Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Оказывается, что вакуум следует рассматривать не как пустое пространство, а как основное состояниеэлектромагнитного поля, т. е. состояние с минимально возможной энергией поля.В этом состоянии нет реальных фотонов, но существуют нулевые колебания поля, внекотором смысле аналогичные нулевым колебаниям гармонического осциллятора(см. стр. 68). Взаимодействие электронов с нулевыми колебаниями электромагнитного поля и вызывает спонтанное излучение.
Заметим, кстати, что благодарясуществованию спонтанного излучения возбужденные состояния атома неустойчивы, т. е., строго говоря, они не являются истинными стационарными состояниями.Излучая фотоны, атом возвращается в конце концов в основное состояние, котороеявляется устойчивым. С помощью выражения (18.76) для вероятности спонтанного излучения в единицу времени можно вычислить время жизни возбужденногосостояния, но мы не будем этим заниматься.Из формулы (18.76) видно также, что часть вероятности излучения пропорциональна числу фотонов nkα в начальном состоянии. Такое излучениеназывается вынужденным излучением. Вынужденное излучение появляетсяи при описании электромагнитного поля на классическом языке — с помощьюнапряженности электрического поля и индукции магнитного поля.
В этом случае263вероятность вынужденного излучения пропорциональна квадрату амплитудыэлектромагнитного поля, которая в классическом пределе пропорциональна среднему числу фотонов. Процессы вынужденного излучения широко применяютсяв квантовых генераторах света — лазерах. Схематично принцип работы лазеравыглядит так. С помощью накачки, роль которой может играть, например,предварительное облучение светом, атомы вещества лазера переводятся в такназываемое метастабильное возбужденное состояние, т. е. в состояние, длякоторого очень мала вероятность спонтанного излучения и, следовательно, великовремя жизни.
Если затем возбудить в объеме лазера электромагнитное полес волновым вектором k, энергия кванта которого ω соответствует переходу восновное состояние, то становится заметной вероятность вынужденного излучения(благодаря множителю nkα ). Рост числа фотонов данного сорта еще больше увеличивает вероятность вынужденного излучения, так что процесс вынужденногоизлучения атомами принимает “лавинообразный” характер. В результате в лазеревозникает почти монохроматическое излучение с большой амплитудой.Упражнения18.1. Исходя из уравнения (18.1) для вектора состояния, вывести уравнениеШредингера для волновой функции бесспиновой частицы Ψ(r, t), находящейся вовнешнем поле U (r ).18.2.
Пусть |1 и |2 — нормированные на единицу, но не ортогональные базисные состояния, причем c = 1 |2 = 2 |1 ∗ . Перейдем от этих базисных состоянийк двум другим:|1 = |1 ,|2 = α (|2 − β |1 ) .Потребуем, чтобы новый базис был ортонормированным, т.
е. чтобы выполнялисьсоотношения 1|1 = 2|2 = 1, 1|2 = 0. Найти из этих условий величины α и β.Является ли выбор α и β однозначным?18.3. Проверить, что из условия нормировки Ψ(t)|Ψ(t) вектора состояния (18.7) следуют соотношения|a1 |2 + |b1 |2 + |a2 |2 + |b2 |2 = 1,a1 b∗1 = −a2 b∗2 ,где a1 , b1 , a2 , b2 — коэффициенты в формулах (18.17) для амплитуд вероятности.Указание: Использовать условие нормировки, записанное в форме (18.8).18.4. Проверить непосредственным вычислением скалярного произведенияI|II, что базисные состояния (18.27) и (18.29) ортогональны друг к другу.Указание: Учесть равенства (18.6) и явные выражения (18.25) для уровней энергии.18.5. Найти векторы стационарных состояний молекулы аммиака в электрическом поле.Указание: Воспользоваться формулами (18.27), (18.29) и выражениями (18.41)для уровней энергии.18.6.
Взаимодействие атома с классическим переменным электромагнитным полем описывается оператором (18.42). Во многих случаях основную роль играетвзаимодействие с электрическим полем волны, так что оператор взаимодействияˆ берется в виде Ŵ (t) = −d · E(t).Пусть напряженность электрического поля волныизменяется со временем по закону E(t)= E0 cos ωt, где E0 — постоянный вектор.264Записать для этого случая оператор взаимодействия в виде (18.65) и найти выражение для оператора Ŵ .Указание: Учесть, что оператор дипольного момента атома — эрмитовый оператор.18.7.
