Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 61
Текст из файла (страница 61)
[см. формулу (13.91)].Если магнитное поле направлено, скажем, вдоль оси x, тоeB ˆŴмаг = gJ .(18.38)2m xТеперь базисные состояния (18.35) уже не будут стационарными, так как недиагональные матричные элементы H12 и H21 будут отличны от нуля. Конечно, мыможем перейти к другим базисным состояниям, которые соответствуют заданнымзначениям проекции Jx и являются суперпозициями состояний (18.35). Эти новыебазисные состояния уже будут стационарными. В принципе, схема, изложеннаяв предыдущем разделе, позволяет описать динамику магнитного момента атомапри произвольном выборе оси квантования момента и произвольном направлении но здесь мы не будем углубляться в эту задачу.магнитного поля B,Приведем еще один пример того, как динамика довольно сложной физическойсистемы может быть сведена к модели с двумя базисными состояниями.
Он относится к теории так называемых мазеров — квантовых усилителей электромагнитного излучения, которые в настоящее время широко применяются в различныхтехнических устройствах. Мы кратко рассмотрим аммиачный мазер, принципдействия которого основан на особенностях строения молекулы аммиака NH3 .При равновесном расположении ядер молекулааммиакаимеетформупирамиды; в ее основаниилежат три атома водорода,а в вершине находится атомазота. Как и у любой молекулы, у молекулы аммиакаимеется много базисныхсостояний, различающихсязначениямиквантовыхчисел электронных возРис. 18.2.буждений,колебаний ивращений. Однако, дажеесли все эти квантовые числа фиксированы, остаются еще две возможности: атомазота может быть расположен либо по одну сторону плоскости атомов водорода,либо по другую (см. Рис.
18.2.). Назовем эти два состояния молекулы |1 и |2и будем использовать их в качестве базисных состояний. Конечно, это всеголишь приближение; оно означает, что переход атома азота из одного положения вдругое не сопровождается возбуждением электронов, колебаний или вращений.Из соображений симметрии ясно, что диагональные матричные элементы гамильтониана H11 и H22 (т.
е. средние значения энергии молекулы аммиака в состояниях |1 и |2) одинаковы. Что можно сказать о недиагональных матричныхэлементах H12 и H21 ? Как мы видели в предыдущем разделе, эти матричныеэлементы определяют вероятность переходов между базисными состояниями. Вданном случае это вероятность перехода атома азота между двумя положениямиотносительно плоскости атомов водорода (см. Рис. 18.2.). С классической точкизрения такие переходы невозможны, так как атому азота нужно “протиснуться”1То есть они совпадают с состояниями |I и |II из предыдущего раздела.252между атомами водорода, а для этого нужна немалая энергия. Однако в квантовой механике, как мы знаем, существует туннельный эффект, благодаря которомуатом азота может пройти через потенциальный барьер без затраты энергии.
Вероятность этого перехода очень мала из-за большой массы атома азота, но она неравна нулю и поэтому ее нужно учесть. Итак, мы приходим к модели с двумябазисными состояниями молекулы аммиака, в которойH11 = H22 ≡ E (0) ,∗H12 = H21≡ A.(18.39)Вычислить амплитуду перехода A очень трудно, поэтому будем считать ее параметром, значение которого можно найти из эксперимента.Теперь мы могли бы применить схему из предыдущего раздела и найти, например, как будут меняться со временем вероятности обнаружить атом азота в двухразличных положениях относительно плоскости атомов водорода.
Можно такженайти уровни энергии в данной модели и определить стационарные состояния |Iи |II; в каждом из них атом азота совершает переходы между базисными состояниями |1 и |2. Нас будет интересовать, однако, еще одна особенность молекулыаммиака, которая и используется в аммиачном лазере.Дело в том, что электронное облако в молекуле аммиака слегка смещено в сторону атома азота, поэтому молекула обладает дипольным моментом, направленным от атома азота к плоскости атомов водорода. Если приложить внешнее электрическое поле E перпендикулярно к плоскости атомов водорода (см. Рис. 18.2.),то энергия молекулы в состояниях |1 и |2 будет иметь различные значения, таккак дипольный момент по-разному направлен относительно поля.Обозначим величину среднегодипольного момента молекулы черезd.
Тогда вместо (18.39) для матричных элементов гамильтониана нужновзять выраженияH11 = E (0) + E d,∗= A.H12 = H21Рис. 18.3.H22 = E (0) − E d,(18.40)Теперь из общей формулы (18.25)легко находятся уровни энергии молекулы аммиака в электрическом поле:EI = E (0) + E 2 d2 + |A|2 ,(18.41)EII = E (0) − E 2 d2 + |A|2 .Можно найти и соответствующие векторы стационарных состояний |I, |II; этомы оставим читателю (см. упражнение 18.5.).Зависимость уровней энергии EI и EII от напряженности электрического поляE изображена на Рис. 18.3. На этой зависимости и основан принцип усиленияэлектромагнитных волн в аммиачном мазере.Схема работы мазера заключается в следующем. Аммиачный газ в виде тонкойструи пропускается через область, в которой имеется сильное поперечное электрическое поле, причем модуль электрического поля E резко меняется поперек пучка.253Молекулы аммиака, находящиеся в состоянии |I, отклонятся в сторону уменьшения E, так как их энергия растет с ростом поля1 , а молекулы, находящиеся всостоянии |II, отклонятся в сторону увеличения E, так как их энергия убывает с ростом поля.
