂB̂ = −[Â, B̂].Отсюда следует, что Ĉ = [Â, B̂]/i — эрмитовый оператор.Так как операторы ∆ и ∆B̂ получаются из  и B̂ вычитанием чисел  иB̂, то их коммутатор совпадает с (4.22) (проверьте!), т. е.[∆Â, ∆B̂] = iĈ.Введем вспомогательный интеграл 2I(λ) = (λ ∆ + i∆B̂)Ψ dV,(4.23)(4.24)который зависит от произвольного действительного параметра λ.
Посколькуподынтегральная функция всегда неотрицательна, то I(λ) ≥ 0 при любом1В частности, Ĉ может быть просто действительным числом [см., например, (4.16)].36значении λ. Интеграл (4.24) можно преобразовать следующим образом: (λ ∆ + i∆B̂)Ψ dV =I(λ) =(λ ∆Â∗ − i∆B̂ ∗ )Ψ∗==Ψ∗ (λ ∆ − i∆B̂)(λ ∆ + i∆B̂) Ψ dV =Ψ∗ λ2 (∆Â)2 + (∆B̂)2 + iλ[∆Â, ∆B̂] Ψ dV.Во второй строке мы “перебросили” действие операторов на Ψ с помощью операции транспонирования [см. (4.4)] и учли, что ∆ и ∆B̂ — эрмитовые операторы.Вспоминая теперь формулы (4.20) и (4.23), находимI(λ) = λ2 (∆A)2 − λ Ĉ + (∆B)2 ≥ 0.(4.25)Как известно из элементарной математики, для того, чтобы при любом значенииλ выражение (aλ2 − bλ + c) было неотрицательным, его дискриминант долженудовлетворять условию (b2 − 4ac) ≤ 0. Применив это условие к (4.25), получаемнеравенство1 ∆A ∆B ≥ Ĉ ,(4.26)2которое называется соотношением неопределенностей для физических величин A и B.
Наиболее интересные следствия из неравенства (4.26) получаютсядля координат частицы x, y, z и соответствующих проекций импульса. Используявыражения (4.16) для коммутаторов, находим, что∆x ∆px ≥1,2∆y ∆py ≥1,2∆z ∆pz ≥1.2(4.27)Это — знаменитые соотношения неопределенностей Гайзенберга, полученные им в 1927 году.Соотношения неопределенностей Гайзенберга в свое время сыграли важнуюроль в осмыслении квантовой механики. Из них, в частности, следует, что движение микрочастицы нельзя представлять себе как движение по траектории. Всамом деле, для существования траектории необходимо, чтобы в каждый моментвремени частица имела определенные радиус-вектор r и скорость v = p/m.
Другим словами, необходимо, чтобы неопределенности координат и проекций скоростив одном и том же состоянии были равны нулю1 . Из соотношений (4.27) следует,однако, что∆x ∆vx ≥,(4.28)2mгде ∆vx — неопределенность проекции скорости на ось x. Чем меньше неопределенность координаты x частицы, тем больше неопределенность vx , и наоборот.Подчеркнем еще раз, что речь идет о принципиальной возможности сколь угодноточного измерения координат и скорости частицы, а не о практической осуществимоститакого измерения.137Таким образом, не существует квантовых состояний, в которых неопределенностикоординаты и проекции скорости обе равны нулю. В этом смысле нельзя предполагать, что движение частицы происходит по траектории. Заметим также, чтонеравенство (4.28) объясняет тот факт, что квантовые эффекты не проявляютсяу макроскопических тел.
Все дело в массе объекта m. Ввиду малости постояннойПланка ( ≈ 10−34 Дж·с) неравенство (4.28) существенно только для микрочастиц1 .Для макроскопических тел это неравенство выполняется с огромным запасом привсех разумных ограничениях на неопределенности координат и скорости. Поэтомуквантовое описание движения макроскопических тел практически не отличаетсяот классического. В некоторых случаях неравенство (4.28) выполняется и для микрочастиц, если размеры области движения l и характерная скорость микрочастицыv удовлетворяют условиюmvl .(4.29)Так как при этом одновременно могут выполняться неравенства ∆x l, ∆vx v и∆x ∆vx ≥ /2m, то, не вступая в противоречие с соотношениями Гайзенберга, можно пренебречь квантовыми неопределенностями координат и скорости и описыватьдвижение микрочастиц с помощью уравнений классической механики.
