Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Запишем[âl , n̂l ] = âl â†l âl − â†l âl âl .Идея дальнейших преобразований в подобных задачах состоит в том, чтобы расположить операторы рождения слева от операторов уничтожения во всех слагаемыхс учетом коммутационных (для бозе-операторов) или “антикоммутационных” (дляферми-операторов) соотношений. В данном примере сначала используем равенство âl â†l = ± â†l âl + δll , где верхний знак относится к бозонам, а нижний — кфермионам.
С его помощью находим, что[âl , n̂l ] = δll âl ± â†l âl âl − â†l âl âl .Два последних слагаемых отличаются друг от друга лишь порядком, в которомследуют операторы уничтожения. Учитывая, что âl âl = ± âl âl , видим, что этидва слагаемых точно сокращаются. Отсюда сразу следует первое равенство (17.39).Второе равенство проверяется аналогично.18.18.1.Квантовая динамикаМатричная форма уравнения ШредингераОт квантовых состояний и операторов перейдем теперь к общему описаниюквантовой динамики, т.
е. к описанию изменения вектора состояния со временем.Исходной точкой служит, конечно, уравнение Шредингера, но, в общем случае,оно записывается не для волновой функции, а для вектора состояния:i∂|Ψ(t) = Ĥ(t) |Ψ(t) .∂t(18.1)Так как |Ψ(t) — вектор в бесконечномерном гильбертовом пространстве, решитьуравнение Шредингера в векторном виде невозможно даже для очень простыхсистем.
Какой же прок в таком уравнении? Дело в том, что уравнение (18.1)легко преобразовать в систему обычных дифференциальных уравнений в любомпредставлении1 .В частности, в координатном q-представлении из (18.1) получается хорошо знакомоеуравнение Шредингера для волновой функции Ψ(q, t) (см. упражнение 18.1.).1243Пусть {|a} ≡ {|a1 , a2 , . . . , ai , .
. .} — некоторый полный ортонормированныйбазис квантовых состояний системы. Тогда вектор состояния |Ψ(t) может бытьзаписан в виде суперпозиции|Ψ(t) =Ca (t) |a,(18.2)aгде набор коэффициентов Ca (t) — “волновая функция” в этом представлении, или,что то же самое, — набор амплитуд вероятности обнаружить систему в базисныхсостояниях. Получим из (18.1) систему дифференциальных уравнений для амплитуд Ca (t). С этой целью подставим разложение (18.2) в уравнение (18.1), а затемумножим скалярно обе его части на базисный вектор |a.
В результате получимiгдеdCa (t) =Haa (t)Ca (t) ,dtaHaa (t) = a|Ĥ(t)|a (18.3)(18.4)— матрица гамильтониана системы (или, как часто говорят, гамильтонова матрица) в выбранном a-представлении. Гамильтонова матрица обладает важнымсвойством∗Haa(18.5) (t) = Ha a (t).Оно является следствием того, что гамильтониан любой физической системы —эрмитовый оператор [см.
(16.35)].Итак, исходное уравнение Шредингера (18.1) для абстрактного вектора состояния эквивалентно системе линейных дифференциальных уравнений для амплитудвероятности Ca (t) в любом a-представлении. Система уравнений (18.3) обычно называется уравнением Шредингера в матричной форме. Следует, правда, отметить, что формальная простота уравнений (18.3) обманчива. Во-первых, числобазисных состояний для интересующей нас квантовой системы может быть оченьвелико (или даже бесконечно).
Более того, некоторые индексы ai базисных состояний могут быть непрерывны. Тогда сумма в правой части (18.3) превращается в интеграл и приходится иметь дело с так называемыми интегро-дифференциальнымиуравнениями. Теория таких уравнений весьма сложна и их удается решить в исключительно редких случаях. Наконец, нужно знать матричные элементы гамильтониана системы Haa (t). Вычисление этих матричных элементов само посебе может быть очень сложной задачей.И все же система уравнений (18.3) является эффективным средством изучения квантовой динамики. Во многих задачах физический интерес представляютлишь переходы между небольшим числом базисных состояний, т. е.
амплитудывероятности для других состояний очень малы. Это бывает связано, например,с малостью соответствующих матричных элементов гамильтониана и с начальными условиями в рассматриваемой ситуации. В таких случаях система уравнений (18.3) сильно упрощается, поскольку нам нужны всего несколько уравненийдля амплитуд состояний, между которыми происходят квантовые переходы. Конечно, построение простых, но реалистичных моделей, включающих небольшоечисло базисных состояний, требует физической интуиции и некоторого опыта.24418.2.Квантовая динамика системы с двумя базиснымисостояниямиПростейшей системой, для которой матричное уравнение Шредингера удаетсяточно решить, является система с двумя базисными состояниями. Сначала мыприведем это решение, а потом дадим примеры физических систем, которые достаточно хорошо описываются этой моделью.Предположим, что гамильтониан системы Ĥ не зависит от времени, т.
е. отсутствуют внешние переменные поля. Обозначим базисные состояния символами|1 и |2. Будем считать, что они ортогональны друг к другу и нормированы наединицу:1|1 = 2|2 = 1,1|2 = 0.(18.6)Если при построении модели сначала были выбраны независимые, но не ортогональные состояния |1 и |2 , то, составляя их суперпозицию, всегда можно перейтик взаимно ортогональным состояниям |1 и |2 (см. упражнение 18.2.).Вектор состояния системы в любой момент времени t можно записать как суперпозицию(18.7)|Ψ(t) = C1 (t) |1 + C2 (t) |2,поэтому динамика полностью описывается амплитудами вероятности C1 (t) и C2 (t)обнаружить систему в каждом из базисных состояний.