Таким способом удается разделить молекулы аммиака на двапучка. Для работы мазера используется пучок молекул в состоянии |I, которыйпропускается через резонатор переменного электромагнитного поля. Важным обстоятельством является то, что уровень энергии EI = E (0) + |A| лежит выше, чемуровень EII = E (0) − |A|, поэтому молекулы, попавшие в резонатор, находятся ввозбужденном состоянии. Частота колебаний электромагнитного поля в резонаторе ω подбирается так, чтобы как можно точнее выполнялось условие “резонанса” ω = 2|A|. В этом случае поле наиболее эффективно вызывает переходы молекулиз состояния |I в основное состояние |II.
В результате энергия передается от молекул полю, т. е. происходит усиление электромагнитных колебаний в резонаторе.18.4.Квантовые переходы под влиянием внешнеговозмущенияКак правило, изменение квантового состояния системы со временем происходитв результате ее взаимодействия с окружением. Например, излучение и поглощениесвета атомами или молекулами вызвано взаимодействием электронов с с электромагнитным полем. Строго говоря, само окружение тоже должно рассматриваться как квантовая система2 . Однако во многих случаях задачу можно упростить,считая, что внешнее воздействие описывается зависящим от времени операторомŴ (t), действующим только на переменные интересующей нас квантовой системы.Например, в классическом приближении электромагнитное поле описывается век r, t) и индукции магнитного поляторами напряженности электрического поля E( r, t).
Если поле мало меняется на расстояниях порядка размера атома3 , то с хоB(рошей точностью гамильтониан взаимодействия атома с полем электромагнитнойволны можно записать в видеˆ ˆ · B(t),Ŵ (t) = −d · E(t)− µ(18.42)ˆ ˆгде d и µ— операторы дипольного и магнитного моментов атома, а поля E и Bберутся в точке, где расположен атом. Можно привести много других примеров,когда воздействие на систему удается описать некоторым оператором возмущенияŴ (t).Сформулируем типичную постановку задачи о динамике квантовой системыпол влиянием возмущения Ŵ (t).
Предположим, что возмущение действует в течение промежутка времени 0 ≤ t ≤ τ , причем при t ≤ 0 рассматриваемая системанаходилась в одном из своих стационарных состояний |i. Нас будет интересоватьвероятность wf i (τ ) обнаружить систему в любом другом стационарном состоянииКак известно, во внешнем поле возникает сила, действующая в направлении уменьшения энергии системы.2В частности, электромагнитное излучение — система квантовых частиц (фотонов).3Для иллюстрации: характерный размер атома ra ≈ 1 Å, в то время как длина волнывидимого света λ ≈ 5000 Å.1254|f после окончания действия возмущения1 . Величину wf i (τ ) принято называтьвероятностью перехода из состояния |i в состояние |f .Для вычисления вероятности перехода воспользуемся схемой квантовой динамики, изложенной в разделе 18.1. Будем работать в представлении, в которомбазисными состояниями служат стационарные состояния |n невозмущенной системы.
Полный гамильтониан системы имеет вид суммыĤ(t) = Ĥ (0) + Ŵ (t),(18.43)где Ĥ (0) — гамильтониан невозмущенной системы. В выбранном представленииимеем Ĥ (0) |n = En |n, где En — уровни энергии системы. В любой момент временивектор состояния |Ψ(t) можно записать как суперпозицию|Ψ(t) =Cn (t) |n(18.44)nс некоторыми амплитудами вероятности Cn (t). По предположению, при t ≤ 0система находилась в стационарном состоянии |i, поэтому|Ψ(t) = e−iEi / |i,(t ≤ 0).В момент окончания действия возмущения вектор состояния имеет вид|Ψ(τ ) =Cf i (τ ) |f .(18.45)(18.46)fДля удобства амплитуды вероятности Cf i (τ ) снабжены двумя индексами; индексi показывает, каково было начальное состояние системы, а индекс f обозначаетконечное состояние. Согласно общим правилам квантовой механики, вероятностьперехода из начального состояния |i в конечное состояние |f дается формулой2wf i (τ ) = Cf i (τ ) .(18.47)Таким образом, для вычисления вероятности перехода нужно знать, как менялисьсо временем амплитуды вероятности Cf i (t) под влиянием внешнего возмущения.В общем случае система уравнений для этих амплитуд имеет вид (18.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