Такое приближение называется квазиклассическим. Например, оно часто применяется вфизике твердого тела для описания движения электронов проводимости.Приведем другую форму условия квазиклассического приближения. Так как/mv = /p = λ/2π, где λ — длина волны де-Бройля частицы, то условие (4.29)эквивалентно неравенству λ l. Таким образом, квазиклассическое приближениеможно применять тогда, когда длина волны де-Бройля гораздо меньше размеровобласти движения частицы.4.6.Изменение средних значений физических величинсо временемРассмотрим еще одно важное применение алгебры операторов.
Пусть Â — оператор некоторой физической величины, а Ψ(r, t) — волновая функция квантовогосостояния частицы. Вообще говоря, среднее значение величины At(4.30)A = Ψ∗ ÂΨ dVизменяется со временем. Это может происходить по двум причинам. Во-первых,волновая функция Ψ изменяется со временем согласно уравнению Шредингера (3.4). Во-вторых, сам оператор Â может явно зависеть от времени2 . Вычислимпроизводную dAt /dt, которая характеризует быстроту изменения среднегозначения данной динамической переменной. С этой целью продифференцируемобе части (4.30) по t: ∂Ψ∗dAt∂Ψ∗ ∗ ∂ Â∗Ψ=Ψ+ÂΨ + Ψ ÂdV.dt∂t∂t∂tВ качестве характерного значения массы микрочастицы можно взять, например, массу электрона me = 0, 911 · 10−30 кг.2Например, во внешнем переменном поле гамильтониан частицы Ĥ зависит от времени[см.
(3.5)]. В дальнейшем нам встретятся и другие операторы динамических переменных,которые могут включать явную зависимость от t.138Производная ∂ Â/∂t отлична от нуля в случае, когда оператор Â явно зависит отвремени. Исключим теперь производные волновых функций с помощью уравненияШредингера (3.4) и комплексно сопряженного уравнения. Подставляя выражения∂Ψ1Ĥ(t)Ψ,=∂ti∂Ψ∗1= − Ĥ ∗ (t)Ψ∗ ,∂tiполучаемdAt=dt 1 ∗1 ∗ ∗∗ ∂ ÂΨĤ Ψ ÂΨ + Ψ Â ĤΨ dV.Ψ−∂tiiВ качестве последнего шага наших преобразований перенесем во втором члене вфигурных скобках действие Ĥ ∗ на функцию ÂΨ с помощью операции транспонирования. Так как гамильтониан всегда является эрмитовым оператором, то мыприходим к соотношению, которое называется теоремой о средних значениях:dAt=dtdÂdtt.(4.31)Здесь введен оператор∂ Â1dÂ=+ [Â, Ĥ] ,dt∂ti(4.32)который принято называть полной производной оператора Â по времени.Предлагаем читателю самостоятельно доказать, что если оператор Â эрмитов, тоего полная производная по времени также является эрмитовым оператором.Обратим внимание на одно интересное следствие из равенства (4.31).
Предположим, что оператор Â не зависит явно от времени и коммутирует с гамильтонианом. Тогда dÂ/dt = 0 и, следовательно, среднее значение A не изменяетсясо временем в любом квантовом состоянии! Естественно назвать такие динамические переменные сохраняющимися переменными. Для них используют такженазвание интегралы движения. Приведем частный, но важный пример сохраняющейся переменной. Пусть частица находится в стационарном внешнем потенциальном поле. Тогда ее гамильтониан Ĥ не зависит явно от времени. Кроме того,очевидно, что [Ĥ, Ĥ] = 0. Мы приходим к заключению, что Ĥ = const. Какуже отмечалось, гамильтониан соответствует энергии частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