Сами вероятности w1 (t) =|C1 (t)|2 и w2 (t) = |C2 (t)|2 удовлетворяют условию нормировкиw1 (t) + w2 (t) ≡ |C1 (t)|2 + |C2 (t)|2 = 1.(18.8)В данном случае система уравнений (18.3) принимает видidC1 (t)= H11 C1 (t) + H12 C2 (t),dt(18.9)dC (t)i 2= H22 C2 (t) + H21 C1 (t).dtДиагональные матричные элементы гамильтониана H11 = 1|Ĥ|1 и H22 = 2|Ĥ|2представляют собой средние значения энергии системы в базисных состояниях, анедиагональный матричный элемент H12 = 1|Ĥ|2 обычно называется амплитудой перехода из состояния |2 в состояние |1. Водя сокращенные обозначенияE1 = H11 ,E2 = H22 ,∗A = H12 = H21,(18.10)Запишем уравнения (18.9) для амплитуд вероятности в видеidC1 (t)= E1 C1 (t) + A C2 (t),dtidC2 (t)= E2 C2 (t) + A∗ C1 (t).dt(18.11)Сначала предположим, что амплитуда перехода A равна нулю. Тогда уравнения (18.11) легко решаются:C1 (t) = C1 (t = 0) e−iE1 t/,C2 (t) = C2 (t = 0) e−iE2 t/.(18.12)245Это просто амплитуды стационарных состояний с энергиями E1 и E2 .
Вероятности w1 = |C1 (t)|2 и w2 = |C2 (t)|2 не зависят от времени и совпадают с их начальными значениями. Если одна из амплитуд в начальный момент времени была равнанулю, то у системы нет никакого шанса когда-нибудь попасть в это состояние. Приэтом вероятность обнаружить систему в другом состоянии будет все время равнаединице.Уравнения (18.11) это линейные дифференциальные уравнения с постояннымикоэффициентами, поэтому их нетрудно решить и при ненулевой амплитуде перехода A. Как известно из математики, решения таких уравнений всегда можно искатьв виде экспонент.
ПоложимC1 (t) = c1 e−iωt ,C2 (t) = c2 e−iωt ,(18.13)где c1 и c2 — постоянные, а ω — пока неизвестная частота. Подставляя эти выражения в (18.11), вычисляя производные, а затем сокращая на общий множительexp(−iωt), приходим к системе однородных уравнений( ω − E1 )c1 − Ac2 = 0,(18.14)−A∗ c1 + ( ω − E2 )c2 = 0.Ненулевые решения для c1 и c2 существуют лишь тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов, равен нулю, т. е. ω − E1−A = 0. −A∗ ω − E2 Раскрывая определитель, получаем квадратное уравнение для ω, которое имеетдва решения (элементарные выкладки оставляем читателю):ω1 = ω0 + Ω,ω2 = ω0 − Ω,(18.15)где введены обозначения1ω0 =(E + E2 ),2 11Ω=1(E − E2 )2 + |A|2 .4 1(18.16)Таким образом, каждая из амплитуд C1 (t) и C2 (t) есть сумма экспонентвида (18.13) с частотами (18.15):C1 (t) = a1 e−i(ω0 +Ω)t + b1 e−i(ω0 −Ω)t ,C2 (t) = a2 e−i(ω0 +Ω)t + b2 e−i(ω0 −Ω)t .(18.17)Эти формулы дают решение задачи о динамике любой квантовой системы с двумябазисными состояниями, гамильтониан которой не зависит от времени.
Решениесодержит четыре комплексных постоянных: a1 , b1 , a2 , b2 . Для их определения нужны дополнительных условия. Прежде всего, имеем два начальных условия(0)C1 (t = 0) = C1 ,(0)C2 (t = 0) = C2 ,(18.18)246(0)(0)где C1 и C2 — заданные амплитуды; они описывают квантовое состояние системы в момент времени t = 0. Заметим, правда, что эти условия не являютсянезависимыми, так как (0) 2 (0) 2+C(18.19)C 2 = 1. 1 Кроме того, в любой момент времени должно выполняться условие нормировки (18.8).
Это дает еще два условия на коэффициенты в формулах (18.17) (см.упражнение 18.3.). Наконец, нужно потребовать, чтобы в каждый момент времени удовлетворялись уравнения (18.11). Мы не будем приводить громоздких общихформул для коэффициентов a1 , b1 , a2 , b2 , поскольку их проще найти для каждогоконкретного случая.
Вместо этого рассмотрим один частный, но поучительныйпример.Предположим, что в начальный момент времени t = 0 система находиласьв одном из базисных состояний, скажем, — в состоянии |1. Это означает, чтоw1 (0) = 1, а w2 (0) = 0. Как будут изменяться со временем вероятности w1 (t) и(0)(0)w2 (t) ? Поскольку в данном случае C1 = 1, а C2 = 0, из формул (18.17) и (18.18)находим, чтоa1 + b1 = 1,a2 + b2 = 0.С учетом второго равенства выражение (18.17) для амплитуды C2 (t) принимаетвидeiΩt − e−iΩtC2 (t) = 2i b2 e−iω0 t= 2i b2 e−iω0 t sin Ωt.2iОтсюда для вероятности w2 (t) = |C2 (t)|2 обнаружить систему в момент времени tв базисном состоянии |2 получаемw2 (t) = 4|b2 |2 sin2 Ωt = 2|b2 |2 (1 − cos 2Ωt) .(18.20)Вероятность w1 (t) дается, очевидно, формулой w1 (t) = 1 − w2 (t).Зависимость w2 (t) от t показана наРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