Вывести выражения (18.67) для вероятностей перехода в единицу временипод действием возмущения (18.65).Указание: Подстановка оператора возмущения (18.65) в общую формулу (18.56)для вероятности перехода c последующим интегрированием по t дает21 wii (τ ) = 2 F1 + F2 ,где введены обозначенияF1 =ei(ωf i +ω)τ − 1f |Ŵ |i,i(ωf i + ω)F2 =ei(ωf i −ω)τ − 1i|Ŵ |f ∗i(ωf i − ω)и использовано соотношение f |Ŵ † |i = i|Ŵ |f ∗ , которое следует из определенияэрмитово сопряженного оператора. Если записать очевидное соотношение2F1 + F2 = |F1 |2 + |F2 |2 + (F1∗ F2 + F1 F2∗ ) ,то первые два слагаемых в правой части приводят к выражениям (18.66) и (18.67).Легко проверить, что “интерференционный” член, стоящий в круглых скобках,быстро осциллирует со временем и, при больших значениях τ , дает пренебрежимомалый вклад в вероятность перехода Pf i . В этой связи напомним, что |F1 |2 и |F2 |2растут пропорционально τ , если аргументы ωf i ± ω близки к нулю1 .18.8.
Вывести формулы (18.74) для вероятностей излучения и поглощения фотона атомом.Указание: Предполагая, что в каждый момент времени t вектор состояния системы “атом+поле” имеет вид суперпозиции (изл) (погл)|Ψ(t) = C0 (t) |f, nkα +Cf i (t) |f, nkα + 1 +Cf i (t) |f, nkα − 1,ffа гамильтониан системы дается формулой (18.68), можно вывести систему(изл)(погл)уравнений для амплитуд C0 (t), Cf i (t) и Cf i (t), аналогичную системе уравне(+)(−)ний (18.48). Затем удобно перейти к новым амплитудам a(0) (t), af i (t) и af i (t),которые определяются формулами [ср. с (18.51)]C0 (t) = a(0) (t) e−iE(изл)Cf i(+)(+)(t) = af i (t) e−iEft/,(0) t/(погл)Cf i,(−)(−)(t) = af i (t) e−iEft/,Интерференционный член возникает из-за того, что возмущение мгновенно “включается” в момент t = 0. Этот член вообще не появляется, если рассмотреть более реальнуюситуацию, когда периодическое возмущение включается постепенно, начиная с t → −∞.1265(+)(−)где E (0) , Ef , Ef — значения энергии системы “атом + поле” в базисных состояниях:(±)Ef = Ef + ω nkα ± 1 .E (0) = Ei + ω nkα ,(±)В начальный момент времени a(0) (0) = 1 и af i (0) = 0.
Уравнения для амплитуд(±)af i (t) решаются методом итераций (см. стр. 255) в первом приближении по оператору возмущения Ŵ , а затем находятся соответствующие вероятности перехода.Библиографический список[1] Савельев И.В. Курс общей физики. Том 3. – M.: Наука, 1982.[2] Давыдов А.С. Квантовая механика. – М.: Наука, 1973.[3] Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. – М.: Высшая школа, 1961.[4] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория).– М.: Наука, 1974.[5] Тарасов Л.В. Основы квантовой механики: Учеб.
пособие для вузов. – М.:Высшая школа, 1978.266СОДЕРЖАНИЕВведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. Физические истоки квантовой теории . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 41.1. Явления, противоречащие классической физике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Гипотеза Планка о квантовании энергии осциллятора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Гипотеза Эйнштейна о квантах электромагнитного поля .
. . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Импульс фотона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 112. Квантование энергии атома. Волновые свойства микрочастиц . . . . 112.1. Теория атома Бора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112.2. Гипотеза де-Бройля о волновых свойствах частиц . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 142.3. Волновая функция свободной частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4. Дифракция микрочастиц. Суперпозиция состояний. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162.5. Статистическая интерпретация волновой функции . . . . . . . . . . . . . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
